Halmazok

A halmaz bizonyos dolgok összessége. A halmaz a matematikában nem definiált fogalom. A halmaz bizonyos dolgok összessége. A halmazt alkotó dolgokat a halmaz elemeinek nevezzük. Egy halmaz akkor van meghatározva, ha bármiről el tudjuk dönteni, hogy eleme-e a halmaznak vagy sem.

Példák halmazra Nem halmazok páros számok 160 cm-nél nagyobb lányok sokszögek bogarak színek közösségi oldalak közössége stb. Nem halmazok okos emberek összessége szép lányok ma élő dinoszauruszok érdekes olvasmányok aranyos kiscicák stb.

A halmazok elemei lehetnek anyagi dolgok, tárgyak, élőlények, fogalmak, képzeletbeli lények, figurák, stb.

Matematikában a halmazok elemei számok, pontok, síkidomok, testek, vektorok, függvények, gráfok, grafikonok, logikai események, statisztikai adatok, stb.

Halmazok jelölése A halmazokat nagybetűkkel jelöljük: A, B, C, …, H, …., P, Q, R, …, Z. A halmaz elemeit kis betűkkel jelöljük: a, b, c, …, h, …, p, q, r, …, z. a eleme az A halmaznak: a  A b nem eleme a B halmaznak: b  B

Halmazok megadása A halmaz elemeit kapcsos zárójelbe tesszük, pontosvesszővel választjuk el egymástól: A := {a; b; c; d} A halmaz jellemző tulajdonságait kapcsos zárójelbe tesszük: B := {páros számok} A halmaz elemeit úgynevezett Venn-diagramon szemléltetve: A 1 13 9 217 82 165

Halmazműveletek   \

Két halmaz uniója (egyesítése) Legyen A és B két tetszőleges halmaz. Az A és B halmazok uniója az a halmaz, amelynek elemei hozzátartoznak az A és B halmazok közül legalább az egyikhez. Jele: A  B

Példa: A := {1; 3; 6; 7; 8} B := {2; 3; 5; 6; 7}

Két halmaz metszete (közös része) Legyen A és B két tetszőleges halmaz. Az A és B halmazok metszete az a halmaz, amelynek elemei az A halmaznak és a B halmaznak is eleme. Jele: A  B

Példa: A := {1; 3; 6; 7; 8} B := {2; 3; 5; 6; 7} A  B = {3; 6; 7}

Két halmaz különbsége Jele: A \ B Legyen A és B két tetszőleges halmaz. Az A és B halmazok különbsége az a halmaz, amelynek eleme az A halmaz azon elemei, melyek nem elemei a B halmaznak. Jele: A \ B

Példa: A := {1; 3; 6; 7; 8} B := {2; 3; 5; 6; 7} A \ B = {1; 8}

Az B és A halmazok különbsége az a halmaz, amelynek eleme az B halmaz azon elemei, melyek nem elemei a A halmaznak. Jele: B \ A

Példa: B \ A = {2; 5} A := {1; 3; 6; 7; 8} B := {2; 3; 5; 6; 7} Megjegyzés: A \ B  B \ A

Jele: Komplementer halmaz (kiegészítő) Az A halmaz komplementere az alaphalmaz azon elemeinek az összessége, melyek nem elemei az A halmaznak. Jele:

Példa: H:= {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} A := {1; 3; 6; 7; 8} B := {2; 3; 5; 6; 7} = {2; 4; 5} = {1; 4; 8}

Feladatok: