3(+1) osztályozó a Bayes világból febr. 27.

Előző előadás Bayes döntéselmélet Bayes osztályozó P(j | x) = P(x | j ) · P (j ) / P(x) Ha feltesszük, hogy a posterior ismert normális eloszlást követ Paraméterbecslési módszerek ha paraméteres eloszlást feltételezünk és tanító adatbázis rendelkezésre áll

Példa adatbázis ? kor hitelkeret havi bev. elhagy? <21 nincs igen 21-50 van 50K-200K 50< nem 200K< ?

Naϊve Bayes osztályozó

Naϊve Bayes osztályozó Bayes osztályozó ahol feltesszük, hogy a jellemzők egymástól feltételesen függetlenek egy adott osztály mellett Legyen két osztály, valamint x = [x1, x2, …, xd ]t ahol minden xi bináris, az alábbi valószínűségekkel: pi = P(xi = 1 | 1) qi = P(xi = 1 | 2)

Diszkriminancia-függvény (modell):

Naive Bayes tanítása - MLE pi = P(xi = 1 | 1 ) és qi = P(xi = 1 | 2 ) becslése N darab tanító példából tfh. p és q binomiális eloszlást követ (visszatevéses mintavétel modellezése) Maximum-likelihood módszerrel:

Naive Bayes tanítása – Bayes becslés tfh. a becslési prior Beta eloszlásból jön X ~ Beta(a,b) E [X]=1/(1+b/a)

Naive Bayes tanítása – Bayes becslés az eredeti pi likelihood binomiális eloszlást követ a becslésre egy Beta(a,b)-t használunk … a Bayes becslés 2 lépése …

Naive Bayes tanítása – Bayes becslés (m-becslés) Ugyanez átjelöléssel: (így egyszerűbb a gyakorlatban) 0 likelihood/posteriori elkerülése m és p konstansok (paraméterek) p a priori becslés pi-re m az „ekvivalens mintaszám”

Naϊve Bayes osztályozó a gyakorlatban nem is olyan naív  nagyon gyors, párhuzamosítható kis memóriaigény irreleváns jellemzők „kiátlagolódnak” jó megoldás ha nagyon sok, egyenlően fontos jellemzőnk van

Példa ? P() kor hitelkeret havi bev. elhagy <21 nincs < 50K igen 21-50 van 50K-200K 50< nem 200K< ? P(kor>50|  =igen) = (0+mp) / 2+m P(nincs|  =igen) P(200K<|  =igen)

Generatív vs. Diszkriminatív osztályozók Egy rejtett állapota a rendszernek generálja a megfigyeléseinket Likelihood P(x | j ) és apriori P(j ) becslése Diszkriminatív: Cél az egyes osztályok elkülönítése Közvetlenül az a posteriori P(j | x) valószínűségek becslése  x1 x2 x3  x1 x2 x3

Logisztikus Regresszió (Maximum Entrópia Osztályozó) Két osztály esetén:

Nem paraméteres osztályozások

Nem paraméteres eljárások 16 Nem paraméteres eljárások Nem paraméteres eljárások alkalmazhatók tetszőleges eloszlásnál, anélkül, hogy bármit feltételeznénk a sűrűségfgvek alakjáról Likelihood P(x | j ) becslése vagy közvetlenül az a posteriori P(j | x) valószínűségek becslése

Sűrűség becslése 17 Legye p(x) a becsülni kívánt sűrűségfüggvény Annak valószínűsége, hogy egy pont az R-be esik: Ha n elemű mintánk van, akkor az R–be eső pontok számának várható értéke k E(k) = nP Pattern Classification, Chapter 2 (Part 1)

Sűrűség becslése Maximum likelihood becsléssel: 18 Sűrűség becslése Maximum likelihood becsléssel: p(x) folytonos, és ha R elég kicsi, akkor p nem változik lényegesen R-en: Ahol x R –beli pont, és V az R térfogata.

