2. Koordináta-rendszerek és transzformációk 2.1. Koordináta-rendszerek 2.2. Az egyenes és a sík egyenlete 2.3. Affin transzformációk 2.4. Projektív transzformációk

Mire használjuk? Transzformációk a grafikában: [- tárgyak elhelyezése, [- részek összeállítása [ - tárgyak valószerű átalakításai (GM), - a tárgyak képe: vetítés síkra - egyebek

Milyen transzformációk kellenek? - E 3 –ban és H 3 -ban ( H 3 = E 3  I 3 ) - minden pontnak van transzformáltja, - H 3  H 3 (kölcsönösen egyértelmű) - pontot  pont, - egyenes  egyenes - sík  sík - illeszkedést tartó módon. Ilyenek a kollineációk, (projektív transzformációk)

Itt csak nagyvonalú, szemléletes tárgyalás

A kollineációk mátrix alakja H 3 pontjai: X = [x 1, x 2, x 3, h] T  H 3 ; h = 0|1; X   X ;  0; H 3 kollineációi: { M 44 ; det M 44  0}; M    M ;   0 X’ = M 44  X = = (m 11 m 12 m 13 m 14 )  (x 1 ) = (m 11 x 1 +m 12 x 2 +m 13 x 3 +m 14 h) = (x 1 ’) |m 21 m 22 m 23 m 24 | |x 2 | |m 21 x 1 +m 22 x 2 +m 23 x 3 +m 24 h| |x 2 ’| |m 31 m 32 m 33 m 34 | |x 3 | |m 31 x 1 +m 32 x 2 +m 33 x 3 +m 34 h| |x 3 ’| (m 41 m 42 m 43 m 44 ) (h ) (m 41 x 1 +m 42 x 2 +m 43 x 3 +m 44 h) (h ’)

E 3 és H 3 kollineációi: csoport E 3 kolline á ci ó i: affin transzformációk, alcsoport, E 3  E 3 és I 3  I 3 H 3 kollineációi: a projektív transzformációk csoportja H 3  H 3, egy – egy é rtelmű leképezés, pont-, egyenes-, s í k- é s illeszked é st tartó H 3 = E 3  I 3 esetleg egy k ö z ö ns é ges s í k  I 3 é s akkor I 3  egy k ö z ö ns é ges s í kra

2.4. Projektív transzformációk (a grafikában)

A „valódi” projektív transzformációk { A 44 }  { P 44 }; A 44 : E 3   E 3 és I 3   I 3 „valódi” projektív transzformáció: M 44  { A 44 }, ekkor: van olyan (!) : X = [x 1, x 2, x 3, 1] T  E 3 X’ = M 44 · X = [ x 1 ’, x 2 ’, x 3 ’, 0]  I 3 egy közönséges síkot  az ideális síkba az ideális síkot  egy közönséges síkba * a transzformáció „eltűnő síkja”

A projektív transzformáció mátrix alakja h H 3 egy pontja; P = [p 1, p 2, p 3, h] T ; P   P ;  0 egy kollineációja: M 44 ; M    M ;   0 P’ = M 44  P = = (m 11 m 12 m 13 m 14 )  (p 1 ) = (m 11 p 1 +m 12 p 2 +m 13 p 3 +m 14 h) = (p 1 ’) |m 21 m 22 m 23 m 24 | |p 2 | |m 21 p 1 +m 22 p 2 +m 23 p 3 +m 24 h| |p 2 ’| m 41 m 42 m 43 m 44 |m 31 m 32 m 33 m 34 | |p 3 | |m 31 p 1 +m 32 p 2 +m 33 p 3 +m 34 h| |p 3 ’| (m 41 m 42 m 43 m 44 ) (h ) (m 41 p 1 +m 42 p 2 +m 43 p 3 +m 44 h) (h ’) h’ = m 41  p 1 + m 42  p 2 + m 43  p 3 + m 44  h = [ m 41, m 42, m 43, m 44 ]  [ p 1, p 2, p 3, h ] T h’ = m 41  p 1 + m 42  p 2 + m 43  p 3 + m 44  h; ? = 0 |  0 ? = [ m 41, m 42, m 43, m 44 ]  [ p 1, p 2, p 3, h ] T = 0 |  0

