Statisztikai döntésfüggvények elméletének elemei és azok alkalmazása

Bevezetés egy egyszerű eutrofizációs problémán keresztül

75mg/m3 CHL-a 10mg/m3 12mg/m3 18mg/m3

Water sediment (active layer) growth sorption ORP DP PP AP Water H death mineralisation settling settling sediment (active layer) h PP ORP

Vollenweider(1980) Fajlagos terhelés: L/A Éves átlag TP Töltési idő (V/Q) Hidraulikus terhelés [m/y] =Q/A

kapcsolat az anyagmérleggel: =0

A Vollenweider formulából következő ülepedési sebesség:

Sekély tavakra korrigált Vollenweider formula:

Feladat -döntéshozás támogatása -döntés függvényformában -cél: optimális döntés -Wald A.: Statistical decision functions Sequential analysis

Statisztikai eljárás is -> döntéshez vezet (legegyszerűbb eset: valószínűségi változó várható értékének vagy szórásának meghatározása) Pl. hipotézis ellenhipotézis Döntés alapja: -véletlen ingadozásnak alávetett adatok, vagy statisztikák -hibás döntés -> kár -> döntési kockázat cél: a legkisebb kockázattal járó döntés kiválasztása

Statisztikai döntési eljárás Példa: Szennyező anyag koncentrációjának szezonális maximuma: X -ez a mérések szerint exponenciális valószínűségi változó: Sűrűség fv. -Az eloszlás várható értékére döntést kell hoznunk Statisztikai döntés döntéstér

legyen Statisztikai minta A statisztikai minta elemei a múltbeli szezonális maximumok amelyek lényegesen nagyobb információtartalommal rendelkeznek, mint egy megfigyelés Mivel És E(x) legjobb becslése:

Másik lehetséges döntésfüggvény: Statisztikai döntési eljárás: Megfigyeljük az X valószínűségi változó értékeit, és ennek alapján választunk egy d döntést a lehetséges döntések D halmazából, amelyet a gyakorlati probléma határoz meg. A D halmazt döntéstérnek nevezzük. A döntés megválasztása bizonyos szabály alapján történik. Ezt a szabályt döntésfüggvénynek nevezzük.

Veszteségfüggvény és kockázatfüggvény Ha a döntésünket a választásra alapozzuk Az elkövetett hibához veszteségeket rendelhetünk, a döntés által okozott veszteség is a függvénye Legyen a veszteség pl. vagy

Tekintsük a veszteség átlagos mértékét: Amely a döntés kockázata Példa: Legyen v. szennyezőanyag éves középértéke normális eo. : A középértékek statisztikai mintája:

Legyen a döntésfüggvény: Legyen a veszteségfüggvény: A kockázatfüggvény:

Ami a döntés kockázata Válasszunk most másik döntésfüggvényt a veszteségfüggvény:

A kockázatfüggvény: esetünkben Melyik a jobb döntés?

Cauchy egyenlőtlenség alapján -> Megengedhetetlen döntésfüggvény

Értékétől függően változik a kockázat, akkor mindkét döntésfüggvény megengedhető Ha 2 1 a b Melyik döntésfüggvényt válasszuk?

Tekintsük a döntés tárgyát valószínűségi változónak sűrűségfüggvénye: a priori eloszlás (ismertnek tételezzük fel) Ekkor a kockázat várható értéke: Amelyet Bayes-féle kockázatnak nevezünk

-Azt a döntést, amelyre a Bayes-kockázat minimális, az a priori eloszláshoz tartozó Bayes-döntésnek nevezzük - A Bayes-döntés a minimális átlagos kockázatú döntés Ha a valószínűségi változó véges számú értéket vehet fel, akkor az a priori eloszlás: Ekkor a Bayes kockázat:

