Matematikai modellezés Bevezetés Identifikációs példák Optimalizáció Validáció

Matematikai modellezés (bevezetés /1.) MI AZ, HOGY MODELL? Mielőtt általánosítanánk, nézzünk néhány konkrét példát! 1. Példa: Newton bolygómozgási elmélete volt az egyik első modern modell. Azzal az egyszerűsítő feltevéssel élve, hogy csak a Nap és egyetlen bolygó van, Newton le tudta vezetni, hogy a bolygó olyan pályát ír le, amely összhangban van azzal a három törvénnyel, amelyet Kepler jelentős számú csillagászati megfigyelés eredményének tanulmányozása alapján állított fel (Kepler I., II. és III. törvényei). Tehát Newton modellje: , ahol f a gravitációs állandó. m1 m2 F r Ez az eredmény a fizikai és a matematikai analízis hatalmas győzelme volt. Talán első alkalommal ekkor szembesült a tudomány egy „új” tudományos szemlélettel, a matematikai modellel, melynek köszönhetően például Kepler - hosszadalmas fáradságos megfigyelés eredményeként megfogalmazott - törvényei egy „elegáns”, zárt matematikai formulával is előállíthatóak. A dolog persze nem ilyen egyszerű, mert ha három, négy, öt, …… egymásra ható testtel számolunk, akkor a megfelelő differenciálegyenlet-rendszer egyre bonyolultabbá válik. Már három test esetében is előfordulhat, hogy nem kapunk a fentihez hasonló „zárt alakú” megoldást.

Matematikai modellezés (bevezetés /2.) 2. Példa: Egy keverőtartályban lezajló kémiai reakció leírását megkísérelve (lásd: Aris, R.: Mathematical Modelling Techniques. San Francisco: Pitman, 1978; 152-164. o.) kövessük Aris modellalkotó gondolatait: Reagáló anyagok Termék és melléktermékek A reaktor-modell megalkotásához több törvényt kell figyelembe vennünk és jó néhány feltevést (hipotézist) kell tennünk. Ezek pl.: 1.) Az anyag és az energia megmaradásának törvénye; 2.) A hővezetés Fourier-törvénye; 3.) A reakció irreverzibilis; 4.) A tartály és a köpeny térfogata, az áramlási sebesség és a bemenő anyag hőmérséklete állandó; 5.) A keverés tökéletes, vagyis a köpeny és a tartály hő-eloszlása, továbbá a tartályban a koncentráció a helytől független (állandó). : n.) A hűtőköpeny reagálása azonnali. Hűtővíz Ezek alapján akár több reaktor-modell is készíthető annak függvényében, hogy a fentiek közül mely törvényeket és feltételezéseket hagyjuk el, illetve vesszük figyelembe. Természetesen Newton modelljéhez hasonlóan itt is fel fog vetődni a matematikai kezelhetőség problémája, a kapott egyenlet(rendszer)ek megoldhatósága.

Matematikai modellezés (bevezetés /3.) A bemutatott példák is jól illusztrálják, hogy a modellalkotás szabadsági foka gyakran igen nagy és a matematika belső nehézségei következtében a modellezés szinte már művészet, ami nem más mint a „megfelelő” stratégia megválasztása. A modellezés szabályainak rugalmas volta maga után vonja, hogy gyakorlatilag lehetetlen a matematikai modellek egy minden igényt kielégítő definíciójának megalkotása. Aris-tól származik a következő eléggé általános megfogalmazás: „Egy matematikai modell matematikai egyenletek tetszőleges teljes és konzisztens halmaza, amelyet arra terveztek, hogy más tulajdonságok összességét, azok prototípusát írja le. A prototípus lehet fizikai, biológiai, társadalmi, pszichológiai vagy konceptuális (vázlatos) tulajdonság, vagy esetleg éppen egy másik matematikai modell”. Megjegyzés: Az „egyenlet” szót helyettesíthetjük „struktúrá”-val, minthogy nem mindig numerikus modellekkel dolgozunk.

