Miki és a nyerő stratégia

Slides:



Advertisements
Hasonló előadás

Advertisements

Elemi algoritmusok Páll Boglárka.
Kamarai prezentáció sablon
Erőállóképesség mérése Találjanak teszteket az irodalomban
Függvények Egyenlőre csak valós-valós függvényekkel foglalkozunk.
6) 7) 8) 9) 10) Mennyi az x, y és z értéke? 11) 12) 13) 14) 15)
Műveletek logaritmussal
Matematika - 5. évfolyam © Kačmárová Fordította: Balogh Szilveszter.
Elektromos mennyiségek mérése
Kötelező alapkérdések
Koordináta transzformációk
Koordináta transzformációk
Utófeszített vasbeton lemez statikai számítása Részletes számítás
Euklidészi gyűrűk Definíció.
4. VÉGES HALMAZOK 4.1 Alaptulajdonságok
A tételek eljuttatása az iskolákba
Egy kis lineáris algebra
Elektronikai Áramkörök Tervezése és Megvalósítása
Elektronikai Áramkörök Tervezése és Megvalósítása
Kivonási játékok állás: nemnegatív egész szám
Kivonási játékok állás: nemnegatív egész szám lépés: az aktuális számot egy előre megadott K kivonási halmaz valamely elemével csökkentjük végállás: 0.
Játékelmélet Nash, dominancia.
VÁLOGATÁS ISKOLÁNK ÉLETÉBŐL KÉPEKBEN.
Védőgázas hegesztések
1. IS2PRI2 02/96 B.Könyv SIKER A KÖNYVELÉSHEZ. 2. IS2PRI2 02/96 Mi a B.Könyv KönyvelésMérlegEredményAdóAnalitikaForintDevizaKönyvelésMérlegEredményAdóAnalitikaForintDeviza.
OPERÁCIÓKUTATÁS Kalmár János, 2012 Tartalom A nulla-egy LP megoldása Hátizsák feladat.
IV. Demográfia Halandóság
ADATBÁZISOK
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI 1. Matematika
: Adós Aladár számláján 2700 dinár tartozás. Elhatározta, a következő naptól a hónap végéig minden nap befizet 150 dinárt, hogy rendezze.
Szerkesztési feladatok
5. VÉGTELEN HALMAZOK 5.1 Kiválasztási axióma
Kétszemélyes játékok Előadó: Nagy Sára.
Szerkezeti elemek teherbírásvizsgálata összetett terhelés esetén:
Sárgarépa piaca hasonlóságelemzéssel Gazdaság- és Társadalomtudományi kar Gazdasági és vidékfejlesztési agrármérnök I. évfolyam Fekete AlexanderKozma Richárd.
NOVÁK TAMÁS Nemzetközi Gazdaságtan
Miskolci Egyetem Informatikai Intézet Általános Informatikai Tanszé k Pance Miklós Adatstruktúrák, algoritmusok előadásvázlat Miskolc, 2004 Technikai közreműködő:
DRAGON BALL GT dbzgtlink féle változat! Illesztett, ráégetett, sárga felirattal! Japan és Angol Navigáláshoz használd a bal oldali léptető elemeket ! Verzio.
Fekete László Született: Csillagjegye: Vízöntő
A közép- és emelt szintű vizsga tanári értékelése
Branch & bound módszer. A megoldandó feladat: P(x) = 8x 1 + 5x 2  MAX x 1 + x 2
szakmérnök hallgatók számára
A évi demográfiai adatok értékelése
A évi demográfiai adatok értékelése
Logikai szita Pomothy Judit 9. B.
Logikai szita Izsó Tímea 9.B.
A szemcsehatárok tulajdonságainak tudatos módosítása Szabó Péter János BME Anyagtudomány és Technológia Tanszék Anyagvizsgálat a gyakorlatban (AGY 4) 2008.
2007. május 22. Debrecen Digitalizálás és elektronikus hozzáférés 1 DEA: a Debreceni Egyetem elektronikus Archívuma Karácsony Gyöngyi DE Egyetemi és Nemzeti.
7. Házi feladat megoldása
Érettségi jelentkezések és érettségi eredmények 2008 Tanévnyitó értekezlet Érettségi jelentkezések - érettségi eredmények augusztus 29.
A Jókai Mór Református Általános Iskola és AMI Miskolc 4. évfolyamos tanulóinak a 2011-es Országos Kompetenciamérésen elért eredményei Készítette: Bánné.
Csurik Magda Országos Tisztifőorvosi Hivatal
A klinikai transzfúziós tevékenység Ápolás szakmai ellenőrzése
Az szabály nem megfelelő 1.AlapokA sakkot két játékos játsza egymás ellen. Egyik játékos a sötét, a másik a világos bábukat irányítja. Mindkét játékosnak.
2006. Peer-to-Peer (P2P) hálózatok Távközlési és Médiainformatikai Tanszék.
MENETREND HASZNÁLATÁNAK GYAKORLÁSA Feladat: autóbusz, villamos, trolibusz, fogaskerekű, HÉV menetrend gyakorlása El szeretnénk jutni a Selyemrét megállóból.
Tanulói utánkövetés 2009/2010. A 2009/2010-es tanévben iskolánkban 210 tanuló végzett. 77 fő a szakközépiskola valamelyik tagozatán 133 fő szakmát szerzett.
Feladatok tömbökkel.
Nyitott Kapuk 2010 Beiskolázási kérdőívek értékelése.
QualcoDuna interkalibráció Talaj- és levegövizsgálati körmérések évi értékelése (2007.) Dr. Biliczkiné Gaál Piroska VITUKI Kht. Minőségbiztosítási és Ellenőrzési.
1. Melyik jármű haladhat tovább elsőként az ábrán látható forgalmi helyzetben? a) A "V" jelű villamos. b) Az "M" jelű munkagép. c) Az "R" jelű rendőrségi.
GAZDASÁGI ADOTTSÁGOK ÉS FEJLŐDÉSI IRÁNYOK A délkelet-európai országok Novák Tamás MTA – VKI május 16.
BINÁRIS FA Definició: A fa olyanösszefüggő gráf, amelyben nincs kör
Kvantitatív módszerek
Stratégiai játékok. Mit nevezünk stratégiai játéknak? Az ilyen típusú játékokban a játékosok megadott szabály szerint lépnek. Általában kötelező lépni.
> aspnet_regiis -i 8 9 TIPP: Az „Alap” telepítés gyors, nem kérdez, de később korlátozhat.
A KÖVETKEZŐKBEN SZÁMOZOTT KÉRDÉSEKET VAGY KÉPEKET LÁT SZÁMOZOTT KÉPLETEKKEL. ÍRJA A SZÁMOZOTT KÉRDÉSRE ADOTT VÁLASZT, VAGY A SZÁMOZOTT KÉPLET NEVÉT A VÁLASZÍV.
1 Az igazság ideát van? Montskó Éva, mtv. 2 Célcsoport Az alábbi célcsoportokra vonatkozóan mutatjuk be az adatokat: 4-12 évesek,1.
Mesterséges intelligencia 8. Stratégiai játékok A játék kimenetelére a játékosoknak ellenőrizhető módon van befolyásuk. Pl.: sakk, dáma, póker stb. A.
Sarokba a királynőt!
Előadás másolata:

Miki és a nyerő stratégia Waldhauser Tamás SZTE Bolyai Intézet

Nyerő stratégia keresése diszkrét kétszemélyes determinisztikus teljes információs véges végesfokú szimmetrikus normál játékokban.

X X X X X X X X X O X O X O X O X X O X O X O X O X O X O O X O X O X X O O X X O

Claude Gaspar Bachet de Méziriac (1581-1638)

Bachet játéka ⋯ 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Bachet játéka ⋯ 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Bachet játéka ⋯ 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Bachet játéka ⋯ 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Bachet játéka ⋯ 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Bachet játéka ⋯ 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Bachet játéka ⋯ 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Bachet játéka ⋯ 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Jó és rossz állások rossz állások jó állások végállások

Jó állásból csak rossz állásba lehet rossz állások jó állások végállások

Rossz állásból mindig lehet jó állásba rossz állások jó állások végállások

A játszma menete rossz állások jó állások végállások

A Sprague–Grundy-függvény Legyen H ⊆ N, például H  { 0, 1, 2, 4, 6 }. max H  6 (maximal) min H  0 (minimal) mex H  3 (minimal excluded) Magyarul minimális kimaradó: miki H  min N∖H  min { 3, 5, 7, 8,  }  3.

A Sprague–Grundy-függvény Rendeljünk a játék minden a állásához egy (a) természetes számot a következő szabály szerint: (a)  miki { (b1), (b2) , , (bk) }. a bk b1 b2

A Sprague–Grundy-függvény Tétel (Sprague 1935, Grundy 1939): Ilyen  függvény létezik, mégpedig pontosan egy, és ennek zérushelyei éppen a jó állások.