Ha Különböző döntésfüggvények, akkor mindegyikre kiszámítjuk a Bayes-fále kockázatot, és azt a döntésfüggvényt választjuk, amelyre a Bayes-kockázat a legkisebb Példa: t<2hét ----> d1 döntés t>2hét ----> d2 döntés Kritikus szennyezettség tartóssága

Veszteség mátrix Döntési változó: szennyezési koncentráció tetőzési szintje x=1, ha c<ch x=2, ha c>ch példa

Ha az a priori eloszlás nem ismert, akkor Minimax döntés

20.ea

Szekvenciális döntési módszer -egymást követő megfigyelések lehetőségek: a) a Ho hipotézist elfogadjuk b) a Ho hipotézist elvetjük (H1 -et elfogadjuk) c) folytatjuk a megfigyeléseket a) és b) …végső döntések

Elsőfajú hiba: az a téves döntés, amikor Ho hipotézist elvetjük, pedig igaz, Másodfajú hiba: az a téves döntés, amikor Ho-t elfogadjuk pedig nem igaz Szekvenciális hipotézisvizsgálat során először megadjuk az első és másodfajú megengedett hibát Elsőfajú hiba valószínűsége: Másodfajú hiba valószínűsége: indifferens tartomány Elfogadási tartomány B A Kritikus, elutasítási tartomány

Szekvenciális próba végrehajtása: - az X valószínűségi változóra megfigyelés: X=x1 -kiszámítjuk az értékét, mellett -képezzük a Hányszor valószínűbb az x1 eredmény a mellett mint mellett Elfogadjuk a Ho hipotézist

Folytatjuk a megfigyelést …X=x2 Elvetjük a hipotézist ha folytatjuk: x2 és: Likelihood hányados

Elfogadjuk a Ho hipotézist Elvetjük a hipotézist együttes sűrűségfv. Elfogadjuk a Ho hipotézist

Mintavételezés folytatásának feltétele: Példa..p0.

Markov -láncok optimális irányítása

Páldául: 1. szennyezett 2. nem szennyezett

Határeloszlás Az olyan Markov folyamatot, amelynél a határeloszlás független az induló állapottól, ergodikus folyamatnak nevezzük

Ha a P sztochasztikus mátrixnak van olyan k hatványa, hogy minden eleme pozitív, akkor az S határmátrix minden sora azonos lesz.

Markov-féle szekvenciális döntési folyamat Vizsgálunk egy N állapotú Markov-folyamatot, amelyeknél az egyes átmenetekhez nyereséget rendelünk. Az átmenet hozadéka az i->j átmenet esetén (negatív profit=veszteség) A Markov-folyamat profitok sorozatát generálja, miközben állapotról állapotra változik, tehát a profit maga is valószínűségi változó. Def. a várható összes nyereség, n átmenet során, ha i az induló állapot

Közvetlen nyereség

Páldául: 1. szennyezett 2. nem szennyezett Példa p1

Döntési folyamat -beavatkozásokkal (döntésekkel megváltoztatjuk az átmenet valószínűségeket, így változnak a haszonmátrix elemei is ... ... k…alternatíva

Ha a Markov-láncnak N állapota van, és minden állapothoz m számú lehetséges alternatíva választható, azaz a d1,d2,…,dm döntések valamelyikét választjuk, akkor lehetséges politika létezik A döntéssorozatot politikának nevezzük Legyen: a nyereség összegzett várható értéke Tegyük fel, hogy a n, n-1, n-2, …, 3, 2, 1 lépésekben megtaláltuk az optimális döntést. Ha az n-ik lépésnél i-ik állapotba került a rendszer, akkor a célunk maximálni a

Howard iterációs módszer nyereség: közvetlen nyereség határvalószínűség Eszköz Markov-folyamatok összehasonlítására

a) Érték meghatározó lépés b) Politika javító lépés határeset:

a) N+1 ismeretlen (g,v…), N egyenlet…alulhatározott rendszer, egyik v értéket 0-nak választjuk b) Politika javító lépés a legjobb alternatíva

P2 példa