Csoport részcsoport invariáns faktorcsoport részcsoport Gyűrű részgyűrű ideál faktorgyűrű Gyűrű3

Ideál, faktorgyűrű Definíció. R gyűrűben S  R részgyűrű, ha az R-beli műveletek S-re történő leszűkítésére nézve S maga is gyűrűt alkot. Megjegyzések: 1. Mivel S  R teljesül, műveleti zártság esetén az asszociativitás és disztributivitás is teljesülni fog. 2. A 7. tétel szerint csoport valamely A részcsoport  AA–1  A. 3. Tehát R-ben S komplexus részgyűrű  S–S  S, SS  S. Gyűrű3

Definíció. Legyen R gyűrű, I  R, I. I az R balideálja, ha 1. I–I  I, és 2. RI  I. Jobbideál hasonlóan. Ideál, ha jobb és bal oldali ideál egyszerre. Triviális ideál: {0}, R. Valódi ideál: R-től különböző ideál.

Példák: 1. Z-ben az n-nel osztható számok (nN) ideált alkotnak. I=nZ={nz  zZ} 1. I–I  I, 2. RI  I, IR  I.

Legyen F=R, n=2. 1. I–I  I, 2. RI  I, IR  I. 2. nN, n2, F gyűrű (F2) elemeiből álló Fn nn-es mátrixok halmaza a mátrix összeadásra és mátrix szorzásra vonatkozóan. Az halmaz balideált alkot, de nem alkot jobbideált. Legyen F=R, n=2. 1. I–I  I, 2. RI  I, IR  I.

47. Tétel. Ha R kommutatív gyűrű, akkor az I = (a) = {xa  x R} halmaz R-nek ideálja. Bizonyítás. 1. xaI, yaI  xa–ya = (x–y)aI   I–I  I 2. rR, xaI  r(xa) = (rx)a  I  RI  I Kommutativitás  IR = RI  IR  I

Észrevételek. Kommutatív egységelemes gyűrűben 1. a  (a). 2. Ha I tetszőleges ideál R-ben, és aI, akkor (a)  I. Következmény: Kommutatív egységelemes gyűrűben az (a) ideál az a elemet tartalmazó legszűkebb ideál. Definíció. Legyen R gyűrű. Az (a) ideálokat, amelyek egy rögzített a  R elem összes többszöröseiből állnak, főideáloknak nevezzük.

 a0 elem, amelyik nem invertálható  48. Tétel. Kommutatív egységelemes R gyűrűnek |R| 2 esetén, akkor és csak akkor vannak csupán triviális ideáljai, ha test. 1. Tfh R nem test   a0 elem, amelyik nem invertálható  a többszörösei között nem fordul elő e  (a) az R-nek nem triviális ideálja.

2. Tfh R test, I ideálja, és I{0}   aI : a  0. R test  a-nak létezik a–1 inverze továbbá az ideál 2. tulajdonsága  e = a–1a  I .   b R : be  I  tehát I = R, triviális ideál.

Ideál Invariáns részcsoport I ideál R-ben (I, +) invariáns részcsoport (R, +)-ban Képezhetők az I szerinti mellékosztályok, R diszjunkt felbontását adják, a komplexusösszeadásra csoportot alkotnak

Definíció. Legyen R gyűrű, I kétoldali ideál R-ben. R-nek I szerinti maradékosztály gyűrűje (faktorgyűrűje) R/I = {r + I  r  R} a következő műveletekkel: Megjegyzés. A 2. definícióban nem a normál értelemben vett komplexus szorzásról van szó. pl. Z-ben a (8) ideál, (4+(8)) mellékosztály Definíció szerint: (4+(8))(4+(8)) = 4 4+(8)=(8) 16-tal osztható elemek 8-cal osztható elemek DE: két mellékosztály szorzata része a jobboldalnak  A szorzás nem függ a reprezentánstól.

49. Tétel. A faktorgyűrű szorzásának definíciója nem függ a rep-rezentánstól. Bizonyítás. Legyen r1  r+I és s1  s+I, vagyis r1=r+i1 és s1 = s+i2 valamilyen i1, i2 I esetén.  r1+I = r+I s1+I = s+I, szorzás definíciója  r1s1 és rs ugyanazt a maradékosztályt reprezentálja rs+I= r1s1+I

Megjegyzés. 1. R/I gyűrűt alkot a definícióban szereplő műveletekre nézve. 2. I a nullelem. 3. Ha R egységelemes, akkor I+e az R/I-ben az egységelem. Példa Z-ben nN többszörösei: nZ. nZ ideál Z-ben, képezhető Z /nZ . Ez a modulo n maradékosztályok halmaza a maradékosztály összeadásra és szorzásra nézve. Zn

