Minimális költségű feszítőfák INFOÉRA 2006 2006.11.18 Dijkstra algoritmus Minimális költségű feszítőfák Fák alulról felfelé Juhász István-Zsakó László: Informatikai képzések a ELTE-n

INFOÉRA 2006 2006.11.18 Kupac A kupac olyan véges elemsokaság, amely rendelkezik az alábbi tulajdonságokkal: Minden elemnek legfeljebb két rákövetkezője (leszármazottja) lehet. Azaz bináris fának tekinthető. Minden eleme kisebb (vagy egyenlő) a közvetlen leszármazottainál. A kupac balról folytonos, azaz ha nem teljes a fa, akkor csak a leg- utolsó szintből hiányozhatnak elemek, de azok is csak a szint jobb széléről. Ezek következménye, hogy ábrázolható folytonosan is, tömbben. 1 2 6 3 4 7 8 5 Gráfok - fák 2017.04.04. Juhász István-Zsakó László: Informatikai képzések a ELTE-n 2

INFOÉRA 2006 2006.11.18 Kupac Műveletei: Üres, üres?, első, Felcsúsztat, Lecsúsztat, Kupacba, Kupacból Üres: Kupac üres?(Kupac): Logikai első(Kupac): Elem {NemDef} Kupacba(Kupac,Elem): Kupac {NemDef} Kupacból(Kupac,Elem): (Kupac Elem) {NemDef} Felcsúsztat(Kupac,Index): Kupac Lecsúsztat(Kupac,Index): Kupac Gráfok - fák 2017.04.04. Juhász István-Zsakó László: Informatikai képzések a ELTE-n 3

Kupac Kupac ábrázolása: Rekord(N: Egész; t: Tömb(1..MaxN:Elemtípus), INFOÉRA 2006 2006.11.18 Kupac Kupac ábrázolása: Rekord(N: Egész; t: Tömb(1..MaxN:Elemtípus), hiba: Logikai) Gráfok - fák 2017.04.04. Juhász István-Zsakó László: Informatikai képzések a ELTE-n 4

Kupac Műveletek megvalósítása: Üres(K): K.N:=0 Eljárás vége. üres?(K): INFOÉRA 2006 2006.11.18 Kupac Műveletek megvalósítása: Üres(K): K.N:=0 Eljárás vége. üres?(K): üres?:=(K.N=0) Függvény vége. első(K): első:=K.t(1) Gráfok - fák 2017.04.04. Juhász István-Zsakó László: Informatikai képzések a ELTE-n 5

Kupac Elem berakás: Kupacba([1,3,6,5,4,7,8],2)  [1,2,6,3,4,7,8,5] INFOÉRA 2006 2006.11.18 Kupac Elem berakás: Kupacba([1,3,6,5,4,7,8],2)  [1,2,6,3,4,7,8,5] 1 3 6 5 4 7 8 Felcsúsztatás: 1 3 6 5 4 7 8 2 Elemberakás 1 3 6 2 4 7 8 5 1 2 6 3 4 7 8 5 Gráfok - fák 2017.04.04. Juhász István-Zsakó László: Informatikai képzések a ELTE-n 6

Kupac Kupacba(K,e): K.N:=K.N+1; K.t(K.N):=e; Felcsúsztat(K,K.N) INFOÉRA 2006 2006.11.18 Kupac Kupacba(K,e): K.N:=K.N+1; K.t(K.N):=e; Felcsúsztat(K,K.N) Eljárás vége. Felcsúsztat(K,i): Ha i>1 akkor Ha K.t(i)<K.t(i div 2) akkor Csere(K.t(i),K.t(i div 2)) Felcsúsztat(k,i div 2) Kupacból(K,e): e:=K.t(1); K.t(1):=K.t(K.N); K.N:=K.N-1 Lecsúsztat(K,1) Gráfok - fák 2017.04.04. Juhász István-Zsakó László: Informatikai képzések a ELTE-n 7

