A szinusz és koszinuszfüggvény definíciója, egyszerű tulajdonságai
A forgásszögeket valós számokkal fogjuk mérni: ívmérték. Ívmérték Az egységnyi sugarú kör (r = 1) egy körívéhez tartozó középponti szöget a körív hosszával határozzuk meg. A teljes kör (360˚) kerülete r = 1 esetén K = 2rπ = 2·1·π = 2π tehát 360˚ = 2π (rad) A félkörív hossza a teljes kör kerületének fele, tehát 180˚ = π (rad)
Az X tengely poz irányába mutató egységvektorból úgy származtatható a másik szár irányába mutató e egységvektor, hogy az i-t a megfelelő szöggel elforgatjuk.
És jelőlje e az i alapvektor origó körüli a szöggel való elforgatását Legyen < a < p/2 És jelőlje e az i alapvektor origó körüli a szöggel való elforgatását Írjuk fel az OTP derékszügű háromszögben a szögfüggvényeket.
DEF: Ha a egy tetszőleges valós szám, akkor (cos a; sin a) az i egységvektor origó körüli a ívmértékű szöggel való elforgatásából kapott e egységvektor.
A sin és cos függvény tulajdonságai 1. Tetszőleges a valós szám esetén teljesül a Pitagoraszi azonosság: sin2a + cos2 a = 1 2. Ha egy e vektort O körül szöggel elforgatunk, akkor egy teljes körüljárás után ugyanazt az e vektort kapjuk. Sin (a+2p) = sina; cos (a+2p) = cosa Vagyis a sin és cos függvények 2pi szerint periódikusak 3. Ha elforgatunk alfa szöggel, majd ezt még pi-vel is akkor az e vektornak az ellentetjét kapjuk. Vagyis Sin (a+p) = -sina; cos (a+p) = -cosa 4. Ha az alfa szögű e (e1; e2) egységvektort pi/2-vel forgatjuk tovább akkor az e' koordinátái (-e2; e1) lesznek. Vagyis Sin (a+p/2) = cosa; cos (a+p/2) = --sina
Sin (p/2- a) = cosa; cos (p/2- a) = -sina 5. Fontos kapcsolat van az alfa szögű és pi/2-alfa szögű e és e' vektorok között: Sin (p/2- a) = cosa; cos (p/2- a) = -sina 6. Ha az alfa szügű e vektor koo-i (e1; e2), akkor a -alfa szögű e' vektor Koo-i (e1; -e2). Sin (- a) = -sina; cos (- a) = -cosa 7. Tükrözzük az e (e1; e2) vektort az y tengelyre, ekkor e'(-e1; e2) lesznek. Sin (p- a) = sina; cos (p- a) = -cosa
Nevezetes szögek szögfüggvényei