*** HALMAZOK *** A HALMAZ ÉS MEGADÁSA A HALMAZ FOGALMA Magát a halmaz fogalmát nem definiáljuk, ugyanúgy mint ahogyan a "pontra", vagy a geometriai "egyenesre" sem adunk meghatározást. Elfogadjuk. Tetszőleges dolgok (objektumok) összességét halmaznak tekintjük; a "halmaz„ szó mintegy szinonimája a köznyelvben használt "összesség", "sokaság" stb. kifejezéseknek. Az összességbe tartozó egyes dolgok a halmaz elemei.

Ha adott egy H halmaz, és annak h egy eleme, akkor ezt így jelöljük: Ha az jelet áthúzzuk, azaz -t írunk, az azt jelenti, hogy nem eleme a halmaznak. Venn-diagram: Üres halmaz: .

HALMAZ ÉS RÉSZHALMAZA Tulajdonságok: (reflexivitás) (antiszimmetria) (tranzitivitás) Valódi részhalmazok. Példa. Legyen K = {egész számok}; H = {páratlan egész számok}. Nyilván

P(H): egy H halmaz hatványhalmaza. n elemű halmaznak 2n részhalmaza van. Példa. Legyen H ={a,b,c}, akkor P(H) = {,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c}, {a,b,c}}. Alaphalmaz. X-szel jelöljük. MŰVELETEK HALMAZOKKAL Egyesítés (jele:  ). A H és K halmazok egyesítése (összege vagy uniója) : H  K = {x|xH vagy xK. Metszet (jele:  ). A H és K halmazok metszete (közös része, vagy szorzata): H  K = {x|xH és xK}.

Azonosságok: HH = H (idempotencia) HK = KH (kommutativitás) H(KL)=(HK)L (asszociativitás) Megjegyzés. Ha H  K = , H és K diszjunktak vagy idegenek. Különbség (jele: – ). A H és K halmazok különbsége: H – K = {x| x H és x  K}.

Azonosságok: 1. H - K H 2. (H - K) K = 3. H - K = H, akkor és csak akkor, ha HK= Halmaz komplementere. X – K halmaz a K kiegészítő (komplementer) halma- za. Példa. A = {a, b, c, d, e}, X={a magyar ábécé betűi}. = {a magyar ábécé betűi az a, b, c, d, e betűk kivételével}.

Azonosságok:

RELÁCIÓK RENDEZETT n-ESEK Rendezett pár. z=(x,y) Rendezett pár transzponáltja: (x,y)  (y,x). u = (x, y) és v = (a, b). u=v  x=a és y=b. Rendezett n-es. (a1, a2,...,an)-nel jelöljük. (a1,a2,...,an)=(b1,b2,...,bn)  a1 = b1, a2=b2, ..., an= bn. Példák. 1. A sík pontjainak koordinátái. 2. Rendezett hármas a (Kovács, István,14112250138). 3. Rendezett "n-es" egy család (hármas, négyes,stb, pl.: apa, anya, gyerek1, gyerek2).   

HALMAZOK DIREKT SZORZATA DEFINÍCIÓ. A és B direkt szorzata: A B (A kereszt B), (x, y)A  B  x  A és y  B. 1. Példa. Ha A = {a, b, c} és B = {x, y}, akkor A B={(a, x), (b, x), (c, x), (a, y), (b, y), (c, y)}. B A={(x, a), (x, b), (x, c), (y, a), (y, b), (y, c)}. Látható, hogy A  B  B  A. 2. Példa. Ha V a vezeték- , K a keresztnevek, A az adó- számok halmaza, akkor (Kovács, István,14112250138) V K A egy eleme. Megjegyzés. Descartes-szorzat elnevezés.

Megjegyzés. A direkt szorzatra érvényesek az alábbi tulajdonságok. 1. 2. 3. 4. Több halmaz direkt szorzata is képezhető. Példa. Legyen R a valós számok halmaza. Az RR szorzat nyilván a síkbeli koordinátarendszer pontjait adja.

RELÁCIÓK DEFINÍCIÓ. Az A1, A2,...,An halmazok A1A2 ... An direkt szorzatának egy részhalmazát n-változós relációnak nevezzük és R-rel jelöljük,azaz R  A1  A2  ...  An. A reláció tehát rendezett n-esek halmaza. Ai -t a reláció i-edik tartományának nevezzük.

név (N), születési-dátum (D), matematikaosztályzat (M). NDM Relációs adatbázis.

BINÉR RELÁCIÓK Jele: aRb. PÉLDÁK 1. Példa. Binér reláció a számok közötti egyenlőség, a kisebb, a nagyobb reláció azaz: a = b, a < b, a > b. 2. Példa. xRy: "x szülője y-nak” 3. Példa. p | a: "p osztója a-nak” Az xRy reláció értelmezési tartománya az {x} halmaz, képtartománya az {y} halmaz.

Reláció inverze: xRy inverze yR’x. PÉLDÁK inverz relációra: 1. Ha az R a "szülője" reláció, akkor R' a "gyermeke” kapcsolatot fejezi ki. 2. A kisebb reláció inverze a nagyobb: a < b  b > a. 3. Az = reláció inverze önmaga, mivel x=y  y=x. A binér reláció tulajdonságai:. 1. R reláció reflexív: ha xRx. Ha nem, irreflexív. Példa. A  reláció reflexív, mert x  x. A < reláció irreflexív, mert x < x nem teljesül.

2. R szimmetrikus, ha xRyyRx, ellenkező esetben aszimmetrikus. Ha xRy és yRx  x=y, akkor antiszimmetrikus. Példa. Az = reláció szimmetrikus, hiszen x=y ugyanaz mint y= x. (antiszimmetrikus is.) 3. R tranzitív, ha xRy, yRz  xRz. Példa. A < reláció tranzitív. (a<b, b<c  a<c) EKVIVALENCIA ÉS RENDEZÉS a) Ekvivalencia Egy X alaphalmaz elemei közt értelmezett R relációt ekvivalencia-relációnak nevezünk, ha R reflexív, szimmetrikus és tranzitív. Jelölése: x ~ y.

Tulajdonságai: 1. x ~ x 2. (x ~ y)  (y ~ x) 3. (x ~ y és y ~ z)  (x ~ z) Példák. 1. A valós számok körében értelmezett egyenlőség. a) a=a b) a=b  b=a c) a=b, b=c  a=c 2. Ha egy ház lakóinak halmazát H-val jelöljük, akkor az "x ugyanabban a házban lakik, mint y”

Egy X alaphalmaz elemei közt értelmezett R relációt akkor mondunk parciális (vagy részben) rendezési relációnak, ha R reflexív, antiszimmetrikus és tranzitív. Jelölése: x  y. (olv. x megelőzi y-t) 1) x  x; 2) (x  y és y  x)  (x =y) 3) (x  y és y  z) (x  z)

Legyenek R1 és R2 bináris relációk. Akkor PÉLDÁK 1. Példa. A természetes számok N halmazában az oszthatóság rendezési reláció. 2. Példa. Egy X halmaz részhalmazainak halmaza: P(X). A  tartalmazás binér relációja nyilván rendezési reláció. 3. Példa. Legyen N a természetes számok halmaza. Ez a halmaz a "" relációval rendezett halmaz: N ={1,2,3,4,...}. Megjegyzés. A bináris relációk, mint halmazok között elvégezhetők a szokásos halmazműveletek. Legyenek R1 és R2 bináris relációk. Akkor szintén bináris relációk.

FÜGGVÉNYEK A FÜGGVÉNY FOGALMA DEFINÍCIÓ. Legyen az f reláció első tartománya X, második tartománya Y, és tegyük fel, hogy minden xX-hez pontosan egy olyan yY létezik, melyre xfy. Ekkor f minden X-beli x elemhez egy jól meghatározott yY elemet rendel. Jelöljük ezt az y-t f(x)-szel, azaz y = f(x). Az ilyen relá- ciókat X-ből Y-ba képező függvényeknek vagy leké- pezéseknek nevezzük.

X: f értelmezési tartománya, jele: Df Y: f képtere (értékkészlete), jele: Rf f függvény: f : x y, vagy x  y Az x elemhez tartozó értéket f(x)-szel jelöljük, és azt mondjuk, hogy f(x) az x elem képe. X Y f

DEFINÍCIÓ. f: X Y, és g: Y  Z két függvény. és z Z és létezik olyan yY, hogy y=f(x), z=g(y)}. Tegyük fel, hogy RfDg. A gf reláció egy függvény és összetett függvénynek hívjuk. AZ ÖSSZETETT FÜGGVÉNY DEFINÍCIÓ. f: X Y, és g: Y  Z két függvény. A függvény grafikonja Jelölje f(X) az X-beli elemek képeinek halmazát Y-ban. Nyilvánvalóan f(X)Y.  Legyen f: XY és legyen X’ részhalmaza X-nek, azaz legyen X’ X. Akkor az {f(x)|xX’} halmazt az f grafikonjának nevezzük.

A FÜGGVÉNY INVERZE Ha az f függvény olyan, hogy különböző elemek képe különböző, azaz xl  x2 esetén f(xl)  f(x2), akkor azt mondjuk, hogy az f függvény injektív. DEFINÍCIÓ. Ha f injektív leképezés, akkor az f(X) képhalmaz minden y eleméhez egyértelműen hozzá tudjuk rendelni az y egyetlen ősképét, vagyis az egyetlen olyan xX elemet, melyre f(x)=y. Így egy újabb leképezést nyerhetünk, melynek értelmezési tartománya f(X), képtere pedig X. Ez a függvény az f inverze, és f -1 -gyel jelöljük.

Nyilvánvaló, hogy minden xX-ra f-1(f(x))=x és minden y  f(Y)-ra y=f(f -1(y)). X Y f- -1