Valószínűségszámítás dr. Szalkai István

TARTALOM: 0. Kombinatorika elemei (segédeszközök) 1. Eseményalgebra 2. A valószínűség: a) axiómák és következményeik b) klasszikus (=kombinatorikus) valószínűségi mező c) geometriai valószínűségi mező 3. Feltételes valószínűség, események függetlensége 4. Valószínűségi változók a) általános definíciók b) várható érték, szórás

5. Nevezetes diszkrét eloszlások: a) Bernoulli (= binomiális = visszatevéses mintavétel) b) Hipergeometriai (=visszatevés nélküli mintavétel) c) Geometriai (=próbálkozás amíg nem sikerül) d) Poisson (= a) közelítése) 6. Nevezetes folytonos eloszlások: a) Egyenletes (= buszváró, ="hidastábla", … ) b) Exponenciális (= nem öregedő élettartam) c) Normális (= fizikai / biológiai rendszerek)

7. Nagy számok törvényei (Markov, Csebisev, Bernoulli, Csebisev, Centrális, Moivre-Laplace) 8. Két diszkrét val.vált. összefüggése (=kétdimenziós v.v.) 9. Matematikai statisztika alapjai

Ajánlott irodalom: ( " Példatár " )

0. Kombinatorika Hány / hányféleképpen ? = hat képlet = hat új alapművelet i) Sorbarendezések: n elem egy sorban = permutációk - ha az n elem mind különböző (ismétlés/ ismétlődés nélkül) => Pn = 1·2·3·...·(n-1)·n = n! / 0! = 1 / . - ha az n elem nem mind különböző (ismétléses), azaz s féle: az egyes típusokból k1 , k2 , … , ks van, akkor => Pnk1,…,ks (ism) = n! ( k1 + k2 + … + ks = n ) k1!k2! … ks!

a KIVÁLASZTÁS SORRENDJE ii) Kiválasztások n különböző elem közül k -szor választunk ki egyet-egyet a KIVÁLASZTÁS SORRENDJE számít nem számít (pl. tombola) (pl. lottó) VARIÁCIÓ KOMBINÁCIÓ Vnk <= ismétlés/visszatevés nélkül => Cnk Vnk (ism) <= ismétléssel = visszatevéssel => Cnk (ism)

Vnk = n·(n-1)·(n-2)…(n-(k-1)) = n·(n-1)·(n-2)…(n-k+1) Vnk (ism) = n·n·….·n = nk , Cnk = ( nk ) = n·(n-1)·(n-2)…(n-k+1) = n! , k! k! ·(n-k) ! = " binomiális együtthatók " = Vnk / k! Ck (ism) = ( n+k-1 ) = / n+k-1 \ n n-1 \ n-1 / ((szövegszerkesztő !!! ))

Binomiális együtthatók alaptulajdonságai / Cnk = ( nk ) = n elem közül k -t kiválasztani hányféleképpen visszatevés nélkül, sorrend lényegtelen / ( n0 ) = ( nn ) = 1 , ( n1 ) = ( nn-1 ) = n , ( nk ) = ( nn-k ) / szimmetria tulajdonság/ pl. / 20 \ = / 20 \ = 20·19·18·17·16 \ 15 / \ 5 / 1·2·3·4·5 / 90 \ = 20·19·18·17·16 \ 5 / 1·2·3·4·5

1. Eseményalgebra Definíciók: Kísérlet = aktív vagy passzív, valami történik, Eseménytér = kísérlet összes lehetséges kimenetele = tetszőleges halmaz  Jele: H , Ω vagy T (=Solt Gy. ###) , … .  pl. Két kockával dobunk => Ω = { (1,1) , (1,2) , (1,3) , … , (6,6) } | Ω | = 36 Megj.: két különböző kocka / pénzérme / …

Def.: Esemény: Tetszőleges A  Ω részhalmaz .  ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Pl. A := " a két kocka összege = 5 " = { (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) }  Ω . Def.: Lehetetlen esemény = … ... =   Ω (Solt: O=) biztos esemény = … … = Ω  Ω (Solt:I=Ω=T) ellentett esemény = tagadás = Ω \ A = A komplementere  Kísérlet végeredménye: xΩ Def.: A esemény bekövetkezik: xA .  A Ω Def.: A és B kizárják egymást /?/ ( xA => xB és xB => xA ) tehát: A és B diszjunktak A  B =  . 

Eseményalgebra = esemény műveletek = halmazműveletek Def.: A vagy B = A  B =: A+B események "összege", A és B = A  B =: A•B események "szorzata", nem A = A— =: A— esemény "ellentettje", (= tagadás / komplementer) A => B = A  B = " A maga után vonja B -t" (= A -ból következik B) 

Halmazműveletek tulajdonságai: Eseményalgebra: >>> ld. ### Solt Gy. 47.old.

