6. Változók és csoportok összehasonlítása varianciaanalízissel

Tartalom Több független minta átlagának összehasonlítása Több összetartozó minta átlagának összehasonlítása Átlagok kétszempontos összehasonlítása

Kettőnél több független minta átlagának összehasonlítása

GBR-csökkenés Kísérleti csoport Agr1 Agr2 Agr3 Fény Verbális 80 60 40 20 GBR-csökkenés -20 -40 -60 Agr1 Agr2 Agr3 Fény Verbális Kísérleti csoport

Különbözik-e a minták elméleti nagyságszintje? Két ellentétes hatás: Minél jobban szóródnak a mintaátlagok, annál jobban eltérnek egymástól a minták. Minél jobban szóródnak az adatok az egyes mintákon belül, annál nagyobb az átfedés, annál kevésbé különböztethetők meg egymástól a minták.

GBR-csökkenés Kísérleti csoport Agr1 Agr2 Agr3 Fény Verbális 80 60 40 20 GBR-csökkenés -20 -40 -60 Agr1 Agr2 Agr3 Fény Verbális Kísérleti csoport

Varianciaanalízis (VA) Vark = Átlagok varianciája = Hatásvariancia Varb = Minták átlagos varianciája = Hibavariancia Próbastatisztika: F = Vark/Varb F = Hatásvariancia/Hibavariancia

Egyszempontos független mintás VA Nullhipotézis: elméleti átlagok egyenlősége: H0: m1 = m2 = ... = mI Ha igaz H0, akkor a fenti F mennyiség közelítőleg F-eloszlású. Ha F elég nagy, akkor H0-t elutasítjuk. F  p (szignifikancia p-értéke) Ha p elég kicsi, akkor H0-t elutasítjuk.

Egyszempontos független mintás VA Nullhipotézis: elméleti átlagok egyenlősége: H0: m1 = m2 = ... = mI Ha igaz H0, akkor a fenti F mennyiség közelítőleg F-eloszlású. Ha F elég nagy, akkor H0-t elutasítjuk. F  p (szignifikancia p-értéke) Ha p elég kicsi, akkor H0-t elutasítjuk.

Egyszempontos független mintás VA Nullhipotézis: elméleti átlagok egyenlősége: H0: m1 = m2 = ... = mI Ha igaz H0, akkor a fenti F mennyiség közelítőleg F-eloszlású. Ha F elég nagy, akkor H0-t elutasítjuk. F  p (szignifikancia p-értéke) Ha p elég kicsi, akkor H0-t elutasítjuk.

Egyszempontos független mintás VA Nullhipotézis: elméleti átlagok egyenlősége: H0: m1 = m2 = ... = mI Ha igaz H0, akkor a fenti F mennyiség közelítőleg F-eloszlású. Ha F elég nagy, akkor H0-t elutasítjuk. F  p (szignifikancia p-értéke) Ha p elég kicsi, akkor H0-t elutasítjuk.

Egyszempontos független mintás VA Nullhipotézis: elméleti átlagok egyenlősége: H0: m1 = m2 = ... = mI Ha igaz H0, akkor a fenti F mennyiség közelítőleg F-eloszlású. Ha F elég nagy, akkor H0-t elutasítjuk. F  p (szignifikancia p-értéke) Ha p elég kicsi, akkor H0-t elutasítjuk.

VA alkalmazási feltételei Minták függetlensége Normalitás Elméleti szórások egyenlősége (szóráshomogenitás): σ1 = σ2 = ... = σI

Mit csináljunk, ha a szórás-homogenitás feltétele erősen sérül? Robusztus varianciaanalízisek Welch-próba James-próba Brown-Forsythe-próba

Mit csináljunk, ha a függő változó normalitása nagyon sérül? Összehasonlított populációk homogenitásának tesztelése rangsorolásos eljárásokkal. Szakmai kérdés: kilóg-e valamelyik populáció (alulról vagy felülről) a többi közül? Nagyobbak-e (kisebbek-e) valamelyik populációban az adatok, mint a többiben?

Egy számítási példa Agr Agr Agr Fény Verb. n 5 4 6 4 4 x 14,50 6,75 2 3 n 5 4 6 4 4 i x i 14,50 6,75 5,20 -13,45 -30,08 s 29,60 9,15 6,96 13,11 14,57 i

Szóráshomogenitás ellenőrzése Levene-próba: F(4; 7) = 0,784 (p > 0,10, n. sz.) O’Brien-próba: F(4; 8) = 1,318 (p > 0,10, n. sz.)

