Miki és a nyerő stratégia Waldhauser Tamás SZTE Bolyai Intézet
Nyerő stratégia keresése diszkrét kétszemélyes determinisztikus teljes információs véges végesfokú szimmetrikus normál játékokban.
X X X X X X X X X O X O X O X O X X O X O X O X O X O X O O X O X O X X O O X X O
Claude Gaspar Bachet de Méziriac (1581-1638)
Bachet játéka ⋯ 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Bachet játéka ⋯ 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Bachet játéka ⋯ 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Bachet játéka ⋯ 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Bachet játéka ⋯ 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Bachet játéka ⋯ 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Bachet játéka ⋯ 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Bachet játéka ⋯ 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Jó és rossz állások rossz állások jó állások végállások
Jó állásból csak rossz állásba lehet rossz állások jó állások végállások
Rossz állásból mindig lehet jó állásba rossz állások jó állások végállások
A játszma menete rossz állások jó állások végállások
A Sprague–Grundy-függvény Legyen H ⊆ N, például H { 0, 1, 2, 4, 6 }. max H 6 (maximal) min H 0 (minimal) mex H 3 (minimal excluded) Magyarul minimális kimaradó: miki H min N∖H min { 3, 5, 7, 8, } 3.
A Sprague–Grundy-függvény Rendeljünk a játék minden a állásához egy (a) természetes számot a következő szabály szerint: (a) miki { (b1), (b2) , , (bk) }. a bk b1 b2
A Sprague–Grundy-függvény Tétel (Sprague 1935, Grundy 1939): Ilyen függvény létezik, mégpedig pontosan egy, és ennek zérushelyei éppen a jó állások.
Jó állásból csak rossz állásba lehet bk b1 b2 bi (a) miki { (b1), (b2) , , (bk) }
Jó állásból csak rossz állásba lehet bk b1 b2 bi (a) miki { (b1), (b2) , , (bk) } 0
Jó állásból csak rossz állásba lehet bk b1 b2 bi (a) miki { (b1), (b2) , , (bk) } 0 i (bi) 0
Rossz állásból mindig lehet jó állásba bk b1 b2 bi (a) miki { (b1), (b2) , , (bk) }
Rossz állásból mindig lehet jó állásba bk b1 b2 bi (a) miki { (b1), (b2) , , (bk) } 0
Rossz állásból mindig lehet jó állásba bk b1 b2 bi (a) miki { (b1), (b2) , , (bk) } 0 i (bi) 0
Kivonási játékok állás: természetes szám lépés: az aktuális számot egy előre megadott K kivonási halmaz valamely elemével csökkentjük A Bachet játéknál K { 1, 2, , 10 }. Mini Bachet játék: K { 1, 2 }.
A mini Bachet játék SG-függvénye 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
A mini Bachet játék SG-függvénye 10 9 8 miki ∅ 0 7 6 5 4 3 2 1
A mini Bachet játék SG-függvénye 10 9 8 miki ∅ 0 7 6 5 4 3 2 1
A mini Bachet játék SG-függvénye 10 9 8 miki { 0 } 1 7 6 5 4 3 2 1
A mini Bachet játék SG-függvénye 10 9 8 miki { 0 } 1 7 6 5 4 3 2 1 1
A mini Bachet játék SG-függvénye 10 9 8 miki { 0, 1 } 2 7 6 5 4 3 2 1 1
A mini Bachet játék SG-függvénye 10 9 8 miki { 0, 1 } 2 7 6 5 4 3 2 2 1 1
A mini Bachet játék SG-függvénye 10 9 8 miki { 1, 2 } 0 7 6 5 4 3 2 2 1 1
A mini Bachet játék SG-függvénye 10 9 8 miki { 1, 2 } 0 7 6 5 4 3 2 2 1 1
A mini Bachet játék SG-függvénye 10 9 8 miki { 0, 2 } 1 7 6 5 4 3 2 2 1 1
A mini Bachet játék SG-függvénye 10 9 8 miki { 0, 2 } 1 7 6 5 4 1 3 2 2 1 1
A mini Bachet játék SG-függvénye 10 9 8 miki { 0, 1 } 2 7 6 5 4 1 3 2 2 1 1
A mini Bachet játék SG-függvénye 10 9 8 miki { 0, 1 } 2 7 6 5 2 4 1 3 2 2 1 1
A mini Bachet játék SG-függvénye 10 9 8 miki { 1, 2 } 0 7 6 5 2 4 1 3 2 2 1 1
A mini Bachet játék SG-függvénye 10 9 8 miki { 0, 2 } 1 7 1 6 5 2 4 1 3 2 2 1 1
A mini Bachet játék SG-függvénye 10 9 8 2 miki { 0, 1 } 2 7 1 6 5 2 4 1 3 2 2 1 1
A mini Bachet játék SG-függvénye 10 9 8 2 miki { 1, 2 } 0 7 1 6 5 2 4 1 3 2 2 1 1
A mini Bachet játék SG-függvénye 10 1 9 8 2 miki { 0, 2 } 1 7 1 6 5 2 4 1 3 2 2 1 1
A mini Bachet játék SG-függvénye 10 1 9 8 2 (n) n mod 3 7 1 6 5 2 4 1 3 2 2 1 1
A mini Bachet játék SG-függvénye 10 1 9 8 2 n jó állás 3n 7 1 6 5 2 4 1 3 2 2 1 1
A Bachet játék SG-függvénye 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ⋯ miki ∅ 0
A Bachet játék SG-függvénye 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ⋯ miki {0} 1
A Bachet játék SG-függvénye 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ⋯ miki {0,1} 2
A Bachet játék SG-függvénye 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ⋯ miki {0,1,2} 3
A Bachet játék SG-függvénye 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ⋯ miki {0,1,,9} 10
A Bachet játék SG-függvénye 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ⋯ miki {1,2,,10} 0
A Bachet játék SG-függvénye 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ⋯ miki {2,3,,10,0} miki {0,2,3,,10} 1
A Bachet játék SG-függvénye 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ⋯ (n) n mod 11
A Bachet játék SG-függvénye 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ⋯ n jó állás 11n
Kivonási játékok Tétel: Ha a kivonási halmaz véges, akkor a kivonási játék SG-függvénye periodikus. Tétel (Althöfer, Bültermann): A K = {1,8,31,38,39} kivonási halmaz esetén a periódus hossza 11757.
KöMaL 1997/12
Sarokba a bástyát! 7 6 5 4 3 2 1
Sarokba a bástyát! 7 6 5 4 3 2 1 miki ∅ 0
Sarokba a bástyát! 7 6 5 4 3 2 1 miki {0} 1
Sarokba a bástyát! 7 6 5 4 3 2 1 miki {0,1} 2
Sarokba a bástyát! 7 6 5 4 3 2 1 miki {0,1,2} 3
Sarokba a bástyát! 7 6 5 4 3 2 1 miki {1} 0
Sarokba a bástyát! 7 6 5 4 3 2 1 miki {0,1,2} 3
Sarokba a bástyát! 7 6 5 4 3 2 1 miki {0,1,3} 2
Sarokba a bástyát! 7 6 5 4 3 2 1 miki {1,4,5,6,7} 0
Sarokba a bástyát! 7 6 5 4 3 2 1 miki {0,1,2,4,5,6,7} 3
Sarokba a bástyát! 7 6 5 4 3 2 1
Sarokba a bástyát! 7 6 5 4 3 2 1
KöMaL 1993/12
Sarokba a bástyát! 7 6 5 4 3 2 1 (6,5)
Nim Két kupac kaviccsal játszunk. Egy lépésben valamelyikből (de csak az egyikből!) elvehetünk bármennyit. Az nyer, aki az utolsó kavicsot elveszi. Nyerő stratégia: törekedjünk szimmetriára!
Nim-összeadás 7 6 5 4 3 2 1 6 5 3
Nim A k kupac kaviccsal játszott nim (n1, n2, , nk) állásához tartozó SG-érték n1 n2 nk. A k 2 esetben: n1 n2 0 n1 n2.
Sarokba a királyt! 7 6 5 4 3 2 1
Sarokba a királyt! 7 6 5 4 3 2 1 miki ∅ 0
Sarokba a királyt! 7 6 5 4 3 2 1 miki {0} 1
Sarokba a királyt! 7 6 5 4 3 2 1 miki {1} 0
Sarokba a királyt! 7 6 5 4 3 2 1 miki {0} 1
Sarokba a királyt! 7 1 6 5 4 3 2 miki {0,1} 2
Sarokba a királyt! 7 1 6 5 4 3 2 miki {0,1,2} 3
Sarokba a királyt! 7 1 6 5 4 3 2 miki {0,1,3} 2
Sarokba a királyt! 7 1 2 6 3 5 4 miki {2,3} 0
Sarokba a királyt! 7 1 2 6 3 5 4 miki {0,2,3} 1
Sarokba a királyt! 7 1 2 6 3 5 4 (n,m) jó állás 2n,m
Sarokba a királynőt! 7 6 5 4 3 2 1
Sarokba a királynőt! 7 6 5 4 3 2 1 miki ∅ 0
Sarokba a királynőt! 7 6 5 4 3 2 1 miki {0} 1
Sarokba a királynőt! 7 6 5 4 3 2 1 miki {0,1} 2
Sarokba a királynőt! 7 6 5 4 3 2 1 miki {0,1,2} 3
Sarokba a királynőt! 7 6 5 4 3 2 1 miki {0,1} 2
Sarokba a királynőt! 7 6 5 4 3 2 1 miki {1,2} 0
Sarokba a királynőt! 7 6 5 4 3 2 1 miki {0,1,2,3} 4
Sarokba a királynőt! 7 8 6 5 3 4 2 1 miki {2,3,4,5,6} 0
Sarokba a királynőt! 7 8 6 5 3 4 2 1 miki {0,2,3,4,5,6,7,8} 1
Sarokba a királynőt! 7 8 6 9 1 4 5 10 3 2
Sarokba a királynőt! 7 8 6 9 1 4 5 10 3 2
Sarokba a királynőt! 7 6 5 4 3 2 1 (6,5)
Wythoff-nim Két kupac kaviccsal játszunk. Egy lépésben elvehetünk az egyikből bármennyit, vagy mindkettőből ugyanannyit. Az nyer, aki az utolsó kavicsot elveszi. Nyerő stratégia? A szimmetria nem segít!
Willem Abraham Wythoff (1865-1939)
Wythoff-nim
Wythoff-nim
Wythoff-nim
Wythoff-nim
Wythoff-nim Legyen (an,bn) a Wythoff-nim n-edik jó állása. n 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ⋯ an 11 12 14 bn 10 13 15 18 20 23 Tétel (Wythoff 1907):
Osztályozás 3 Tic-tac-toe 4 Bachet 5 Bachet játék nyerő stratégiája 6-13 Jó és rossz állások 14-17 Miki 18 SG-függvény 19-26 Kivonási játékok 27 Mini Bachet SG 28-47 Bachet SG 48-56 Kivonási játék SG periodikus 57 KöMaL: kivonási játék 58 Sarokba a bástyát! 59-70 KöMaL: Sarokba a sánta bástyát! 71 Sarokba a bástyát! -> nim 72 Nim 73 Nim-összeadás 74 Többcsomós nim SG 75 Sarokba a királyt! 76-86 Sarokba a királynőt! 87-98 Sarokba a királynőt! -> Wythoff-nim 99 Wythoff-nim 100 Wythoff 101 Wythoff SG 300 102 Wythoff SG 25 103-105 Wythoff tétele 106