Pl: disztributivitás (széttagolhatóság) : halmazelméletben: valószínűségszámításban A  (BC) = (AB)  (AC) A(B+C ) = (AB)+(AC) A  (BC) = (AB)  (AC) A+(BC) = (A+B)(A+C) De Morgan - azonosságok: ____ __ __ ____ __ __ AB = A  B A+B = A  B AB = A  B AB = A + B

2a) A valószínűség axiómái és következm. (Kolmogorov) P(A) = ? A esemény valószínűsége (esélye):  R DEF: P : A  p  R P : P()  R tetszőleges függvény amelyre: i) 0  P(A)  1 ii) P() = 0 , P() = 1 , (100% ill. 0% ) iii) ha A és B kizáróak => P(AB) = P(A)+P(B)  KÖV: tetszőleges A, B halmazokra P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)  !!!!! P(A)  TA / terület / !!!!!

KÖV: P(A-) = 1 - P(A) (tagadás) ha A  B => P(A)  P(B) (A maga után vonja B -t)  DEF: A lehetetlen esemény, ha P(A) = 0 . A biztos esemény, ha P(A) = 1 .  Pl: A  N , A = { négyzetszámok } lehetetlen, mert P(A) = limn n / n = 0 . !!!!! P(A)  TA / terület / !!!!!

DEF: teljes eseményrendszer = partíció = felosztás  = B1  B2  B3 …  Bn (lefed hézagtalanul) és Bi  Bk =  ( ik) (nincs átfedés)  Állítás: Ekkor P(B1) + P(B2) + P(B3) + … + P(Bn) = 1 .  P(A) = TA

2.b) klasszikus (=kombinatorikus) valószínűségi mező Ha  véges és minden eleme egyenlő esélyű, akkor P(A) = | A | / |  | (= " k/ö ")  2.c) geometriai valószínűségi mező Ha  -t geometriai alakzattal szemléltethetjük, és P(A) a területtel / hosszal arányos, akkor P(A) = TA / T = hA / h  !!!!! GYAKORLÁS !!!!! ### Solt Gy. 91-99.old. kimarad !!! ( Maxwell, Boltman, Bose, Einstein, Fermi, Dirac )

3.a) Feltételes valószínűség " Ha B bekövetkezett, akkor A -ról mit tudunk ? " DEF: jele: P (A | B) (" A feltéve B ") kiszámítása: P (A | B) := P(A  B) P(B) ha P(B)  0 .  Szorzás-Tétel: P(A | B)  P(B) = P(A  B) . 

Teljes valószínűség Tétele: Ha B1 , B2 , B3 , … , Bn teljes eseményrendszer, P(Bi)  0 , akkor tetszőleges A  Ω eseményre P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + …+ P(A|Bn)P(Bn) .  TA = TAB1 + TAB2 + …+ TABn . P(A) = TA

Bayes Tétele: (= Megfordítási Tétel) P (B | A) := P(A | B)  P(B) P(A) 

3.b) események függetlensége Megj: A és B független  P(A|B) = P(A) és P(B|A) = P(B)  Áll:  P(AB) = P(A)P(B) Def: ez utóbbi .  Megj: természet  fenti képlet. 

4. Valószínűségi változók / v.v. /  = " a kísérlet (mérés) számszerű végeredménye " (z) = amit éppen mérünk, z elemi eseménynél. Def: /mat./  :   R tetszőleges függvény.  : z | x = (z)  R valós szám.  !!!  lehet : DISZKRÉT: Im() = {x1, x2, … , xn , … } /felsorolható/ vagy FOLYTONOS: Im() = R // Im() = ÉK = a mérés összes lehetséges eredménye //

DISZKRÉT v.v. eloszlása : Im() = { x1 , x2 , x3 , x4 , … , xn , … } eloszlása := { p1 , p2 , p3 , p4 , … , pn , … } ahol pi := P(=xi) /a méréseredmények val./   Axiómák: /alaptulajdonságok/ (i) 0  pi  1 (ii) i=1 pi = 1 .  DEF./mat./: Tetszőleges {p1,p2,…,pn,…} sorozat a fenti két tulajdonsággal. 

FOLYTONOS v.v. eloszlása = SŰRŰSÉGFÜGGVÉNY ábra: f(x)

DEF: Sűrűségfüggvény axiómái / folytonos/ (i) 0  f(x)  xR (ii) R f(x) dx = 1 .  Alkalmazása: P( a    b) = ab f(x) dx = F(b) - F(a) ahol F(x) =  f(x) dx = primitív függvény = eloszlásfüggvény !!!pontosabban: DEF: F(b) := P(   b) = -b f(x) dx .  vagy f(x) = F'(x) = deriváltfüggvény = sűrűségfüggvény /Szótár!/ DEF: Eloszlásfüggvény axiómái ( xR) / tetszőleges/ (i) 0  F(x)  1 , (ii) F(x) monoton nő , (iii) limx  F(x) = 0 , limx + F(x) = 1 , (iv) F(x) balról folytonos: limxc- F(x) = F(c) /"teli karika"/ 

"Tipikus" kérdések (és a válaszok) P(ξ<b) = b f(x) dx = F(b) P(aξ) = a f(x) dx = 1-F(a) = 1- P(ξ<a) P(aξ<b) = ab f(x) dx = F(b)-F(a) /N.-L.-szabály/ P(ξ=b) = 0 (ha ξ folytonos v.v.) P(ξc) = P(|ξ-c|<ε) = P(c-ε<ξ<c+ε) = F(c+ε)-F(c-ε) .