Kockázat elemzés Dr. Koncsos László egy. Docens BME Vízi Közmű és Környezetmérnöki tsz.

Statisztikai döntésfüggvények elméletének elemei és azok alkalmazása

-Kockázat fogalma és matematikai leírása -Ipari és környezeti katasztrófák -Védekezés, elhárítás lehetőségei

A Tisza és mellékfolyóinak árvízjárta területei és árvízi kitörései a szabályozások előtt (Ihrig D.)

A Tisza árvízvédelmi töltéseinek magasítása a folyószabályozás óta A Tisza völgyben az első és másodrendű árvízvédelmi töltések hossza 1320 km, amelyekhez 119 km magasparti szakasz is tartozik. A magyarországi 600 km hosszú folyószakaszon a védvonalak jelenlegi hossza a folyó két partján 1085 km. A folyószabályozások során az eredeti árvédelmi töltéseken 1,5-2,5 m-t magasítottak, és szelvényprofiljukat is megváltoztatták.

A Tisza árterének feliszapolódás vizsgálata Szolnok, Alcsisziget melletti hullámtéren

Az esztelen erdőírtás következményei Kárpátalján

Tisza: a legnagyobb vízszintek alakulása

Detektálhatók a trendek? (Vásárosnamény)

Hidrodinamikai szimulációk: lehetséges árvízszint változások 1998 LEHETSÉGES ELŐREJELZETT 2 méter!

A Tisza vízgyűjtő (160000 km2)

Kockázat [Ft] töltésemelés tározás hullámtér r. [Ft] [m] klimaváltozás Hullámtéri feltöltődés Területhasználat mód.

A rendszer 100 éves várható költsége: i-edik állapot k i 100 S i

Kockázat-megelőzés K dK M dM dM

Árvízvédekezésre fordított vízügyi kiadások 1998-2001 [milliárd Ft] Kockázat-megelőzés K Árvízvédekezésre fordított vízügyi kiadások 1998-2001 [milliárd Ft] Évek Jelenlegi kiépítettség mellett (tényleges költségek) Kiépített védvonalak esetén (számított költségek) 1998 1.5 ~0,15-0,3 1999 7.5 ~0,75-1,5 2000 13.5 ~1,35-2,7 2001 6.5 ~0,65-1,3 Összesen: 29 ~2,9-5,8 dK M dM

A Balaton vízszintváltozása (klímaváltozás nélkül) Mérések 2003 prognózis és észlelések

Balatonboglár (2003. november 11) Siófoki vízállás: 22 cm Vizy Zsigmond

Balatonboglár (2005. október 13) Siófoki vízállás: 110 cm Vizy Zsigmond

Feladat -döntéshozás támogatása -döntés függvényformában -cél: optimális döntés -Wald A.: Statistical decision functions Sequential analysis

Statisztikai eljárás is -> döntéshez vezet (legegyszerűbb eset: valószínűségi változó várható értékének vagy szórásának meghatározása) Pl. hipotézis ellenhipotézis Döntés alapja: -véletlen ingadozásnak alávetett adatok, vagy statisztikák -hibás döntés -> kár -> döntési kockázat cél: a legkisebb kockázattal járó döntés kiválasztása

Statisztikai döntési eljárás Példa: Szennyező anyag koncentrációjának szezonális maximuma: X -ez a mérések szerint exponenciális valószínűségi változó: Sűrűség fv. -Az eloszlás várható értékére döntést kell hoznunk Statisztikai döntés döntéstér

legyen Statisztikai minta A statisztikai minta elemei a múltbeli szezonális maximumok amelyek lényegesen nagyobb információtartalommal rendelkeznek, mint egy megfigyelés Mivel És E(x) legjobb becslése:

Másik lehetséges döntésfüggvény: Statisztikai döntési eljárás: Megfigyeljük az X valószínűségi változó értékeit, és ennek alapján választunk egy d döntést a lehetséges döntések D halmazából, amelyet a gyakorlati probléma határoz meg. A D halmazt döntéstérnek nevezzük. A döntés megválasztása bizonyos szabály alapján történik. Ezt a szabályt döntésfüggvénynek nevezzük.