Matematikai modellezés (bevezetés /4.) NÉHÁNY CÉL, amelynek érdekében matematikai modelleket konstruálunk: 1.) Arra keresünk választ, hogy mi fog történni a fizikai (biológiai, stb.) világban, vagyis hogyan alakulnak az állapotok jellemzői bizonyos kezdeti és peremfeltételek előírása esetén; 2.) Befolyásolni szeretnénk a további kísérleteket vagy megfigyeléseket; 3.) Elő akarjuk mozdítani fogalmaink további fejlődését és megértését; 4.) Tervezési célok Mindenesetre a fizikai elméletek is kicserélődhetnek vagy megváltozhatnak (lásd pl. newtoni mechanika - einsteini mechanika), de tipikus, hogy a rendelkezésünkre álló matematikai apparátus nem alkalmas arra, hogy minden körülményt figyelembe vegyünk. Összefoglalóan: Mindezek a felismerések és a tapasztalatok arra vezettek, hogy a modellt ne az örök igazság kifejeződésének, hanem egy „időleges valaminek”, a helyzet kényelmes közelítésének tekintsük. Ezek szerint a modellt inkább: jónak vagy rossznak, túl egyszerűsítettnek túlbonyolítottnak, szépnek vagy csúnyának, hasznosnak vagy haszontalannak, mintsem „igaz”-nak vagy „hamis”-nak tartjuk.

Matematikai modellezés (bevezetés /5.) A MODELLALKOTÁS folyamata: 1.) Identifikáció (azonosítás): A modellalkotás első fázisa. Itt számbavételezzük a modellezendő folyamattal kapcsolatosan szóba jöhető alaptörvények és feltételek lehetséges rendszerét, majd azokból kiválasztjuk a probléma megválaszolásához szükséges és elégséges kritériumok részrendszerét, amelyek matematikai realizációját tekintjük a probléma modelljének. 2.) Optimalizáció: A matematikai modell szabadsági fokait jelentő modellparaméterek és „állandók” „behangolás”-át jelenti, amely általában valamely múltbeli megfigyelés, mérés alapján történik. A feladat, hogy modellünket olyan paraméterekkel ruházzuk fel, amelyekkel számolva eredményeink bizonyos értelemben a „lehető legjobban” közelítsék a valóságot. 3.) Validáció (igazolás): Az opimalizált paraméterekkel és állandókkal felruházott matematikai modellünket akkor tekintjük a kérdéses folyamat adekvát modelljének, ha annak „viselkedése” bizonyos értelembe véve nem csak az optimalizáláshoz felhasznált mérésekhez igazodik, hanem egy attól különböző méréssorozaton is igazolni tudjuk, hogy a modell a szóban forgó folyamat prototípusa.

Matematikai modellezés (bevezetés /6.) A MATEMATIKAI modellek származtatás szerinti osztályozása: 1.) Determinisztikus modellek: Azokat a matematikai modelleket soroljuk ebbe az osztályba, amelyeket megalkotása során részben vagy egészben a fizika (biológia, kémia, stb.) alaptörvényeit, igazolt összefüggéseit vesszük figyelembe. Az ilyen modelleket általában a matematika differenciál- illetve integrál-egyenletei (egyenletrendszerei) segítségével lehet felírni. 2.) Sztochasztikus modellek: Az olyan matematikai modelleket, amelyeket sztochasztikus törvényszerűségek és összefüggések alapján írunk fel, sztochasztikus modelleknek nevezzük. 3.) Empirikus modellek: Azokat a modelleket soroljuk ide, amelyek alapösszefüggéseit, alapvetően megfigyelések, mérési eredmények összehasonlító módszerekkel történő kiértékelésével nyerjük. Bár az ilyen modellezés eredményeként determinisztikus függvényekkel dolgozunk, azért ezek mégsem determinisztikus modellek, mert a szóban forgó függvényeket nem a fizika (biológia, kémia, stb.) alaptörvényei szabják meg.

Matematikai modellezés (bevezetés /7.) A MATEMATIKAI modellek paraméterei szerinti osztályozása: 1.) Állandó paraméterű modellek: Azokat a matematikai modelleket soroljuk ebbe az osztályba, amelyek paraméterei a folyamat során nem változnak. 2.) Időben változó paraméterű modellek: Azokat a matematikai modelleket soroljuk ebbe az osztályba, amelyek paraméterei a folyamat során (az időben) megváltoznak.

Matematikai modellezés (bevezetés /8.) Strukturális stabilitás (I.): Definíció: Azt mondjuk, hogy az f strukturálisan stabil, ha tetszőleges, elég kis sima p perturbáló függvény esetén f és f+ p azonos típusú, azaz csak az origó eltolása következhet be. Következmény: A perturbálatlan függvényhez képest a perturbált függvények kritikus pontjai változatlan típusúak! f(x)=x2 f+ p =(x+ )2- 2 1.) Példa: Tekintsük az f(x)=x2 és p(x)=2 x ( tetszőlegesen kis állandó). Ekkor f+ p =(x+ )2- 2. Amint az látható a stabil kritikus pont (x=0) elmozdult, de a stabilitás jellege nem változott meg. Elmondható tehát, hogy az f strukturálisan stabil.

Matematikai modellezés (bevezetés /9.) Strukturális stabilitás (II.): 2.) Példa: Tekintsük az f(x)=x3 , és legyen p(x)=x ( tetszőlegesen kis állandó) perturbáló függvény. Ekkor f+ p =x3+ x. Az eredeti f függvénynek az x=0 pontja az egyetlen, kritikus (inflexiós) pontja. Az f+p függvény azonban  előjelétől függően vagy megtartja az eredeti függvény típusát (>0), vagy két új (egy stabil minimum és egy instabil maximum) kritikus pont lép be (<0). A példaként tekintett f(x)=x3 függvény tehát strukturálisan instabil. =0 <0 >0

Matematikai modellezés (determinisztikus modell-identifikáció) Egy szennyezőanyag-szivárgási probléma modellje: Folyadékkal teli hengeres tartály Meghatározandó, hogy „t” idő elteltével meddig lesz a folyadék szintje a tartályban? x=x(t) talaj rés d=2R h t=0 t x Feltételezések: - A tartály egyenes falú, sugara állandó: R [m]; - A tartályban lévő folyadék sűrűségének elosz- lása egyenletes, vagyis kiülepedéssel nem kell számolnunk; - A talaj szerkezete homogén, és a folyadék-be- fogadó képessége független a telítettségétől; - A tartály alján a rések „rendszere” az időben nem változik, vagyis újak nem keletkeznek és régiek nem tömődnek el. Következmények: A fenti feltételezések és a hidrosztatikáról tanult alaptörvények szerint a folyadék kifolyásának sebességét vehetjük arányosnak a folyadékoszlop tartálybeli magasságával. A modell: A t időpontban a térfogat: , a térfogat megváltozása: . A feltételek szerint ez x-szel arányos, vagyis: , ahol k az arányossági tényező. Ekkor az egyenlet megoldása és egyben a keresett szivárgási modell:

Matematikai modellezés (sztochasztikus modell-identifikáció /1.) A Galton deszka: A Galton deszkát egy „n” sorból és oszlopból álló táblázattal lehet szemléltetni, ahol a táblázat minden újabb sora az előzőhöz képest egy fél rácsszélességgel el van tolva. n n+1 A deszka bemeneti nyílásába golyókat indítunk „útjukra”, amelyek továbbhaladási sza- bálya egy érmedobás eredmé- nye szerint, véletlenszerűen történik: 1/2-1/2 valószínűség- gel jobbra, vagy balra folytatják útjukat. Bármely irányban is térnek el, újabb élnek ütköznek, ahonnan ismét az előbbi döntési stratégia juttatja tovább. Az „n” soron n-1 ütközés révén jut el az n+1 számú tartály va- lamelyikébe valószínűseggel, ahol x (=0,1,2,…,n) a tartály indexe. p=1/2 A Moivre-Laplace tétel szerint: (a normális eloszlással közelíthető)

Matematikai modellezés (sztochasztikus modell-identifikáció /2.) Szennyeződés koncentráció-profiljának alakulása vízfolyásokban: folyásirány Szennyvízbevezetés A feladat: Adott egy folyószakasz, amelynek sodorvonalába bevezetünk egy pontszerűnek tekinthető szennyező forrást. Meghatározandó, hogy egy alsóbb szelvényben a szennyeződés koncentrációjának milyen profilja alakulhat ki. A modell: A fentiek szerint a problémát modellezhetjük a Galton- féle deszkával, vagyis a keresett koncentráció-eloszlás a normális eloszlással modellezhető: Feltételezések: - A szennyezőanyag forrása kiterjedés nélküli, pontszerű; - A vizsgált folyószakaszon a vízmélységtől eltekintünk, vagyis a koncentrációnak a mélység szerinti integráljáról van szó; - A víz sebességeloszlása egyenletes, és párhuzamos a part vonal- lal, továbbá az áramlás permanens; - A bevezetett anyag részecskéi azonnal felveszik a víz sebességét. Következmények: A szennyeződés-részecskék keresztirányú elkeveredését csupán a részecskék véletlenszerű ütközése okozza, és feltehetően továbbhaladásuk egyenlő eséllyel jobbra, vagy balra történik.

Matematikai modellezés (optimalizáció /1.) Egy szennyezőanyag-szivárgási probléma modelljének kalibrálása: Folyadékkal teli hengeres tartály talaj rés d=2R h t=0 t x Egy konkrét esetet tekintve, a modellben szereplő „h” és „R” ismert értékek, hiszen azok a tartály adatai, azonban a „k” arányossági tényező ismeretlen, mert az nem fizikai paraméter, tehát nem mérhető. Ez akkor is így van, ha a szóban forgó paraméternek van fizikailag értelmes dimenziója (pl.: esetünkben k[m2/s]). A matematikai modellek olyan paramétereit, amelyek fizikailag nem értelmezhetőek, modellparamétereknek nevezzük. A modellparaméterek meghatározása közvetlen méréssel lehetetlen, ezért csakis közvetett módszereket alkalmazhatunk. Ennek szokásos módja, hogy bizonyos időintervallumban megfigyeljük (mérjük) a folyamatot (jelen esetben x(t)-t), és a paraméter(ek) (jelen esetben ez „k”) olyan értékét(eit) keressük, amely(ek) alkalmazásával a számítás bizonyos értelemben a „legjobban közelíti” a mérési eredményeket a mérési tartományban.

Matematikai modellezés (optimalizáció /2.) Egy szennyezőanyag-szivárgási probléma modelljének kalibrálása: T h x [m] t [s] k=kopt k=0.01 k=100 A matematikai modellek paramétereknek közvetett módszerrel történő meghatározását modell-optimalizációnak (paraméter-optimalizáció, para-méterbecslés, modell-kalibrálás, stb.) nevezzük. A feladat matematikai megfogalmazása a fenti konkrét esetben: Tegyük fel, hogy az x(t) folyamatot a [0;T]-ben „n” különböző időpontban megmértük, és eredményeinket az x= (xt1,xt2,…….,xtn) vektorban foglalhatjuk össze, ahol xt1=h, t1=0 és tn=T. Ekkor megoldandó a optimalizációs feladat, ahol  (.,.) a „távolság matematikailag absztrakt fogalma.

Matematikai modellezés (optimalizáció /3.) A távolság (hiba) általános fogalma: Ekvivalens metrikák:

Matematikai modellezés (optimalizáció /4.) Az optimalizációs feladat általános megfogalmazása: Jelölje a megfigyelt, és a számított kimenetét a modellnek, ahol p=(p1,p2,…..,pm) a modell szabadságfokainak, szabad paramétereinek vektora. Ekkor megoldandó a optimalizációs feladat. A paramétertér magyarázata: h:Rm  R Itt a h(p) függvény tehát egy többváltozós valós függvény (hibafüggvény) aminek az optimumát keressük adott feltétel mellett.

Matematikai modellezés (validáció /1.) Egy szennyezőanyag-szivárgási probléma modelljének validációja: T h x [m] t [s] k=kopt A matematikai modellek optimalizációs időszakon kívüli egyeztetése további mérésekkel, a validáció (igazolás).  Optimalizációs; Validációs időszak Gelb tétele (A. Gelb): Egy matematikai modell akkor optimális, ha hiba-idősora gaussi fehér-zaj.