Ha R egységelemes, kommutatív gyűrű, akkor milyen esetben lesz a faktorgyűrűje I. integritási tartomány, illetve II. test. Definíció. Legyen R egységelemes, kommutatív gyűrű. Egy R-beli I ideált prímideálnak nevezünk, ha abI-ből aI vagy bI következik. Maximálisnak akkor mondjuk egy R gyűrű I valódi ideálját, ha abból, hogy I' ideál és I  I‘  R, I'=I vagy I‘=R következik, azaz ha R-en kívül nincsen az I-t valódi módon tartalmazó ideál.

ab  2Z , ab páros  a vagy b páros  Példa. 1. 2Z prímideál Z-ben : ab  2Z , ab páros  a vagy b páros  a  2Z vagy b  2Z . 2. 2Z maximális ideál is Z-ben : Tfh. 2Z  I  Z . Ha  a  I páratlan  1 I  I = Z , Különben I = 2Z . 3. 49Z nem maximális és nem is prímideál Z-ben: 49Z  7Z  Z , 7·7 = 49  49Z , de 7  49Z .

Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű és I az R-nek ideálja. 50. Tétel. Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű és I az R-nek ideálja. I. R/I akkor és csak akkor integritási tartomány, ha IR és I prímideál. II. R/I akkor és csak akkor test, ha I maximális ideál. Bizonyítás. I. R/I int. tart.  nincs nullosztó, legalább kételemű.  (I+a)(I+b) = I  I+a = I vagy I+b = I  abI  aI vagy bI  I prímideál.

S = {i+axiI, xR} ideál: Tfh hogy I maximális ideál R-ben, (0 ) I+a  R/I .  S = {i+axiI, xR} ideál: S–S  S : i1 + ax1 – i2 – ax2 = (i1 – i2 ) + a( x1 – x2) S. I R RS  S : ri +rax =ri +arx  S . I R Valamint I  S , mert a  I. I maximális  S = R  alkalmas iI, xR-rel e = i+ax  Az R/I kommutatív egységelemes gyűrűben bármely nemnulla a+I elemnek létezik inverze.  R/I test.

b az R tetszőleges eleme, M = R. II/2. Tfh R/I test, és legyen M egy olyan ideál, amely valódi módon tartalmazza I-t, létezik egy olyan a elem, amelyre aM és aI. R/I test  egyenlet bármely bR-re megoldható (I+a  I, mert aI),  I  M és a M   b  M  b az R tetszőleges eleme, M = R. R/I test  I maximális ideál.

Következmény. Kommutatív, egységelemes gyűrűben minden maxi-mális ideál prímideál. Bizonyítás. Az előző tételből és abból következik, hogy test egyben integritási tartomány is. Definíció. Tegyük fel, hogy (R, +, ) gyűrű, és (R1, , ) két binér műveletes algebrai struktúra. A :RR1 leképezés homomorfizmus, ha (r+s) = (r)  (s) és (rs) = (r)  (s) minden r, s  R esetén fennáll.

51. Tétel. Gyűrű epimorf képe gyűrű. Bizonyítás. A csoportelméletből tudjuk, hogy csoport epimorf képe csoport, a művelet belső volta, valamint az asszociativitás homomorf invariánsok. A disztributivitás is homomorf invariáns: Legyen r, s, tR. (r(s+t))= (r) ((s)  (t)) (*) és (rs+rt)=((r)  (s)) ((r)  (t)). (**) R-ben a disztributivitás fennáll  (*) és (**) bal oldala azonos, a jobb oldal is megegyezik. A másik oldali disztributivitás hasonlóan teljesül.  R1 is gyűrű.

Definíció. Legyen R gyűrű, I ideál. A : R  R/I leképezést természetes homomorfizmusnak nevezzük, ha (r) = r + I , minden rR esetén. A természetes homomorfizmus nyilván homomorfizmus: Ha egy gyűrű homomorf képeit akarjuk felderíteni, elegendő, ha faktorgyűrűit vizsgáljuk.

 homomorfizmus R R1 I (R)

 homomorfizmus R R1 I (R)

52. Tétel (Homomorfizmus-tétel). Legyenek R és R1 gyűrűk, : RR1 epimorfizmus. Ekkor  I ideál R-ben (a leképezés magja) melyre R1  R/I : ahol 0R1 az R1 nullelemét jelöli.

Bizonyítás. Csoportelméletből tudjuk, hogy a leképezés magja invariáns részcsoport (R, +)-ban, és egy-egy R1-beli elem ősképe éppen a mag szerinti valamelyik mellékosztály. Ahhoz, hogy I ideál, be kell még látnunk azt, hogy RI  I. Legyen rR és iI. (ri)= (r)(i)= (r)0R1=0R1. IR  I hasonlóan  I ideál. A szorzás művelettartása az : R1R/I, ((r))= r+I leképezésre hasonlóan látható, amint az összeadásra a csoportelméletnél beláttuk.   izomorfizmust létesít R1 és R/I között.