Kupac Elemkivétel: Kupacból([1,2,6,3,4,7,8,5])  (1,[2,3,6,5,4,7,8]) INFOÉRA 2006 2006.11.18 Kupac Elemkivétel: Kupacból([1,2,6,3,4,7,8,5])  (1,[2,3,6,5,4,7,8]) Elemkiolvasás 8 1 2 6 3 4 7 5 „Utolsó előre fuss!” Előrehozás + lecsúsztatás: 5 2 6 3 4 7 8 2 5 6 3 4 7 8 2 3 6 5 4 7 8 Gráfok - fák 2017.04.04. Juhász István-Zsakó László: Informatikai képzések a ELTE-n 8

Kupac Lecsúsztat(K,i): Ha i≤K.N div 2 akkor j:=kisebb(2*i,2*i+1) INFOÉRA 2006 2006.11.18 Kupac Lecsúsztat(K,i): Ha i≤K.N div 2 akkor j:=kisebb(2*i,2*i+1) Ha K.t(i)>K.t(j) akkor Csere(K.t(i),K.t(j)) Lecsúsztat(K,j) Eljárás vége. kisebb(j,k): Ha k>K.N vagy K.t(j)≤K.t(k) akkor kisebb:=j különben kisebb:=k 3 6 5 7 8 Gráfok - fák 2017.04.04. Juhász István-Zsakó László: Informatikai képzések a ELTE-n 9

Kupac Műveletigény: Használjuk a kupacot rendezésre! INFOÉRA 2006 2006.11.18 Kupac Műveletigény: Lecsúsztat = Kupacból: O(log2(N)) Felcsúsztat = Kupacba: O(log2(N)) Használjuk a kupacot rendezésre! Rendezési idő: O(N*log2(N)) Gráfok - fák 2017.04.04. Juhász István-Zsakó László: Informatikai képzések a ELTE-n 10

Kupacrendezés Rendez(X): Üres(K) Ciklus i=1-től N-ig Kupacba(K,X(i)) INFOÉRA 2006 2006.11.18 Kupacrendezés Rendez(X): Üres(K) Ciklus i=1-től N-ig Kupacba(K,X(i)) Ciklus vége Kupacból(K,X(i)) Eljárás vége. Gráfok - fák 2017.04.04. Juhász István-Zsakó László: Informatikai képzések a ELTE-n 11

Prioritási sor Prioritási sor: speciális sorozat INFOÉRA 2006 2006.11.18 Prioritási sor Prioritási sor: speciális sorozat Mindig a legfontosabb (minimális vagy maximális) lép ki belőle. Emlékeztető: időrendbeli tárolás (kb.) Sorba – végére – O(1), Sorból – minimumkiválasztás, majd az utolsó a minimum helyére – O(N) nagyság szerinti tárolás Sorba – beillesztés a helyére – O(N), Sorból – elejéről – O(1) Gráfok - fák 2017.04.04. Juhász István-Zsakó László: Informatikai képzések a ELTE-n 12

Prioritási sor Prioritási sor megvalósítása kupaccal Ötletek: INFOÉRA 2006 2006.11.18 Prioritási sor Prioritási sor megvalósítása kupaccal Ötletek: A prioritási sor speciális kupac, ahol elemek sorszámát tá- roljuk, egy prioritás tömbben pedig a prioritásukat. (Ha egyéb jellemzőjük lenne, azt is külön tárolnánk.) A prioritási sor speciális kupac, ahol az elemek rekordok, s az egyik mezőjük a prioritás. Gráfok - fák 2017.04.04. Juhász István-Zsakó László: Informatikai képzések a ELTE-n 13

Prioritási sor Prioritási sor ábrázolása (kupac+prioritás tömb): INFOÉRA 2006 2006.11.18 Prioritási sor Prioritási sor ábrázolása (kupac+prioritás tömb): Rekord(N: egész, t: Tömb(1..MaxN: Elemtípus), pr: Tömb(1..MaxN:Egész)) Műveletei: Üres, üres?, PrSorba, PrSorból, első Megoldás: újraírjuk a kupac műveleteit. Gráfok - fák 2017.04.04. Juhász István-Zsakó László: Informatikai képzések a ELTE-n 14

Prioritási sor Műveletek megvalósítása: Üres(P): P.N:=0 Eljárás vége. INFOÉRA 2006 2006.11.18 Prioritási sor Műveletek megvalósítása: Üres(P): P.N:=0 Eljárás vége. üres?(P): üres?:=(P.N=0) Függvény vége. első(K): első:=P.t(1) Gráfok - fák 2017.04.04. Juhász István-Zsakó László: Informatikai képzések a ELTE-n 15

Prioritási sor PrSorba(P,e,pr): P.N:=P.N+1; P.t(P.N):=e; P.pr(e):=pr INFOÉRA 2006 2006.11.18 Prioritási sor PrSorba(P,e,pr): P.N:=P.N+1; P.t(P.N):=e; P.pr(e):=pr Felcsúsztat(P,P.N) Eljárás vége. PrSorból(P,e,pr): e:=P.t(1); pr:=P.pr(e); P.t(1):=P.t(P.N) P.N:=P.N-1; Lecsúsztat(P,1) Gráfok - fák 2017.04.04. Juhász István-Zsakó László: Informatikai képzések a ELTE-n 16

Prioritási sor Felcsúsztat(P,i): INFOÉRA 2006 2006.11.18 Prioritási sor Felcsúsztat(P,i): Ha i>1 akkor Ha P.pr(P.t(i))<P.pr(P.t(i div 2)) akkor Csere(P.t(i),P.t(i div 2)) Felcsúsztat(k,i div 2) Eljárás vége. Gráfok - fák 2017.04.04. Juhász István-Zsakó László: Informatikai képzések a ELTE-n 17

Prioritási sor Lecsúsztat(P,i): Ha i≤P.N div 2 INFOÉRA 2006 2006.11.18 Prioritási sor Lecsúsztat(P,i): Ha i≤P.N div 2 akkor j:=kisebb(2*i,2*i+1) Ha P.pr(P.t(i))>P.pr(P.t(j)) akkor Csere(P.t(i),P.t(j)) Lecsúsztat(P,j) Eljárás vége. kisebb(j,k): Ha k>P.N vagy P.pr(P.t(j))≤P.pr(P.t(k)) akkor kisebb:=j különben kisebb:=k Gráfok - fák 2017.04.04. Juhász István-Zsakó László: Informatikai képzések a ELTE-n 18

Prioritási sor Prioritási sor ábrázolása (kupac rekord elemekkel): INFOÉRA 2006 2006.11.18 Prioritási sor Prioritási sor ábrázolása (kupac rekord elemekkel): Rekord(N: egész, t: Tömb(1..MaxN: Elemtípus)) Elemtípus=Rekord(pr: Egész, egyéb: Egyébtípus) Műveletei: Üres, üres?, PrSorba, PrSorból, első Megoldás: újraírjuk a kupac műveleteit. Gráfok - fák 2017.04.04. Juhász István-Zsakó László: Informatikai képzések a ELTE-n 19

Prioritási sor Műveletek megvalósítása: Üres(P): P.N:=0 Eljárás vége. INFOÉRA 2006 2006.11.18 Prioritási sor Műveletek megvalósítása: Üres(P): P.N:=0 Eljárás vége. üres?(P): üres?:=(P.N=0) Függvény vége. első(K): első:=P.t(1) Gráfok - fák 2017.04.04. Juhász István-Zsakó László: Informatikai képzések a ELTE-n 20

Prioritási sor PrSorba(P,e): P.N:=P.N+1; P.t(P.N):=e INFOÉRA 2006 2006.11.18 Prioritási sor PrSorba(P,e): P.N:=P.N+1; P.t(P.N):=e Felcsúsztat(P,P.N) Eljárás vége. PrSorból(P,e): e:=P.t(1); P.t(1):=P.t(P.N); P.N:=P.N-1 Lecsúsztat(P,1) Gráfok - fák 2017.04.04. Juhász István-Zsakó László: Informatikai képzések a ELTE-n 21

Prioritási sor Felcsúsztat(P,i): INFOÉRA 2006 2006.11.18 Prioritási sor Felcsúsztat(P,i): Ha i>1 akkor Ha P.t(i).pr<P.t(i div 2).pr akkor Csere(P.t(i),P.t(i div 2)) Felcsúsztat(P,i div 2) Eljárás vége. Gráfok - fák 2017.04.04. Juhász István-Zsakó László: Informatikai képzések a ELTE-n 22

Prioritási sor Lecsúsztat(P,i): Ha i≤P.N div 2 INFOÉRA 2006 2006.11.18 Prioritási sor Lecsúsztat(P,i): Ha i≤P.N div 2 akkor j:=kisebb(2*i,2*i+1) Ha P.t(i).pr>P.t(j).pr akkor Csere(P.t(i),P.t(j)) Lecsúsztat(P,j) Eljárás vége. kisebb(j,k): Ha k>P.N vagy P.t(j).pr≤P.t(k).pr akkor kisebb:=j különben kisebb:=k Gráfok - fák 2017.04.04. Juhász István-Zsakó László: Informatikai képzések a ELTE-n 23

Prioritási sor Prioritási sor megvalósítása kupaccal – értékelés INFOÉRA 2006 2006.11.18 Prioritási sor Prioritási sor megvalósítása kupaccal – értékelés A prioritási sor speciális kupac, ahol elemek sorszámát tároljuk, egy prioritás tömbben pedig a prioritásukat. Csak akkor alkalmazható, ha az elemek sorszámozhatók. Gazdaságos az elemek kupacban való mozgatása miatt. A prioritási sor speciális kupac, ahol az elemek rekordok, s az egyik mezőjük a prioritás. Egyszerűbb megvalósítás, nem sorszámozható elemekre is. Lassú lehet hosszú elemek mozgatása a kupacban. Gráfok - fák 2017.04.04. Juhász István-Zsakó László: Informatikai képzések a ELTE-n 24

INFOÉRA 2006 2006.11.18 Prioritási sor Módosítható prioritási sor ábrázolása (kupac + prioritás tömb + index tömb): Rekord(N: egész, t: Tömb(1..MaxN: Elemtípus), pr: Tömb(1..MaxN: Egész), index: Tömb(1..MaxN: Egész)) Műveletei: Üres, üres?, PrSorba, PrSorból, első, Fel, Le A már sorban levő elemeket prioritásuk megváltozása esetén mozgatni kell. Gráfok - fák 2017.04.04. Juhász István-Zsakó László: Informatikai képzések a ELTE-n 25

Prioritási sor Műveletek megvalósítása: Üres(P): P.N:=0 Eljárás vége. INFOÉRA 2006 2006.11.18 Prioritási sor Műveletek megvalósítása: Üres(P): P.N:=0 Eljárás vége. üres?(P): üres?:=(P.N=0) Függvény vége. első(K): első:=P.t(1) Gráfok - fák 2017.04.04. Juhász István-Zsakó László: Informatikai képzések a ELTE-n 26

Prioritási sor PrSorba(P,e,pr): P.N:=P.N+1; P.t(P.N):=e; P.pr(e):=pr INFOÉRA 2006 2006.11.18 Prioritási sor PrSorba(P,e,pr): P.N:=P.N+1; P.t(P.N):=e; P.pr(e):=pr P.index(e):=P.N; Felcsúsztat(P,P.N) Eljárás vége. PrSorból(P,e,pr): e:=P.t(1); pr:=P.pr(e); P.t(1):=P.t(P.N) P.N:=P.N-1; P.index(P.t(1)):=1; Lecsúsztat(P,1) Le(P,i): Lecsúsztat(P,P.index(i)) Gráfok - fák 2017.04.04. Juhász István-Zsakó László: Informatikai képzések a ELTE-n 27

Prioritási sor Lecsúsztat(P,i): Ha i≤P.N div 2 INFOÉRA 2006 2006.11.18 Prioritási sor Lecsúsztat(P,i): Ha i≤P.N div 2 akkor j:=kisebb(2*i,2*i+1) Ha P.pr(P.t(i))>P.pr(P.t(j)) akkor Csere(P.t(i),P.t(j)) P.index(P.t(i)):=i P.index(P.t(j)):=j Lecsúsztat(P,j) Eljárás vége. Gráfok - fák 2017.04.04. Juhász István-Zsakó László: Informatikai képzések a ELTE-n 28

Prioritási sor Fel(P,i): Felcsúsztat(P,P.index(i)) Eljárás vége. INFOÉRA 2006 2006.11.18 Prioritási sor Fel(P,i): Felcsúsztat(P,P.index(i)) Eljárás vége. Felcsúsztat(P,i): Ha i>1 akkor Ha P.pr(P.t(i))<P.pr(P.t(i div 2)) akkor Csere(P.t(i),P.t(i div 2)) P.index(P.t(i)):=i P.index(P.t(i div 2)):=i div 2 Felcsúsztat(P,i div 2) Gráfok - fák 2017.04.04. Juhász István-Zsakó László: Informatikai képzések a ELTE-n 29

Szélességi bejárás alkalmazásai INFOÉRA 2006 2006.11.18 Szélességi bejárás alkalmazásai Legrövidebb utak súlyozott gráfban A szélességi bejárás megadja a legrövidebb utat, ha az út hosszán a benne szereplő élek számát értjük. Ha az élek összhosszát, akkor azonban nem. Ha minden él pozitív hosszúságú, akkor a kezdő- ponthoz legközelebbi pontba biztosan ismerjük a legrövidebb út hosszát. A többi pontra pedig ismerjük az odavezető út hosszának egy felső korlátját. Mi a helyzet a negatív élekkel? Gráfok - fák 2017.04.04. Juhász István-Zsakó László: Informatikai képzések a ELTE-n 30

Szélességi bejárás alkalmazásai INFOÉRA 2006 2006.11.18 Szélességi bejárás alkalmazásai Legrövidebb utak súlyozott gráfban Abból a szürke pontból lépjünk tovább, ami a legköze- lebb van a kezdőponthoz – prioritási sor legelső eleme. A belőle elérhető pontokra számoljunk új felső korlá- tot: a fehér pontokra a szürke távolságát megnöveljük az élhosszal – bekerül a prioritási sorba; a szürke pontokra javítjuk a becslést az új távolsággal, ha lehetséges – mozog a prioritási sorban előre. Gráfok - fák 2017.04.04. Juhász István-Zsakó László: Informatikai képzések a ELTE-n 31

Szélességi bejárás alkalmazásai INFOÉRA 2006 2006.11.18 Szélességi bejárás alkalmazásai Szélességi bejárás(p): Szín(p):=szürke; PrSorba(p); Táv(p):=0 Ciklus amíg nem üresPrSor? PrSorból(p); Szín(p):=fekete Ciklus i=1-től Szomszédpontokszáma(p)-ig j:=Szomszéd(p,i) Ha Szín(j)=fehér akkor Táv(j):=Táv(p)+Élhossz(p,j) PrSorba(j); Szín(j):=szürke különben ha Táv(j)>Táv(p)+Élhossz(p,j) PrSorbanMozgat(j); Ciklus vége Eljárás vége. Gráfok - fák 2017.04.04. Juhász István-Zsakó László: Informatikai képzések a ELTE-n 32

Dijkstra algoritmus Dijkstra – legrövidebb utak INFOÉRA 2006 2006.11.18 Dijkstra algoritmus Dijkstra – legrövidebb utak Alapötlet (pozitív élhosszak esetén): Az összes pont legyen szürke! A kezdőpont távolsága önmagától 0, a többi pont távolsága pedig + – becsült felső korlát! Vegyük a kezdőponthoz legközelebbi szürkét! Az ő távolsága biztos jó, módosítsuk a belőle kive- zető éleken levő pontok távolságát, ha szükséges! Gráfok - fák 2017.04.04. Juhász István-Zsakó László: Informatikai képzések a ELTE-n 33

