Lineáris egyenletrendszerek (Az evolúciótól a megoldáshalmaz szerkezetéig) dr. Szalkai István Pannon Egyetem, Veszprém /' /

2 Tartalom 0.a) Szemléltetés 0.b) Pontosság: I. Vektorok II. A megoldáshalmazok szerkezete és kapcsolata III. Lineáris leképezések IV. Mátrixok (determinánsok)

3 0.a) Szemléltetés

4 n = 2 : síkbeli egyenesek metszéspontok száma: 0, 1, végtelen (egyenes)

5 n = 3 : (térbeli) síkok metszéspontok száma: 0, 1, végtelen (egyenes v. sík)

6 n > 3 :...

7 0.b) Pontosság: Hasonlítsuk össze pl. az alábbi két egyenletrendszert és gyökeiket: /1/ x y = } x y = } { x = { y = /2/ x y = } x y = } { x = { y = Elemezzük, hogy az együtthatók kis eltérései ellenére a gyökök eltérése miért növekszik kb. 10ezer-szeresére ?!

8 I. Vektorok

9

10

11

12

13 © " Ha egy mátrixot szorzunk oszlopvektorral, akkor a mátrix oszlopvektorainak lineáris kombinációját kapjuk, ahol az együtt- hatók a vektor komponensei. " ©

14

15 Megoldás elemi bázistranszformációval:

17

18 a 1 ·x 1 + a 2 ·x 2 + … + a n ·x n = b

19 a 1 ·x 1 + a 2 ·x 2 + … + a n ·x n = b

20 a 1 ·x 1 + a 2 ·x 2 + … + a n ·x n = b ? t = 0

21 Példa:

22 "józan" ésszel:

23 x B =[x 2, x 1, x 5, x 8 ], x R =[x 3, x 4, x 6, x 7 ], r = 4, s = 4.

24 x B =[x 2, x 1, x 5, x 8 ], x R =[x 3, x 4, x 6, x 7 ], r = 4, s = 4. a2) x 2 = 10-(-7x 3 +5x 4 -6x 6 +0x 7 ) a1) x 1 = 12-(+5x 3 +0x 4 +4x 6 -4x 7 ) a5) x 5 = 19-(-7x 3 +5x 4 -6x 6 +3x 7 ) a8) x 8 = 13-(+6x 3 +7x 4 -9x 6 -5x 7 ) x 3,x 4,x 6,x 7 є R tetszőleges számok © A bázisba bevitt ismeretleneket kifejezzük a be nem vitt ("maradék") változókkal: ©

25 x B = [x 2, x 1, x 5, x 8 ], x R = [x 3, x 4, x 6, x 7 ], r = 4, s = 4. a2) x 2 = 10-(-7x 3 +5x 4 -6x 6 +0x 7 ) a1) x 1 = 12-(+5x 3 +0x 4 +4x 6 -4x 7 ) a5) x 5 = 19-(-7x 3 +5x 4 -6x 6 +3x 7 ) a8) x 8 = 13-(+6x 3 +7x 4 -9x 6 -5x 7 ) x 3,x 4,x 6,x 7 є R tetszőleges számok x B = d - D ·x R

26 A megoldáshalmaz geometriai szerkezete:

27 tehát: TÉTEL: A megoldáshalmaz mindig egy L{v 1,…,v r } altér eltoltja egy u vektorral: M inh = u inh + M hom azaz x inh ált = x inh part + x hom ált (ld. még 35.old.)

28 x B =[x 2, x 1, x 5, x 8 ], x R =[x 3, x 4, x 6, x 7 ], r = 4, s = 4. "tudományosan":

29 x B =[x 2, x 1, x 5, x 8 ], x R =[x 3, x 4, x 6, x 7 ], r = 4, s = 4.

30 x B =[x 2, x 1, x 5, x 8 ], x R =[x 3, x 4, x 6, x 7 ], r = 4, s = 4. Sorok és oszlopok rendezésével:

31 x B =[x 2, x 1, x 5, x 8 ], x R =[x 3, x 4, x 6, x 7 ], r = 4, s = 4. x B + Dx R = d

32 x B =[x 2, x 1, x 5, x 8 ], x R =[x 3, x 4, x 6, x 7 ], r = 4, s = 4. x B + Dx R = d

33 x B =[x 2, x 1, x 5, x 8 ], x R =[x 3, x 4, x 6, x 7 ] є R s tetszőleges r = 4, s = 4. x B = d - Dx R

34 II. A megoldáshalmazok szerkezete és kapcsolata

35 Ax = b Def.: Az egyenletrendszer homogén ha b=0, más esetben inhomogén. 2.TÉTEL: Ha Ax 1 = b és Ax 2 = b akkor bármely λєR valós számra A(λx 1 +(1-λ)x 2 ) = b ("konvex lin. kombináció"), azaz: ha van két (különböző) gyök, akkor összekötő egyenesük minden pontja is gyök, vagyis ekkor végtelen sok gyök van. 3.TÉTEL: (i) Ha Ax 1 = b és Ax 2 = b akkor A(x 1 -x 2 )= 0. (ii) Ha Ax = b és Ay = 0 akkor A(x+y)= b. !!! Következmény: M inh = u inh + M hom azaz x inh ált = x inh part + x hom ált

36 III. Lineáris leképezések

37 ### ### ###

38 IV. Mátrixok (determinánsok)

39 2x2 (ha a nevező nem 0 )

40 2x2

41 2x2

42 3 x 3 (ha a nevező nem 0 )

43 3 x 3

44 n x n : TÉTEL (Cramer szabály) :

45 Következményei: általában: 1a. Ha D≠0 akkor x k = D k / D (k=1,…,n) egyetlen megoldás van. 2a. Ha D=0 de D k ≠0 legalább egyik k -ra akkor nincs megoldás. 3a. Ha D=0 és D k =0 mindegyik k –ra (+) és van megoldás, akkor végtelen sok megoldás van. □ Speciálisan: Ax=0 homogén esetben: D k = 0 mindegyik k -ra 1h. Ha D≠0 akkor csak az x = 0 triviális megoldás van. 2h /ilyen eset nincs/ 3h. Ha D=0 akkor végtelen sok megoldás van. □ összegezve: van végtelen sok van nemtriviális D=0. □

46 Példa 3a (+) -ra : x + 2y - 3z = 1 -2x - 4y + 6z = -2 3x + 6y - 9z = 4 azaz D = D 1 = D 2 =D 3 = 0 de nincs megoldás hiszen az egyenlet a·x + 2a·y -3a·z = b és λa ≠ b.