Hagyományos VA Hatásvariancia: Vark = 1413,9 Hibavariancia: Varb = 286,2 F próbastatisztika: F(4; 18) = 4,940** p-érték: p = 0,0073 (p < 0,01)

Robusztus VA-k Welch-próba: James-próba: Brown-Forsythe-próba: W(4; 7,8) = 5,544* (p = 0,0203) James-próba: U = 27,851* (p < 0,05) Brown-Forsythe-próba: BF(4; 9) = 5,103* (p = 0,0200)

H0 elutasítása esetén utóelemzés: az összes átlag páronkénti összehasonlítása Ha az elméleti átlagok különböznek, hogyan teszik ezt? Mi az eltérések mintázata? Cél: úgy végezzük el az összes páronkénti összehasonlítást, hogy a hiba ne nőjön meg. Szóráshomogenitás igaz: Tukey-Kramer-próba Szóráshomogenitás sérül: Games-Howell-próba

A bemutatott példa utóelemzése Tukey-Kramer-próba: T12= 0,97 T13= 1,28 T14= 3,48 T15= 5,55** T23= 0,20 T24= 2,39 T25= 4,35* T34= 2,42 T35= 4,57* T45= 1,97

Utóelemzés konklúziói Legszignifikánsabb különbség az 1. és az 5. minta átlaga között van (T15**) Az 5. minta (Verbális) átlaga három másik átlagtól is szignifikánsan különbözik (T25*, T35*, T15**) Az 5. minta (Verbális) kilógása okozza az öt átlag szignifikáns különbségét.

Kettőnél több összetartozó minta átlagának összehasonlítása Minden nagyjából úgy történik, mint független minták esetén, csak más képletekkel.

Eltérések A szóráshomogenitás a változók páronkénti különbségeire vonatkozik (szfericitás) A szóráshomogenitás sérülésének mértékét az epszilon együtthatók jelzik Robusztus alternatívák (Greenhouse-Geisser, Huynh-Feldt) Átlagok páronkénti összehasonlítása (Tukey)

Egy számítási példa

Hagyományos VA  Hatásvariancia: Vark = 1686,9  Hibavariancia: Vare = 121,4  F-érték: F(2; 226) = 13,896***  Átlagok páronkénti összehas.: T12= 6,01** T13= 0,82 T23= 6,83**

Epszilon együtthatók Geisser-Greenhouse-féle ε: Huynh-Feldt-féle ε: ε = 0,964 Huynh-Feldt-féle ε: ε = 0,980 Szabadságfok korrekció: A robusztus próbáknál ilyen arányban csökkennek a szabadságfokok

Robusztus VA-k Geisser-Greenhouse-féle VA: Huynh-Feldt-féle VA: F(2; 218) = 13,896*** (p = 0,0000) Huynh-Feldt-féle VA: F(2; 222) = 13,896*** (p = 0,0000) Konklúzió: A 2. (intervenció alatt mért) pulzus kilóg a többi közül.

Kétszempontos VA

Kétszempontos független mintás VA Független változók: 2 csoportosító változó (pl. nem és iskolázottság)

A nem és az iskolázottság hatása a Ruha%-ra 5 4 3 Nő Ruha% Férfi 2 1 Alsófok Középfok Felsőfok

A nem és az iskolázottság hatása a Szex%-ra 4 3 Nő Szex% Férfi 2 1 Alsófok Középfok Felsőfok

Kétszempontos vegyes VA Független változók (szempontváltozók): 1 csoportosító változó (pl. nem) és 1 ismételt méréses szempont (pl. időpont)

A nem és a frusztráció hatása a pulzusra 105 100 Pulzus 95 Nő Férfi 90 85 1. mérés 2. mérés 3. mérés

Teljes variabilitás A szemp. B szemp. AB interakc. Maradék hiba Interakció: ha az A szempont hatása eltér a B szempont különböző szintjein. (Ha az együttes hatás nem egyezik meg az egyedi hatások sima összegével)

A kétszempontos ftl. mintás VA összefoglaló táblázata Hatás Szab.fok Variancia F-érték F Var A b = A f = I - 1 Var A A F Var B b = B f = J - 1 Var B B F Var AB b = AB f = f × f Var AB A B AB Hiba f = N - I × J Var b b

Nem hagyományos kétszempontos VA-k Robusztus kétszempontos VA Kétszempontos trimmelt VA Kétszempontos rang VA