ELTE Matematikai Intézet Gráfok limesze Lovász László Microsoft Research és ELTE Matematikai Intézet

Nagyon nagy gráf: Internet -Társadalmi hálózatok Ökológiai rendszerek VLSI Statisztikus fizika Kvázivéletlen gráfok Agy Modell?

Véletlen gráfok Erdős-Rényi véletlen gráf (1960): G(n,p) - n csúcs - bármely két csúcsot p valószínűséggel kötünk össze, egymástól függetlenül Barabási Albert-László – Albert Réka (1999): - minden lépésben új csúcs születik; - fokszámokkal arányos valószínűséggel választ c meglévő csúcsot, és oda köt

G súlyozott gráf, 1,..., k>0 pontsúlyok, 0ij1 élsúlyok, Véletlen gráfok Erdős-Rényi véletlen gráf (1960): G(n,p) - n csúcs - bármely két csúcsot p valószínűséggel kötünk össze, egymástól függetlenül G súlyozott gráf, 1,..., k>0 pontsúlyok, 0ij1 élsúlyok, G modellű véletlen gráf: G(n,G) - n csúcs, 1n,..., kn méretű S1,...,Sk osztályokba osztva - két uSi, v  Sj csúcsot ij valószínűséggel kötünk össze, egymástól függetlenül

W-véletlen gráfok szimmetrikus, mérhető független, egyenletes eloszlású

Súlyozott gráf adjacencia mátrixa mint W:

,,F sűrűsége W-ben''

Konvergens gráfsorozatok (Gn) konvergens : Példák: Paley gráfok (kvadratikus maradék gráfok) Félgráfok ...

Van-e limesz? GnW Minden konvergens (Gn) gráfsorozathoz van olyan WW0 függvény, melyre B.Szegedy-L GnW Lényegében egyértelmű a.s. a.s.

(Gn: n=1,2,...) kvázivéletlen: Kvázivéletlen gráf Thomason Chung – Graham – Wilson (Gn: n=1,2,...) kvázivéletlen: Example: Paley graphs p: prim 1 mod 4 (Gn) kvázivéletlen:  1/2

1/2 Véletlen gráf 100 csúccsal, 2500 éllel

Növekedő egyenletes bekötésű gráf Ha n csúcs van: - c/n valószínűséggel új csúcs születik, - 1-c/n valószínűséggel új él születik.

Növekedő egyenletes bekötésű gráf 200 csúccsal, 2500 éllel

(deg+1)–gyel arányos valószínűséggel, Fix csúcsú sznob gráf Adott n csúcs m lépésben válasszunk 2 csúcsot függetlenül (deg+1)–gyel arányos valószínűséggel, és kössük össze Barabási-Albert: növekvő sznob fa ...de mi itt sűrű gráfokat tekintünk…

Fix csúcsú sznob gráf 100 csúccsal, 5000 éllel

Fix csúcsú sznob gráf 100 csúccsal, 5000 éllel fokszám szerint rendezve

Gráfok és függvények távolsága: fölfújjuk...

(Gyenge) Regularitási Lemma Szemerédi Frieze-Kannan lépcsősfüggvény lépcsővel melyre kompakt L-Szegedy

Legyen (Gn) gráfsorozat, ekkor a következők ekvivalensek: (i) (Gn) konvergens (ii) (Gn) Cauchy a metrikában Borgs-Chayes- L-T.Sós-Vesztergombi Erdős-Rényi gráf: egyenletes bekötésű gráf: fix csúcsú sznob gráf:

-Páros vagy páratlan-e a csúcsok száma? Globális tulajdonságok lokális tesztelése Mit érdemes kérdezni? -Páros vagy páratlan-e a csúcsok száma? -Milyen sűrű a gráf (átlagfok)? -Összefüggő-e a gráf?

Legyen f korlátos gráfparaméter, ekkor a következők ekvivalensek: (i) f lokálisan tesztelhető (ii) (iii) f folytonos a metrikában Borgs-Chayes- L-T.Sós-Vesztergombi Maximális vágás sűrűsége tesztelhető. Goldreich-Goldwasser- Ron Minden öröklődő tulajdonság tesztelhető. Alon-Shapira

Fő Lemma: