PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Valószínűségszámítás és statisztika előadások Gépész-Villamosmérnök szak BSc MANB030, MALB030 Bevezető 3 példa: bináris csatorna, e-levelek érkezése, regressziós egyenes e-levelek érkezése, regressziós egyenes

Üzenet (m) 1. példa: Bináris csatorna Binaris_csatorna.mws Bináris kódoló és jeladó berendezés Kódolt üzenet E(m) Zaj Torzult üzenet (y) Vevő és dekódoló berendezés Üzenet m=D(y) Működése Adatátviteli valószínűségek ,45 0,55 0,9 0,95 0,1 0,05 átvitelVétel Bináris jelek érkezése Kódolás Encoder Decoder Mekkora a valószínűsége az 1 jel vételének? Mekkora a valószínűsége, hogy a jeladó 1 jelet küldött, feltéve hogy a vevő 1 jelet vett? PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Kérdések

2. példa: E-levelek érkezése E_levelek.mws Egy üzletember óránként átlagosan 3 üzlettel kapcsolatos és 2 magán jellegű t kap. Ezt a következtetést egy féléves levelezés statisztikája alapján vonta le. Feltesszük, hogy az 1 óra alatt érkezett üzleti és magán levelek egymástól függetlenek és mindegyik közelíthető egy-egy Poisson- eloszlással! PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Jelölje X 1 az 1 óra alatt beérkezett üzleti témájú levelek számát és X 2 az 1 óra alatt beérkezett magán témájú levelek számát! (a) Ábrázolja X 1 és X 2 eloszlását levélig! Hasonlítsa össze a két eloszlás jellegét? (b) Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy véletlenül kiválasztott órában nem kap levelet az üzletember? (c) Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy véletlenül kiválasztott órában összesen 5-nél több levele érkezik az üzletembernek? (d) Ábrázolja az Y= X 1 + X 2 összeg változó eloszlását 0-tól 5 -ig! Milyen eloszlású Y? Fogalmazzon meg sejtést a számítások alapján!

3. példa: Regressziós egyenes regresszio.mws PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály (a) Döntsük el c 2 ( khi-négyzet ) próba segítségével, hogy az X tantárgy osztályzatai függetlenek-e az Y tantárgy osztályzataitól 5%-os szignifikancia szinten! (b) Számítsuk ki a 25 megfigyelt adat és a függetlenségre alapozott számított értékek között a korrelációs együttható értékét! Rajzoljuk fel a kapott két adatsor értékeit közös koordinátarendszerben! Szoros-e a kapcsolat a két értéksor között? (c) Illesszünk lineáris regressziós egyenest az X tantárgy Y tantárgyra vonatkozó feltételes várható értékeire! Számítsuk ki az együttes eloszlás felhasználásával a korrelációs együtthatót és hasonlítsuk össze a (b) részben kapott korrelációs együtthatóval! Adjunk alsó és felső becslést (konfidencia intervallumot) a regressziós egyenes együtthatóira és az egyenesre 95%-os megbízhatósági szinten!