Jó állásból csak rossz állásba lehet bk b1 b2 bi (a)  miki { (b1), (b2) , , (bk) }

Jó állásból csak rossz állásba lehet bk b1 b2 bi (a)  miki { (b1), (b2) , , (bk) }  0

Jó állásból csak rossz állásba lehet bk b1 b2 bi (a)  miki { (b1), (b2) , , (bk) }  0  i (bi)  0

Rossz állásból mindig lehet jó állásba bk b1 b2 bi (a)  miki { (b1), (b2) , , (bk) }

Rossz állásból mindig lehet jó állásba bk b1 b2 bi (a)  miki { (b1), (b2) , , (bk) }  0

Rossz állásból mindig lehet jó állásba bk b1 b2 bi (a)  miki { (b1), (b2) , , (bk) }  0  i (bi)  0

Kivonási játékok állás: természetes szám lépés: az aktuális számot egy előre megadott K kivonási halmaz valamely elemével csökkentjük A Bachet játéknál K  { 1, 2, , 10 }. Mini Bachet játék: K  { 1, 2 }.

A mini Bachet játék SG-függvénye 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

A mini Bachet játék SG-függvénye 10 9 8 miki ∅  0 7 6 5 4 3 2 1

A mini Bachet játék SG-függvénye 10 9 8 miki ∅  0 7 6 5 4 3 2 1

A mini Bachet játék SG-függvénye 10 9 8 miki { 0 }  1 7 6 5 4 3 2 1

A mini Bachet játék SG-függvénye 10 9 8 miki { 0 }  1 7 6 5 4 3 2 1 1

A mini Bachet játék SG-függvénye 10 9 8 miki { 0, 1 }  2 7 6 5 4 3 2 1 1

A mini Bachet játék SG-függvénye 10 9 8 miki { 0, 1 }  2 7 6 5 4 3 2 2 1 1

A mini Bachet játék SG-függvénye 10 9 8 miki { 1, 2 }  0 7 6 5 4 3 2 2 1 1

A mini Bachet játék SG-függvénye 10 9 8 miki { 1, 2 }  0 7 6 5 4 3 2 2 1 1

A mini Bachet játék SG-függvénye 10 9 8 miki { 0, 2 }  1 7 6 5 4 3 2 2 1 1

A mini Bachet játék SG-függvénye 10 9 8 miki { 0, 2 }  1 7 6 5 4 1 3 2 2 1 1

A mini Bachet játék SG-függvénye 10 9 8 miki { 0, 1 }  2 7 6 5 4 1 3 2 2 1 1

A mini Bachet játék SG-függvénye 10 9 8 miki { 0, 1 }  2 7 6 5 2 4 1 3 2 2 1 1

A mini Bachet játék SG-függvénye 10 9 8 miki { 1, 2 }  0 7 6 5 2 4 1 3 2 2 1 1

A mini Bachet játék SG-függvénye 10 9 8 miki { 0, 2 }  1 7 1 6 5 2 4 1 3 2 2 1 1

A mini Bachet játék SG-függvénye 10 9 8 2 miki { 0, 1 }  2 7 1 6 5 2 4 1 3 2 2 1 1

A mini Bachet játék SG-függvénye 10 9 8 2 miki { 1, 2 }  0 7 1 6 5 2 4 1 3 2 2 1 1

A mini Bachet játék SG-függvénye 10 1 9 8 2 miki { 0, 2 }  1 7 1 6 5 2 4 1 3 2 2 1 1

A mini Bachet játék SG-függvénye 10 1 9 8 2 (n)  n mod 3 7 1 6 5 2 4 1 3 2 2 1 1

A mini Bachet játék SG-függvénye 10 1 9 8 2 n jó állás  3n 7 1 6 5 2 4 1 3 2 2 1 1

A Bachet játék SG-függvénye 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ⋯ miki ∅  0

A Bachet játék SG-függvénye 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ⋯ miki {0}  1

A Bachet játék SG-függvénye 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ⋯ miki {0,1}  2

A Bachet játék SG-függvénye 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ⋯ miki {0,1,2}  3

A Bachet játék SG-függvénye 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ⋯ miki {0,1,,9}  10

A Bachet játék SG-függvénye 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ⋯ miki {1,2,,10}  0

A Bachet játék SG-függvénye 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ⋯ miki {2,3,,10,0}  miki {0,2,3,,10}  1

A Bachet játék SG-függvénye 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ⋯ (n)  n mod 11

A Bachet játék SG-függvénye 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ⋯ n jó állás  11n

Kivonási játékok Tétel: Ha a kivonási halmaz véges, akkor a kivonási játék SG-függvénye periodikus. Tétel (Althöfer, Bültermann): A K = {1,8,31,38,39} kivonási halmaz esetén a periódus hossza 11757.

KöMaL 1997/12

Sarokba a bástyát! 7 6 5 4 3 2 1

Sarokba a bástyát! 7 6 5 4 3 2 1 miki ∅  0

Sarokba a bástyát! 7 6 5 4 3 2 1 miki {0}  1

Sarokba a bástyát! 7 6 5 4 3 2 1 miki {0,1}  2

Sarokba a bástyát! 7 6 5 4 3 2 1 miki {0,1,2}  3

Sarokba a bástyát! 7 6 5 4 3 2 1 miki {1}  0

Sarokba a bástyát! 7 6 5 4 3 2 1 miki {0,1,2}  3

Sarokba a bástyát! 7 6 5 4 3 2 1 miki {0,1,3}  2

Sarokba a bástyát! 7 6 5 4 3 2 1 miki {1,4,5,6,7}  0

Sarokba a bástyát! 7 6 5 4 3 2 1 miki {0,1,2,4,5,6,7}  3

Sarokba a bástyát! 7 6 5 4 3 2 1

Sarokba a bástyát! 7 6 5 4 3 2 1

KöMaL 1993/12

Sarokba a bástyát! 7 6 5 4 3 2 1 (6,5)

Nim Két kupac kaviccsal játszunk. Egy lépésben valamelyikből (de csak az egyikből!) elvehetünk bármennyit. Az nyer, aki az utolsó kavicsot elveszi. Nyerő stratégia: törekedjünk szimmetriára!

Nim-összeadás 7 6 5 4 3 2 1 6  5  3

Nim A k kupac kaviccsal játszott nim (n1, n2, , nk) állásához tartozó SG-érték n1  n2    nk. A k  2 esetben: n1  n2  0  n1  n2.

Sarokba a királyt! 7 6 5 4 3 2 1

Sarokba a királyt! 7 6 5 4 3 2 1 miki ∅  0

Sarokba a királyt! 7 6 5 4 3 2 1 miki {0}  1

Sarokba a királyt! 7 6 5 4 3 2 1 miki {1}  0

Sarokba a királyt! 7 6 5 4 3 2 1 miki {0}  1

Sarokba a királyt! 7 1 6 5 4 3 2 miki {0,1}  2

Sarokba a királyt! 7 1 6 5 4 3 2 miki {0,1,2}  3

Sarokba a királyt! 7 1 6 5 4 3 2 miki {0,1,3}  2

Sarokba a királyt! 7 1 2 6 3 5 4 miki {2,3}  0

Sarokba a királyt! 7 1 2 6 3 5 4 miki {0,2,3}  1

Sarokba a királyt! 7 1 2 6 3 5 4 (n,m) jó állás  2n,m

Sarokba a királynőt! 7 6 5 4 3 2 1

Sarokba a királynőt! 7 6 5 4 3 2 1 miki ∅  0

Sarokba a királynőt! 7 6 5 4 3 2 1 miki {0}  1

Sarokba a királynőt! 7 6 5 4 3 2 1 miki {0,1}  2

Sarokba a királynőt! 7 6 5 4 3 2 1 miki {0,1,2}  3

Sarokba a királynőt! 7 6 5 4 3 2 1 miki {0,1}  2

Sarokba a királynőt! 7 6 5 4 3 2 1 miki {1,2}  0

Sarokba a királynőt! 7 6 5 4 3 2 1 miki {0,1,2,3}  4

Sarokba a királynőt! 7 8 6 5 3 4 2 1 miki {2,3,4,5,6}  0

Sarokba a királynőt! 7 8 6 5 3 4 2 1 miki {0,2,3,4,5,6,7,8}  1

Sarokba a királynőt! 7 8 6 9 1 4 5 10 3 2

Sarokba a királynőt! 7 8 6 9 1 4 5 10 3 2

Sarokba a királynőt! 7 6 5 4 3 2 1 (6,5)

Wythoff-nim Két kupac kaviccsal játszunk. Egy lépésben elvehetünk az egyikből bármennyit, vagy mindkettőből ugyanannyit. Az nyer, aki az utolsó kavicsot elveszi. Nyerő stratégia? A szimmetria nem segít!

Willem Abraham Wythoff (1865-1939)

Wythoff-nim

Wythoff-nim

Wythoff-nim

Wythoff-nim

Wythoff-nim Legyen (an,bn) a Wythoff-nim n-edik jó állása. n 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ⋯ an 11 12 14 bn 10 13 15 18 20 23 Tétel (Wythoff 1907):

Osztályozás 3 Tic-tac-toe 4 Bachet 5 Bachet játék nyerő stratégiája 6-13 Jó és rossz állások 14-17 Miki 18 SG-függvény 19-26 Kivonási játékok 27 Mini Bachet SG 28-47 Bachet SG 48-56 Kivonási játék SG periodikus 57 KöMaL: kivonási játék 58 Sarokba a bástyát! 59-70 KöMaL: Sarokba a sánta bástyát! 71 Sarokba a bástyát! -> nim 72 Nim 73 Nim-összeadás 74 Többcsomós nim SG 75 Sarokba a királyt! 76-86 Sarokba a királynőt! 87-98 Sarokba a királynőt! -> Wythoff-nim 99 Wythoff-nim 100 Wythoff 101 Wythoff SG 300 102 Wythoff SG 25 103-105 Wythoff tétele 106