A folyamatok térben és időben zajlanak: a fizika törvényei Vektortan A folyamatok térben és időben zajlanak: a fizika törvényei az erők és a testek TÉR-IDŐ dinamikáját irják le. Idő: Tér: Pontszerű test pályája: Maxwell egyenletekben: az elektromágneses kölcsönhatást leiró négy térerő minden t idő- pillanatban vektor-vektor függvénnyel irható le Vektromennyiségek definiciója Vektoralgebra: Vektorokon végzett műveletek tana Vektroanalizis: Vektor változójú, illetve vektor értékű függvények tana (Diffenenciálás, integrálás, diffenerciál- és integrál-egyenletek) Az analizis alkalmazása a fizikában fontos függvényekre és függvény-osztályokra

Vektormennyiségek: Vektoralgebra: Skalármennyiségek : egyetlen számadattal jellemezhetők Idő, hőmérséklet, tömeg, töltés, munka, feszültség, stb. Vektormennyiségek: Erő, térerősség, térbeli hely, impulzus, nyomaték, stb. Jellemzése: a vektor nagyságával és irányával. Vektoralgebra: Összeadás: Kommutativ: Asszociativ: Szorzás skalár számmal: A irányú egységvektor: Descartes koordinátarendszerben x irányú egységvektor y irányú egységvektor z irányú egységvektor

Két vektor skalár szorzata Két vektor vektor szorzata Skalár szorzat tulajdonságai: Kommutativ, disztributiv, de NEM asszociativ Merőleges vektorok („orthonormáltak”) Két vektor vektor szorzata Vektor szorzat tulajdonságai: NEM kommutativ, de disztributiv

Három vektor vegyes szorzata A három vektor által kifeszitett parallelepipedon előjeles köbtartalmát adja meg

Vektoranalizis Egy pont helye: Térgörbe: Felület: A tér geometriai alakzatai: a TÉRGÖRBE, és a FELÜLET Tekintsünk egy tetszés szerinti, az x, y és z tengelyek által kifeszitett derékszügű koordinátarendszert. A tengelyek páronként merőlegesek és „jobbrendszert”„ alkotnak. Egy pont helye: Térgörbe: t egy változó paraméter A térgörbe érintő vektora: Ha a t paraméter a görbe mentés mért ivhosszúságot jelenti, akkor tehát ilyenkor az érintő vektor egységvektor. Felület: u és v változó paraméterek Már csak az u változik, ez tehát egy térgörbe egyenlete

három számot rendelünk A felületen futó „u” görbék Az u görbe érintő vektora A felületen futó „v” görbék A v görbe érintő vektora E két vektor által kifeszitett sik a ferlület érintő sikja. Ennek normálisa: A fizikai állapot leirása és ábrázolása a tér egyes pontjaiban Skalártér Vektrotér A tér minden pontjához egy számot rendelünk A tér minden pontjához három számot rendelünk Ábrázolás Három szintfelülettel? Szintfelületekkel Faraday: „Erővonalakkal”

Az erővonalak konstrukciója: Az erővonalak differenciálegyenlete

A vonalintegrál A vonalintegrál értéke általában függ az úttól. A vonalintegrál értéke mindig egy meghatározott vonalra vonatkozik. A vonalintegrál értéke általában függ az úttól. Fontosak a zárt görbére vett vonalintegrálok: Ha a zárt görbére vett vonalintegrál bármely L-re nulla, akkor a vonaintegrál nem függ az úttól, csak a végpontoktól.

Felületi integrál

Vektrotér divergenciája (forrásai) Térfogati integrál Skalárfüggvény térfogati integrálja Vektorfüggvény térfogati integrálja Vektrotér divergenciája (forrásai) A vektortér egy tetszés szerinti pontjában a vektortér divergenciája a szóban forgó pont köré irt zárt felületre vett felületi integrál és a zárt felület által határolt köbtartalom hányadosának határértéke, ha a térfogatelem nagysága minden határon túl csökken. (E határérték független a térfogat és az azt határoló felület alakjától!)

Felületelem A vektortér a P pontban Illetve a P pont környezetében: Minthogy a felületnek mindig a kifelé mutató normálisa a pozitiv irány, az ABCD és az A’B’C’D’ lapokra vett integrál

A vektortér rotációja (örvényei) A vektortér egy pontbeli rotációjának a ponton átmenő sikra merőleges komponensét megkapjuk, ha képezzük a vektrotér vonalintegrálját a sikban egy pont körüli vonalra, ezt elosztjuk a vonal által körülhatárolt felületelemmel, majd Képezzük e hányados határértékét, ha a felületelem minden határon túl nulla felé tart, miközben a határoló görbe a pontra zsugorodik.

Először számitsuk ki a rotáció x irányú Komponensét. Mutatis mutandis

Determináns alakban összefoglalva: Vezessünk be egy új jelölést: „NABLA vektor”:

Gauss tétele

Stokes tétele Térbeli differenciálás

Vektroanalitikai azonosságok

Az elektromágneses tér alapegyenletei : MAXWELL EGYENLETEK