Veszteségfüggvény és kockázatfüggvény Ha a döntésünket a választásra alapozzuk Az elkövetett hibához veszteségeket rendelhetünk, a döntés által okozott veszteség is a függvénye Legyen a veszteség pl. vagy

Tekintsük a veszteség átlagos mértékét: Amely a döntés kockázata Példa: Legyen v. szennyezőanyag éves középértéke normális eo. : A középértékek statisztikai mintája:

Legyen a döntésfüggvény: Legyen a veszteségfüggvény: A kockázatfüggvény:

Ami a döntés kockázata Válasszunk most másik döntésfüggvényt a veszteségfüggvény:

A kockázatfüggvény: esetünkben Melyik a jobb döntés?

Cauchy egyenlőtlenség alapján -> Megengedhetetlen döntésfüggvény

Értékétől függően változik a kockázat, akkor mindkét döntésfüggvény megengedhető Ha 2 1 a b Melyik döntésfüggvényt válasszuk?

Tekintsük a döntés tárgyát valószínűségi változónak sűrűségfüggvénye: a priori eloszlás (ismertnek tételezzük fel) Ekkor a kockázat várható értéke: Amelyet Bayes-féle kockázatnak nevezünk

-Azt a döntést, amelyre a Bayes-kockázat minimális, az a priori eloszláshoz tartozó Bayes-döntésnek nevezzük - A Bayes-döntés a minimális átlagos kockázatú döntés Ha a valószínűségi változó véges számú értéket vehet fel, akkor az a priori eloszlás: Ekkor a Bayes kockázat:

Ha Különböző döntésfüggvények, akkor mindegyikre kiszámítjuk a Bayes-fále kockázatot, és azt a döntésfüggvényt választjuk, amelyre a Bayes-kockázat a legkisebb Példa: t<2hét ----> d1 döntés t>2hét ----> d2 döntés Kritikus szennyezettség tartóssága

Veszteség mátrix Döntési változó: szennyezési koncentráció tetőzési szintje x=1, ha c<ch x=2, ha c>ch példa

Ha az a priori eloszlás nem ismert, akkor Minimax döntés

Szekvenciális döntési módszer -egymást követő megfigyelések lehetőségek: a) a Ho hipotézist elfogadjuk b) a Ho hipotézist elvetjük (H1 -et elfogadjuk) c) folytatjuk a megfigyeléseket a) és b) …végső döntések

Elsőfajú hiba: az a téves döntés, amikor Ho hipotézist elvetjük, pedig igaz, Másodfajú hiba: az a téves döntés, amikor Ho-t elfogadjuk pedig nem igaz Szekvenciális hipotézisvizsgálat során először megadjuk az első és másodfajú megengedett hibát Elsőfajú hiba valószínűsége: Másodfajú hiba valószínűsége: indifferens tartomány Elfogadási tartomány B A Kritikus, elutasítási tartomány

Szekvenciális próba végrehajtása: - az X valószínűségi változóra megfigyelés: X=x1 -kiszámítjuk az értékét, mellett -képezzük a Hányszor valószínűbb az x1 eredmény a mellett mint mellett Elfogadjuk a Ho hipotézist

Folytatjuk a megfigyelést …X=x2 Elvetjük a hipotézist ha folytatjuk: x2 és: Likelihood hányados

Elfogadjuk a Ho hipotézist Elvetjük a hipotézist együttes sűrűségfv. Elfogadjuk a Ho hipotézist

Mintavételezés folytatásának feltétele: Példa..p0.

Mean [mm]= =SUM(Q)/A(Balaton) (S(year)=439 mm) standard deviation Precipitation

mean standard deviation Temperature

precipitation Temperature

Historical data Sum(A2)=339 mm Sum(B2)=445 mm Sum(histroric)=439 mm Monthly averages and max. of runoff from Zala watershed

X [mm] Comparison of historical water budget and B2 scenario (monthly averages) for Lake Balaton X=P+R-E-Qout

Thomas-Fiering model for water budget of Lake Balaton Monthly averages ARMA Auto-correlation residuals Standard deviation X=P+R-E-Qout

R P E auto-correlation of precipitation, evapotranspiration, and runoff (past)

E[mm] t

Comparison of generated and measured water budget [mm]

Water level [cm] Scenario b2 present 1921-2002