Regresszió és korreláció 2013. 03. 09 .

Lineáris regresszió Regressziós vizsgálatok Korrelációs együttható Korreláció és függetlenség

Bizonyos esetekben tudjuk/gyanítjuk, hogy az adatok ingadozásáért egy másik, ugyancsak változó tényező a felelős Pl.: RR különböző életkorokban más értékek Laboratóriumi mérést helyiség hőmérséklete befolyásol, növeli a szórást

Kézenfekvő lenne ennek a külső változónak az ingadozását megszüntetni, értékét azonos szinten tartani – nem mindig lehetséges Másik megoldás, hogy a zavaró változó hatását igyekszünk felderíteni, és számítással kiküszöbölni.

Pl.: Hogyan változik (és változik-e egyáltalán) Bizonyos esetekben ennek a hatásnak a természete jobban érdekel minket, mint magának a szórásnak a csökkentése Pl.: Hogyan változik (és változik-e egyáltalán) a korral a vérnyomás a koncentrációval a törésmutató Eredeti változónkat tehát mintegy a másik függvényében vizsgáljuk – regressziós vizsgálatok

Adrenalin hatására vizsgáljuk az izomrángást Adrenalin dózis növekedésével a rángásidőt vizsgáljuk Próbáljuk egyenessel megközelíteni a hatás jellemzését

x változó vizsgált értékeit mi választjuk ki, yi adatok eltérését az egyenestől rögzített xi értéknél (tehát a függőlegesen vizsgáljuk) Célunk, hogy a függőleges egyenesekből számolt szórás a lehető legkisebb legyen y=a+bx ahol b a meredekség, a tengelymetszet

Regressziós vizsgálatok A regressziós összefügéseket nem mindig egyenes ábrázolja a legjobban Sokszor görbe jellemzi: parabola, hiperbola vagy exponenciális görbe Előfordul, hogy a dózis logaritmusa áll lineáris kapcsolatban a hatással

Valóságos regressziós egyenlet: 1., x és y tengelyen ábrázolt adatokra rátekintve mondhatjuk meg, hogy milyen görbe jellemzi 2., Megmérjük az összefüggés szorosságát, ezt a célt szolgálja a korrelációs együttható

Kovariancia (sxy): az együttes ingadozás mértékszáma Korelációs együttható (r): a kovariancia a szórások szorzatával osztva

Pozitív hajlásszögű egyenes: b>0, a korrelációs együttható (r) is pozitív lesz, ezt pozitív korrelációnak nevezzük. Negatív hajlásszögű egyenes: a korrelációs együttható is negatív, negatív korrelációról beszélünk r=0 korrelálatlanságról beszélünk, ilyenkor regressziós egyenes vízszintes (b=0) (ilyenkor y átlagos értéke ugyanaz marad, akárhogyan is változik x)

A korrelációs együttható csak -1 és +1 közti értékeket vehet fel A együttható abszolút értéke jellemzi a kapcsolat szorosságát (mennél jobban tömörülnek a pontok az egyenes körül annál nagyobb r abszolút értéke) +1 vagy -1 értéket akkor és csak akkor éri el az együttható, ha a pontok valamennyien rajta fekszenek az egyenesen

Két változó együttváltozása lehet, hogy csak egy harmadik változó hatásának eredménye: mindkettejük alakulását az szabályozza, maguk a vizsgált változók azonban semmiféle befolyással nincsenek egymásra Pl.: gyulladásos folyamat lázat és fvs szám növekedést okoz. De sem a láztól a fvs, sem a fvs növekedéstől a testhőmérséklet nem változik

Még ha ok-okozati összefüggés áll is fenn a két vizsgált változó között, pusztán korrelációs együttható segítségével akkor sem tudjuk eldönteni hogy melyik befolyásolja a másikat Az ok megkeresése biológiai probléma nem pedig biometriai

A korreláció hiánya, a korrelálatlanság (r=0) hasonlóképpen hibás következtetésekre indíthat – mivel a változók közötti kapcsolat hiánya miatt könnyen értelmezhetjük úgy, hogy az adatok függetlenek egymástól Pl.: az életkor függvényében vizsgált összefüggések

Erre a legjobban közelítő egyenes a vízszintes lesz Erre az eredményt azonban a legjobban nem az egyenes reprezentálja hanem egy görbe.

