Algebrai struktúrák 1

A-t tartóhalmaznak (alaphalmaz) hívjuk. Def. Az ( A,  ) pár algebrai struktúra, ha A nem üres halmaz, és  az A-n értelmezett véges változós műveletek halmaza. Ha tehát   , akkor egyértelműen létezik olyan n  N0, melyre  : An A függvény. A-t tartóhalmaznak (alaphalmaz) hívjuk. Def. Legyen ( A,  ) algebrai struktúra, ha  az n0 , n1 , ..., ni, ... nullér, unér, stb. véges változós műveletek halmaza, akkor (n0 , n1 , ..., ni, ... ) az ( A,  ) algebrai struktúra típusa. 2

A (0, 0, 1, 0, ... ) típusú algebrai struktúrákat grupoidnak hívjuk. 3 Def. Az ( G,  ) binér műveletes algebrai struktúrában a műveletet asszociatívnak nevezzük, ha minden a, b, c  G esetén a(bc) = (ab)c kommutatív a műveletet, ha minden a, b  G esetén ab = ba. reguláris, ha minden a, b, c  G esetén ac = bc -ből következik, hogy a = b, valamint ca = cb -ből következik, hogy a = b. A (G, ) algebrai struktúra félcsoport, ha egyetlen kétváltozós műveletet tartalmaz, amely asszociatív.

Tétel (Általános asszociativitási törvény). 4 Ha (G, ) félcsoport, akkor minden szorzat tetszőlegesen bontható zárójelekkel két részre: (a1a2...ak )(ak+1...an ) = a1a2...an minden 1  k < n esetén. semleges elem Def. A (G, ) félcsoportban az eb  G bal oldali egységelem, ha minden a  G esetén eba = a. ej  G jobb oldali egységelem, ha minden a  G esetén aej = a. Az e egységelem, ha egyszerre bal és jobb oldali egységelem.

G félcsoport a mátrixszorzással, továbbá baloldali egységelem: 5 Példa. G félcsoport a mátrixszorzással, továbbá baloldali egységelem: végtelen sok van! ahol x + y = 1, hiszen

aj  G jobbinverze, ha aaj = e. Def. Legyen a (G, ) félcsoportban e egységelem. Az a G elemnek ab  G balinverze, ha aba = e, aj  G jobbinverze, ha aaj = e. Inverze a-nak az a’ elem, ha aa’ = a’a = e. G a (G, ) félcsoportban eb baloldali egységelem. Az a  G elemnek ab  G az eb-re vonatkoztatott balinverze, ha aba = eb, illetve az eb-re vonatkoztatott jobbinverze, ha aab = eb. Hasonlóan definiáható a bal- és jobbinverz fogalma jobboldali egységelemre. 6

Tétel(egységelem és inverz unicitása) 7 Tétel(egységelem és inverz unicitása) Félcsoportban legfeljebb egy egységelem létezik, és minden elemnek legfeljebb egy, az egységelemre vonatkozó inverze létezik. Biz. Legyen (G, ) félcsoport, eb bal oldali, ej pedig jobb oldali egységelem G-ban. Ekkor eb = ej, hiszen ebej = ej és ebej = eb, mert eb bal-, ej jobb oldali egységelem. Asszociatív tulajdonság Függvény egyértelmű! Ha az a  G elemnek ab balinverze, aj pedig jobbinverze, akkor ab = aj: abaaj = ab(aaj) = abe = ab és abaa j= (aba)aj = eaj = aj.

Def. A (H, ) félcsoport csoport, ha 1. létezik benne e egységelem, és 2. minden a  H elemnek létezik erre az egységelemre vonatkozó a–1 inverze : a–1a = aa–1 = e. Def. Abel-csoportnak nevezzük a kommutatív csoportokat. 8 Példa.

Ha G csoport, g  G, n  N+, akkor legyen Hatványozás egész kitevővel Ha G csoport, g  G, n  N+, akkor legyen Érvényesek g, h  G és m, n  Z -re: gm+n = gm gn és (gm)n = gmn ha g, h felcserélhető, akkor (g h)m = gm  hm Additív írásmód esetén: (m + n)g = mg + ng, m(ng) = (mn)g és n(g + h) = ng + nh 9

Integritási tartomány Gyűrű Egységelemes Nullosztó mentes Kommutatív Integritási tartomány Egységelemes integritási tartomány 10

Gyűrűk 11 Def. Az (R; +, ·) algebrai struktúra gyűrű, ha + és · R-en binér műveletek, valamint I. (R, +) Abel-csoport, II. (R, ·) félcsoport, és III. teljesül mindkét oldalról a disztributivitás, vagyis a(b+c)=ab+ac, (b+c)a=ba+ca minden a, b, c R esetén. Kommutatív a gyűrű, ha a szorzás kommutatív. Az additív csoport egységelemét a gyűrű nullelemének nevezzük és 0-val jelöljük.