A projektív transzformáció mátrix alakja h H 3 egy pontja; P = [p 1, p 2, p 3, h] T ; P   P ;  0 egy kollineációja: M 44 ; M    M ;   0 P’ = M 44  P = = [ p 1 ’, p 2 ’, p 3 ’, h’ ] T h’ = m 41  p 1 + m 42  p 2 + m 43  p 3 + m 44  h = [ m 41, m 42, m 43, m 44 ]  [ p 1, p 2, p 3, h ] T h’ = m 41  p 1 + m 42  p 2 + m 43  p 3 + m 44  h; ? = 0 |  0 ? = [ m 41, m 42, m 43, m 44 ]  [ p 1, p 2, p 3, h ] T = 0 |  0 P’  [p 1 ’/ h’, p 2 ’/ h’, p 3 ’/ h’, 1], ha h’  0 = [p 1 ’, p 2 ’, p 3 ’ 0], ideális pont, ha h’ = 0

Az eltűnő sík

Projektív transzformáció megadása: 5-5 pont  H 3 egy projektív transzformációját meghatározza 5 „független” pont és képe. „független”: kifeszítik a teret egyik három sem esik egy egyenesbe.  H 2 -ben 4-4

A sínpár perspektívája X = [1, 0, 0, 0]; X’ = X Y = [0, 1, 0, 0]; Y’ = Y Z = [0, 0, 1, 0]; Z’ = [0, 0, 1, 1] C = [0, 1, 0, 1]; C’ = [0, 0,1, 0] F = [1, 1, 1, 1]; F’ = [1, 1,0, 1]

A projektív transzformáció homogén mátrix alakja P’  [p’ 1, p’ 2, p’ 3, h’] T ; h’ = m 41  p 1 + m 42  p 2 + m 43  p 3 + m 44  h; h’ = [ m 41, m 42, m 43, m 44 ]  P ? = 0 |  0 ? [m 41, m 42, m 43, m 44 ] a transzformáció eltűnő síkja. a pontok homogén alakja: P’   P ;  0 a transzformációk homogén alakja: M 44    M 44 ;   0

Az eltűnő sík problémája  A kamera mögött kezdődő és előtte végződő szakaszok!  kamera síkja (z=0)  ideális sík  kamera elötti (z>0)  kamera előtti, 0 < z < 1/r  kamera mögötti (z<0)  kamera előtti, 1/r < z < +   ideális sík  z =1/r –be  Megoldás: közelsík; a mögöttes elhagyása („vágás”)  Távolsík: közelképeknél, vágás mélységben, távolképeknél: t = +  (1/t = 0) (a végtelent a 0 ≤ z’ <1/r –re “zsúfolja” be)

A sínpár perspektívája X = [1, 0, 0, 0]; X’ = X Y = [0, 1, 0, 0]; Y’ = Y Z = [0, 0, 1, 0]; Z’ = [0, 0, 1, 1] C = [0, 1, 0, 1]; C’ = [0, 0,1, 0] F = [1, 1, 1, 1]; F’ = [1, 1,0, 1]

„elemi” projektív mátrixok M P 1 P 2 M = ( m m m m ); | m m m m | | m m m m | ( p p p p ) P 1 = ( ) P 2 = ( ) | | | | | | | | ( 0 0 r 1 ) ( 0 0 r 0 ) Kollineációk megadása egyszerű, szemléletes geometriai transzformációk egymásutánjával

Összefoglalás X’= M · X kollineációk Affin transzformációk; M utolsó sora: [0, 0, 0, 1] különben: Projektív transzformációk Affin transzformációk: E n  E n és I n  I n Eltolás, forgatás, léptékezés, nyírás van bennük Projektív transzformációk: eltűnő sík