Nem minden görbevonalú kapcsolat esetén ennyire félrevezető az r együttható segítségével szerzett információ, de ajánlatos azzal mindig óvatosan bánnunk A normális eloszlás fontos kivétel: elméletileg igazolható, hogy ilyenkor vagy lineáris kapcsolat van a változók között vagy semmilyen Normális eloszlás esetén tehát a korrelálatlanság (lineáris kapcsolat hiánya) már biztosítja a függetlenséget.

Fordított irányú következtetés viszont mindig helyes: a változók függetlensége esetén a korrelációs együttható mindenképp nulla

Bizonyos esetekben az r becsaphat: korrelációt találhatunk ott is ahol valójában függetlenség van, máskor meg kétségkívül fennálló lineáris kapcsolatot „nem veszi észre” a mintából számított r együttható, a mintaelemek speciális elhelyezkedése miatt

A körben elhelyezkedő végtelen sok érték közül választunk ki néhányat – a változóból a mintát -, és ezekből határozzuk meg a korrelációs együtthatót. Mivel a kiválasztott pontok véletlenül egy egyenes mentén helyezkednek el, a korrelációs együttható értéke közel lesz az 1-hez . Emiatt arra a következtetésre jutunk, hogy a változók közt szoros kapcsolat van.

Más esetben a változók értékeit ábrázoló pontokból a köztük lévő lineáris összefüggés nyilvánvaló; a kiválasztott pontok – ismét csak véletlenül – azonban úgy helyezkednek el, hogy rajtuk vízszintes egyenest fektethetünk át. Az így kapott r=0 alapján a változók korrelálatlanságára (sőt gyakran függetlenségére) következtethetünk

A fenti ellentmondásokat az eddigi módszerekkel már nem tudjuk feloldani. Statisztikai következtetés módszereinek helyes alkalmazása megvéd az utóbbi kettő tévedéstől.

Az eloszlások paramétereire vonatkozó próbák U próba T (student) próba F próba

u-próba He egy ismert σ szórású (normális eloszlású) alapsokaságból vett n elemszámú minta átlagára vonatkozó nullhipotézisünket akarjuk ellenőrizni

Átlagsúly 1.985 kg A súlyok szórása 0.060kg Szignifikancia szint 5% (μp=0.05) Ehhez tartozó kritikus érték: 1.96

t-(student) próba T-próbával ellenőrizhetjük két ismeretlen minta középértékeire vonatkozó hipotézisünket, a két mintaátlag különbségének szignifikanciáját. A két mintaátlag különbözősége önmagában nem bizonyítja a két várható érték eltérését, erre a t-próba ad felvilágosítást

t-(student) próba A t-próba alkalmazásának előfeltétele, hogy a két valószínűségi változó követi a normális eloszlást, és szórása egyenlő

F-próba Mind az u-próbánál, mind a t-próbánál feltéteteleztünk valamit a sokaság szórásáról: Az u-próbánál azt, hogy ismert, t-próbánál pedig azt, hogy az összehasonlított sokaságok szórása azonos. A szórással kapcsolatos ezen hipotéziseink ellenőrzésére alkalmas az F-próba

F-próba A nullhipotézis itt azt jelenti, hogy két normális eloszlású ismeretlen várható értékű sokaság szórása azonos (σ1=σ2) A két sokaságból vett minta szórásnégyzeteinek hányadosa F-eloszlást követ

KÖSZÖNÖM A FIGYELMET!