Iteratív becslési folyamat 19 Iteratív becslési folyamat A V-nek mindenképpen nullához kell tartania, ha ezt a becslést használni akarjuk a pontszerű x-hez tartozó p(x)-re V a gyakorlatban nem lehet nagyon kicsi, mert a minták száma korlátozott A k/n hányadosoknál el kell fogadni egy kis bizonytalanságot…

Sűrűség becslés aszimptotikus tulajdonságai 20 Sűrűség becslés aszimptotikus tulajdonságai Három szükséges feltétele van, hogy

21

Parzen ablakok fix méretű és alakú R régiókkal dolgozunk V állandó p(x)-et egy kérdéses x pontban az R-be eső pontok száma alapján becsüljük (azaz leszámoljuk k-t)

Parzen ablakok - hiperkocka 23 Parzen ablakok - hiperkocka R egy d-dimenziós hiperkocka ( (x-xi)/hn ) akkor 1, ha xi az x középpontú V hiperkockába esik, 0 különben. (-t kernelnek nevezzük)

Parzen ablakok - hiperkocka 24 Parzen ablakok - hiperkocka minták száma ebben a hiperkockában: behelyettesítve:

Általános eset pn(x) úgy becsüli p(x)-et, mint az átlaga valamilyen távolságnak az x pont és az (xi) (i = 1,… ,n) minták közt  tetszőleges fgv-e lehet két pont távolságának

Parzen ablakok - példa p(x) ~ N(0,1) esete 26 Parzen ablakok - példa p(x) ~ N(0,1) esete Legyen (u) = (1/(2) exp(-u2/2) és hn = h1/n (n>1) olyan normális sűrűségek átlaga, melyek középpontjai xi-kben vannak.

27

28

Analóg eredmények kaphatók két dimenzióban is: 29 Analóg eredmények kaphatók két dimenzióban is:

30

31 p(x) ?

32 p(x) = 1U(a,b) + 2T(c,d) (egyenletes és háromszög eloszlás keveréke)

Osztályozás a Parzen ablakok módszerével 33 Minden osztálynál becsüljük a likelihood sűrűségeket (aprioiri egyszerűen közelítendő), aztán a maximális a posteriori valószínűségnek megfelelően osztályozunk A Parzen-ablakokhoz tartozó döntési tartományok az ablak-függvény választásától függenek

34

k legközelbbi szomszéd becslés 35 k legközelbbi szomszéd becslés Az ismeretlen “legjobb” ablak függvény problémájának megoldása: Legyen V a mintaelemek számának függvénye Az x legyen középpontja egy cellának, növeljük addig, amíg k mintát (k = f(n)) tartalmaz Az így kapott mintákat nevezzük az x k legközelebbi szomszédjának 2 lehetőség van: Nagy a sűrűség x közelében; ekkor a cella kicsi lesz, és így a felbontás jó lesz Sűrűség kicsi; ekkor a cella nagyra fog nőni, és akkor áll le, amikor nagy sűrűségű tartományt ér el A becslések egy családját kaphatjuk a kn=k1/n választással, a k1 különböző választásai mellett

36 © Ethem Alpaydin: Introduction to Machine Learning. 2nd edition (2010)

k legközelbbi szomszéd osztályozó 37 k legközelbbi szomszéd osztályozó k nearest neighbour (knn) P(i | x) közvetlen becslése n címkézett minta segítségével Vegyünk egy cellát x körül ami k elemet tartalmaz Ha ki db minta (a k közül) tartozik i –hez: pn(x, i) = ki /(nV)

k legközelbbi szomszéd osztályozó 38 k legközelbbi szomszéd osztályozó Itt ki/k azon minták aránya, amelyek címkéje i A minimális hibaarány eléréséhez a cellában kiválasztjuk a leggyakrabban reprezentált kategóriát (osztályt) Ha k nagy akkor a hatékonyság közelíti a lehető legjobbat

39

Példa ? kor hitelkeret havi bev. elhagy <21 nincs < 50K igen 21-50 van 50K-200K 50< nem 200K< ? k=3 Távolság metrika = diszkrét érték egyezik

Nem paraméteres osztályozók van paraméterük! Bayes osztályozóból vannak levezetve úgy hogy a valószínűségi becslésekre nem paraméteres eloszlásokat használnak Parzen-ablak osztályozó kernel és h ablakméret likelihood becslésére K-legközelebbi szomszéd osztályozó távolság metrika és k szomszédszám Posteriori becslésére

Távolság metrikák érzékenysége

Bayes osztályozó megvalósítások a gyakorlatban Összefoglalás Bayes osztályozó megvalósítások a gyakorlatban Paraméteres Nem paraméteres Likelihood becslése (generatív) Naive Bayes Parzen ablak osztályozó Posteriori becslése (diszkriminatív) Logisztikus Regresszió k legközelebbi szomszéd osztályozó