Optimalizáció modell kalibrációja Adott az M modell, és p a paraméter vektora. Hogyan állítsuk be p -t hogy a modell kimenete az x bemen ő adatokon a legjobban illeszkedjen az s megfigyelési adatsorhoz? Az eltérés x –en a modell kimenete és a mérések különbsége: e. e i = s i - M(x i,p) vagy e i =[s i – M (x i,p)] 2 stb… Az a legjobb illeszkedés s -hez ahol a hiba a lehet ő legkisebb. Feladat: állítsd be p –t hogy e( p) minimális legyen.

jeljelentésf ’(x)f ’’(x) lokális minimum0+ lokális maximum0- globális minimum?? globális maximum?? Optimalizáció lokális és globális széls ő értékek egy intervallumban optimalizációs elvek Széls ő érték: a pont, amihez a legnagyobb/kisebb függvényérték tartozik a környezetében. explicit megoldások ? korlátok ?

A megoldandó feladat általánosan: min f (x) Globális optimalizáció A megoldást az x  [ a, b ]  R n „n” dimenziós téglán” keressük. Minden globális optimalizáció a következ ő sémán alapul: Elvégzend ő feladatok : a. A keresési tartomány [ a, b ] feltérképezése, a jelölt pontok kiválasztása b. A jelölt pontok finomítása c. A kapott pontok értékelése, döntés a folytatásról. A keresési tartomány végtelen számú megoldást tartalmaz: 1.Nem értékelhetjük ki mindet 2.A fenti miatt sosem lehetünk biztosak benne, hogy a legjobbat találtuk meg. GYAKORI A PROBLÉMÁK DISZKRETIZÁLÁSA: csak véges számú megoldás lesz.

[a 1,b 1 ] [a 2,b 2 ] Lokális széls ő értékek Globális optimum Következtetés: A globális szemlélet megoldásai nem „gradiens” jelleg ű ek, vagyis nem szükségszer ű en esnek egybe egy lokálisan is optimumnak tekinthet ő megoldással! Globális optimalizáció

problémás függvények : lokális optimalizáció nem használható Globális optimalizáció

Példa 1 : Az intervallum módszer kiterjesztése X opt Az egyes intervallumok kapnak egy olyan mutatót, ami azt a valószín ű séget fejezi ki, hogy a megoldás bennük van. Mindig azt az intervallumot felezzük, aminél ez a mutató a legnagyobb. A „bennragadást” azzal kerüljük el, hogy a nem optimális sz ű k intervallumok mutatója lecsökken, ezért egy másikra váltunk. A módszer legfontosabb jellemz ő je a mutató számítási eljárás. m = f ( intervallum nagyság, fv. értékek )

X opt x xhxh Lehatárolás (C i ) egyenes vonalakkal Globális optimalizáció Az eredeti függvényhez egy távolság arányos büntet ő fv-t adunk hozzá, ha kilép a határok közül. Az optimalizáció a valós és a büntet ő fv értékek összegére (F) vonatkozik. A büntet ő fv „visszatereli” a keresést a határok közé.

véletlenszer ű tippelés – sztochasztikus eljárás az eloszlás mindig lefedi a teljes keresési intervallumot, ezért nem fordulhat el ő „bennragadás” nagyon lassú Globális optimalizáció Példa 2 : Monte-Carlo keresés

Globális optimalizáció 3. Szimulált szilárdulás (simulated annealing) Leh ű l ő fémek kristályosodását utánozza. (Ott egy elegend ő en alacsony energiatartalmú szerkezet alakul ki.) 1. Vegyünk egy véletlenszer ű kezdeti megoldást (ez lesz az eddigi legjobb is) 2. Állítsuk be a h ő mérséklet (kT) kezdeti értékét 3. Folytassunk le egy Metropolis MC szimulációt ezen a h ő mérsékleten Vegyünk egy szomszédos megoldást (csak egy elemben különbözik) Értékeljük ki Ha jobb megoldás, mint az eddigi legjobb, akkor elfogadjuk újnak Ha rosszabb, akkor p=exp(-dE/T) (Boltzmann) valószín ű séggel fogadjuk el 4. Némiképp csökkentsük a h ő mérsékletet. 5. Ha elértük a végs ő h ő mérsékletet, akkor vége, egyébként vissza a 3. pontba.

Globális optimalizáció Alkalmazható leh ű lési minták

Globális optimalizáció Az utazó ügynök probléma Alap megoldás folyóval, de az ingyen keresztezhet ő. Ha a folyó keresztezése pénzbe kerül. Ha az ügynök csempész, a folyó keresztezése hasznot hoz. Hogyan fűzhetőek fel a meglátogatandó városok, hogy minimális legyen a megtett út?

Globális optimalizáció Kiterjesztés folytonos változókra Eddig csak diszkrét megoldásokról volt szó. Folytonos térben a “szomszédos” megoldás nem definiált. Minden ugyanúgy m ű ködik, csak a véletlenszer ű szomszédos megoldás helyett egy olyan módszer kell, ami egy értelmes irányban kijelöli a következ ő pont (nem túl távoli) helyét. Erre a célra szinte bármelyik lokális optimalizációs eljárás egyetlen lépését használhatjuk fel.

Globális optimalizáció Példa 4 : Evolúciós algoritmus Megoldások halmaza = populáció Egy megoldás (pont) = egyed Új megoldások generálása = szaporítás/mutáció A populáció a saját „fitness fv”-ét maximalizálja az alkalmazkodás során, így az fitness fv az optimalizálandó fv -1 -szerese.

A kezdeti populációt véletlenszer ű en szétszórjuk a vizsgált tartományon Kiértékeljük az egyedek teljesítményét („ fitness függvény”) A jobbakat (nagy fitness érték) szaporít juk, a rosszabbak elpusztul nak. A „bennragadás” elkerülésére a mutáció szolgál (f ő leg a rosszabbaknál fordul el ő ) Globális optimalizáció Az evolúciós algoritmus menete leállási kritérium ?

Globális optimalizáció Szaporítás rekombinációval A szaporítás a két kiválasztott egyed génjeinek rekombinációjával történik. Minden utód egy elpusztult egyed helyére kerül be, így a populáció létszáma állandó marad A gének kódolására legelterjedtebb a bináris kódolás A rekombináció során csak génhatáron törhet a kromoszóma Bináris kódolás (11, 6, 9) kromoszóma gén A B szakadási pont = génhatár A kódolás legf ő bb szempontja : a rekombináció során értelmes eredmény jöjjön ki. Pl: A & B eredménye olyan legyen, ami a kett ő között van. Egy változó több gén legyen, mert különben változatlanul örökl ő dik. Ez is diszkretizálás!

A mutáció véletlenszer ű en (kis valószín ű séggel) bekövetkez ő változás a „bázisokban”. A mutáció el ő fordulása a kisebb fitness fv- ű egyedek között gyakoribb. A mutáció szolgál a „bennragadás” elkerülésére. Globális optimalizáció Mutáció (11, 6, 9) (11, 6, 13) mutáns bázis

Kezdeti populáció5. generáció10. generáció Globális optimalizáció Evolúciós algoritmus viselkedése

Globális optimalizáció A populáció teljesítménye

Globális optimalizáció Az általános elvek megvalósulása Keresési tartomány = a gének által kifejezhet ő tartomány Térképezés = mutáció A jelöltek finomítása = szaporítás Nagy populáció : többszálú térképezés  lassú számítás Sok generáció : soklépéses optimalizáció  lassú számítás Az algoritmus tuningolása