INFOÉRA 2006 2006.11.18 Dijkstra algoritmus LegrövidebbUtak(p): Táv():=(+,…,+); Szín():=(szürke,…,szürke) Honnan(p):=p; Táv(p):=0 Ciklus i=1-től Pontszám-1-ig KiveszMin(p); Szín(p):=fekete Ciklus j=1-től Szomszédpontokszáma(p)-ig k:=Szomszéd(p,j) Ha Szín(k)≠fekete és Táv(k)>Táv(p)+Élhossz(p,k) akkor Táv(k):=Táv(p)+Élhossz(pont,i) Honnan(k):=p; PrSorbanMozgat(k) Ciklus vége Eljárás vége. Legyenek a pontok egy kupaccal ábrázolt prioritásai sorban! Ekkor KiveszMin=PrSorból, Mozgat=Felfelé. Gráfok - fák 2017.04.04. Juhász István-Zsakó László: Informatikai képzések a ELTE-n 34

Fák Bináris fa "fordított" ábrázolása, a levelektől vissza: INFOÉRA 2006 2006.11.18 Fák Bináris fa "fordított" ábrázolása, a levelektől vissza: Ha a bináris fa elemei címezhetőek is (pl. sorszámuk van), akkor elképzelhető egy olyan statikusan láncolt ábrázolás, amikor azt adjuk meg minden elemről, hogy ki van a fában fölötte. Típus BFa=Tömb(1..Max,BFaelem) BFaelem=Rekord(érték: Elemtípus, szülő: 0..Max) Egy ilyen fára persze másféle művele-teket definiálhatunk. Gráfok - fák 2017.04.04. Juhász István-Zsakó László: Informatikai képzések a ELTE-n 35

Fák Üres(bf): Ciklus i=1-től N-ig bf(i).szülő:=0 Ciklus vége INFOÉRA 2006 2006.11.18 Fák Üres(bf): Ciklus i=1-től N-ig bf(i).szülő:=0 Ciklus vége Függvény vége. Beilleszt(bf,a,b): {a szülője b-nek} bf(b).szülő:=a Gráfok - fák 2017.04.04. Juhász István-Zsakó László: Informatikai képzések a ELTE-n 36

INFOÉRA 2006 2006.11.18 Fák Ősszülő(bf,e): Ha bf(e).szülő=0 akkor Ősszülő:=e különben Ősszülő:=Ősszülő(bf,bf(e).szülő) Függvény vége. Őse?(bf,utód,ős): Ha utód=ős akkor Őse?:=igaz különben ha bf(utód).szülő=0 akkor Őse?:=hamis különben Őse?:=Őse?(bf,bf(utód).szülő,ős) Megjegyzés: egyetlen fa esetén a bf tömb lehet globális változó is. Gráfok - fák 2017.04.04. Juhász István-Zsakó László: Informatikai képzések a ELTE-n 37

Fák Ugyanez ciklussal. Ősszülő(bf,e): INFOÉRA 2006 2006.11.18 Fák Ősszülő(bf,e): Ciklus amíg bf(e).szülő≠0 e:=bf(e).szülő Ciklus vége Függvény vége. Őse?(bf,utód,ős): Ciklus amíg utód≠ős és bf(utód).szülő≠0 utód:=bf(utód).szülő Ciklus vége Őse?:=utód=ős Ugyanez ciklussal. Gráfok - fák 2017.04.04. Juhász István-Zsakó László: Informatikai képzések a ELTE-n 38

Minimális költségű feszítőfa INFOÉRA 2006 2006.11.18 Minimális költségű feszítőfa Feszítőfa: Egy irányítatlan gráf azon részgráfja, amely fa (kör- mentes, összefüggő) és maximális (tartalmazza a gráf összes pontját). Minimális költségű feszítőfa: Súlyozott gráf azon feszítőfá- ja, amely éleinek összköltsége minimális. Megjegyzés: A szélességi és a mélységi bejárás is egy-egy feszí- tőfát határoz meg, de nem feltétlenül – sőt általában nem – minimális költségűt. Ha a gráf nem összefüggő, akkor feszítő erdőről beszélhetünk. Gráfok - fák 2017.04.04. Juhász István-Zsakó László: Informatikai képzések a ELTE-n 39

Minimális költségű feszítőfa Kruskal algoritmus INFOÉRA 2006 2006.11.18 Minimális költségű feszítőfa Kruskal algoritmus Ötlet: a feszítőfa kezdetben álljon Pontszám darab feszítő erdőből (mindegyikben 1-1 pont lesz); vegyük az éleket hosszuk szerint növekvő sorrendben; ha egy él a feszítő erdő két különböző feszítőfáját köti össze, akkor biztosan eleme a feszítőfának (mert nincs nála rövidebb, ami a két fát összeköti); az ilyen fákat egyesítsük és vegyük fel az élt a feszítőfa élei közé! Legyen Fa(i) az i pontot tartalmazó feszítőfa azonosítója! Műveletigény: rendezési idő+ O((Élszám+Pontszám)*log2(Pontszám)) Gráfok - fák 2017.04.04. Juhász István-Zsakó László: Informatikai képzések a ELTE-n 40

Minimális költségű feszítőfa Kruskal algoritmus INFOÉRA 2006 2006.11.18 Minimális költségű feszítőfa Kruskal algoritmus MinimálisFeszítőfa(F): Üres(F) Ciklus i=1-től PontSzám-ig szülő(i):=i Ciklus vége ÉlekRendezéseHosszSzerint(G) Ciklus e=1-től ÉlSzám-ig i:=Él(e,1); j:=Él(e,2) Ha Fa(i)≠Fa(j) akkor F:=F(i,j); Egyesít(i,j) Eljárás vége. A Fa(i) gyakori művelet, annyiszor hasz-náljuk, ahány éle van a gráfnak, az Egye-sít pedig ritkább, annyiszor használjuk, ahány pontunk van, azaz az előbbinek kell nagyon hatékonynak lenni. Gráfok - fák 2017.04.04. Juhász István-Zsakó László: Informatikai képzések a ELTE-n 41

Diszjunkt halmazfelbontás INFOÉRA 2006 2006.11.18 Diszjunkt halmazfelbontás Építsünk egy erdőt, amelyben azonos fában vannak az azonos részhalmazban levő elemek: Egyesít(1,4) hatása: Egyesít(3,4) hatása lehetne: Mi lehetne Egyesít(3,5)? Gráfok - fák 2017.04.04. Juhász István-Zsakó László: Informatikai képzések a ELTE-n 42

Diszjunkt halmazfelbontás INFOÉRA 2006 2006.11.18 Diszjunkt halmazfelbontás A megoldás: egyesítéskor mindkét fában menjünk a legfelső elemhez és ott hajtsuk végre az egyesítést! Egyesít(3,5) hatása: Gráfok - fák 2017.04.04. Juhász István-Zsakó László: Informatikai képzések a ELTE-n 43

Diszjunkt halmazfelbontás INFOÉRA 2006 2006.11.18 Diszjunkt halmazfelbontás Egyesít(u,v): Ciklus amíg u≠szülő(u) u:=szülő(u) Ciklus vége Ciklus amíg v≠szülő(v) v:=szülő(v) Ciklus vége Fa(u): szülő(v):=u Ciklus amíg u≠szülő(u) Eljárás vége. u:=szülő(u) Fa:=u Függvény vége. Gráfok - fák 2017.04.04. Juhász István-Zsakó László: Informatikai képzések a ELTE-n 44

Diszjunkt halmazfelbontás INFOÉRA 2006 2006.11.18 Diszjunkt halmazfelbontás Amikor a fában felfelé megyünk, akkor még érdemes a megtett utat tömöríteni, azaz minden bejárt pontot a gyökérhez csatolni: Fa(u): v:=u Ciklus amíg v≠szülő(v) v:=szülő(v) Ciklus vége Ciklus amíg u≠szülő(u) w:=szülő(u); szülő(u):=v; u:=w Fa:=u Függvény vége. Ilyenkor az egyesítés is egyszerűbb lehet, nem kell hozzá ciklus! Gráfok - fák 2017.04.04. Juhász István-Zsakó László: Informatikai képzések a ELTE-n 45

Diszjunkt halmazfelbontás INFOÉRA 2006 2006.11.18 Diszjunkt halmazfelbontás Ugyanez az úttömörítés rekurzívan: Fa(u): Ha u≠szülő(u) akkor F:=Fa(szülő(u)) szülő(u):=F; Fa:=F különben Fa:=u Függvény vége. Egyesítésként legfeljebb 1 távolságra vagyunk a gyökértől: Egyesít(u,v): Ha u≠szülő(u) akkor u:=szülő(u) Ha v≠szülő(v) akkor v:=szülő(v) szülő(v):=u Eljárás vége. Gráfok - fák 2017.04.04. Juhász István-Zsakó László: Informatikai képzések a ELTE-n 46

Diszjunkt halmazfelbontás INFOÉRA 2006 2006.11.18 Diszjunkt halmazfelbontás Fa(6) hatása A fa magassága így kisebb lehet, ami gyorsíthatja az algoritmust! Megjegyzés: a két művelet miatt hívják ezt a típust Unió-Holvan típusnak is. Gráfok - fák 2017.04.04. Juhász István-Zsakó László: Informatikai képzések a ELTE-n 47

Minimális költségű feszítőfa Prim algoritmus INFOÉRA 2006 2006.11.18 Minimális költségű feszítőfa Prim algoritmus Ötlet: a gráf pontjait 2 halmazba soroljuk, a feszítőfában bent levő és a még azon kívül levő pontok halmazára; a két halmaz közötti legrövidebb él biztosan eleme a feszí-tőfának (mert a legközelebbi pontba vezet); vegyük fel az első halmazhoz legközelebbi pontot a feszítőfa pontjai közé és számoljuk újra a szomszédjai távolságát! Tegyük a második halmazbeli pontokat egy prioritásai sorba, az első halmaztól való távolságuk sorrendjében! Műveletigény: O((Élszám+Pontszám)*log2(Pontszám)) Gráfok - fák 2017.04.04. Juhász István-Zsakó László: Informatikai képzések a ELTE-n 48

Minimális költségű feszítőfa Prim algoritmus INFOÉRA 2006 2006.11.18 Minimális költségű feszítőfa Prim algoritmus MinimálisFeszítőfa(Honnan): Táv(1..PontSzám):=+; PrSorba az összes pont p:=1; Honnan(p):=p; Ciklus i=1-től PontSzám-1-ig PrSorból(p); Táv(p):=0 Ciklus j=1-től SzomszédPontokSzáma(p)-ig s:=SzomszédPont(pt,j) Ha Táv(s)>0 és ÉlHossz(p,s)<Táv(s) akkor Táv(s):=ÉlHossz(p,s) Honnan(s):=p; PrSorbanElőre(s) Ciklus vége Eljárás vége. Gráfok - fák 2017.04.04. Juhász István-Zsakó László: Informatikai képzések a ELTE-n 49

Online feszítőfa Ötlet: kezdetben minden pont külön feszítőfában van; INFOÉRA 2006 2006.11.18 Online feszítőfa Ötlet: kezdetben minden pont külön feszítőfában van; olvassuk egyesével a gráf éleit; ha különböző feszítőfabeli pontokat köt össze, akkor egyesítsük a két feszítőfát; ha azonos feszítőfabeli pontokat köt össze, akkor a köztük levő út leghosszabb élét cseréljük le rá, amennyiben rövidebb nála! Legyen Fa(i) az i pontot tartalmazó feszítőfa azonosítója! Gráfok - fák 2017.04.04. Juhász István-Zsakó László: Informatikai képzések a ELTE-n 50

INFOÉRA 2006 2006.11.18 Online feszítőfa MinimálisFeszítőfa(F): Üres(F); Fa():=(1,2,…,Pontszám) Ciklus e=1-től ÉlSzám-ig Be: i,j,Hossz(i,j) Ha Fa(i)≠Fa(j) akkor F:=F(i,j); Egyesít(i,j) különben Útkeresés(i,j, li,lj) Ha Hossz(i,j)<Hossz(li,lj) akkor F:=F-(li,lj); F:=F(i,j) Ciklus vége Eljárás vége. Gráfok - fák 2017.04.04. Juhász István-Zsakó László: Informatikai képzések a ELTE-n 51

Programozási alapismeretek 2006.11.18 Dijkstra algoritmus Minimális költségű feszítőfák Fák alulról felfelé 2008/2009.