Nullgyűrű: egyetlen elemből áll (nullelem). Egységelemes a gyűrű, ha a szorzásra vonatkozóan van egységelem (amit e-vel vagy 1-gyel jelölünk). Nullgyűrű: egyetlen elemből áll (nullelem). Zérógyűrű: ha tetszőleges két elem szorzata a nullelem. Lemma(szorzás nullelemmel) Legyen 0 az R gyűrű nulleleme. Ekkor a0 = 0a = 0 a  R esetén. Biz. a(0+0) = a0 disztributivitás, +0  a0 + a0 = a0 + 0 + regularitása  a0 = 0 12

Lemma(előjelszabály) 13 Legyen R gyűrű, és a, b  R. Az a elem additív inverzét jelöljük –a-val. Ekkor –(ab) = (–a)b = a(–b) és (–a)(–b) = ab. Biz. ab additív inverze létezik, mert (R, +) csoport.  ab + (– (ab)) = 0, valamint ab + (–a)b = (a + (–a))b = 0b = 0  –(ab) = (–a)b –(ab) = a(–b) hasonlóan. (–a)(–b) + (–a)b = (–a)((–b) + b) = 0 = ab + (–a)b.

3.1.20. 14

15 Biz.

16

Észrevétel: Ha (R*; ) nemüres félcsoport  R nullosztómentes . Def. Az R gyűrűben a  R bal oldali nullosztó, ha a  0 és létezik b  0, b  R, melyre ab = 0, ekkor b jobb oldali nullosztó, (a, b nullosztó pár). Ha a  R bal és jobb oldali nullosztó is, akkor nullosztónak nevezzük Def. A legalább két elemű gyűrűt nullosztómentes gyűrűnek nevezzük, ha nincsen benne nullosztó. Észrevétel: Ha (R*; ) nemüres félcsoport  R nullosztómentes . Lemma(nullosztó és regularitás) Legyen a az R gyűrű eleme, a  0. ab = ac  b = c akkor és csak akkor teljesül minden b, c  R esetén ha a nem bal oldali nullosztó. 17

(ac) mindkét oldalhoz  ab + ((ac)) = 0 Biz. 1.  Tfh a  0, a nem bal oldali nullosztó és ab = ac. (ac) mindkét oldalhoz  ab + ((ac)) = 0 előjel szabály  ab + (a(c)) = a(b + (c)) = 0 a nem nullosztó  b + (c) = 0  b = c 2.  a bal oldali nullosztó, tehát a  0 és létezik b  0, mellyel ab = 0. tetszőleges c  R-re ac = ac adjuk a jobb oldalhoz az ab = 0-t  ac = ac + ab, disztributivitás  ac = a(c+b) mert b  0  c  c + b. 18

Def. A legalább két elemű, kommutatív, nullosztómentes gyűrűt integritási tartománynak nevezzük. Def. (R; +,) integritási tartomány rendezett integritási tartomány, ha R rendezett halmaz és 19

3.1.22. Biz. (1’)  (1) trivi, (2’)  (2), mert x0 = 0y = 0. tfh (1) teljesül, ekkor x < y  x  y  x + z  y + z, továbbá regularitás miatt x + z  y + z  x + z < y + z tfh (2) teljesül, ekkor x, y > 0  x, y  0  xy  0, továbbá nullosztómentesség miatt xy  0  xy > 0 20

3.1.23. 21

x > 0  0 = –x + x > –x + 0 = –x Biz. x > 0  0 = –x + x > –x + 0 = –x 22 x < 0  0 = –x + x < –x + 0 = –x  (1) kész x < y és z > 0  y – x > x – x = 0  (y – x)z > 0  yz = (y – x)z + xz > 0 + xz = xz  (2) kész x < y és z < 0  –((y – x)z) = (y – x)(–z) > 0  (y – x)z < 0  yz < xz  (3) kész x > 0  x2 > 0, x < 0  –x > 0  x2 = (–x )2 > 0  (4) kész tfh 0 < x < y  y(1/y) = 1 > 0  1/y > 0, 1/x > 0 hasonlóan (2)  x < y és (1/x)(1/y) > 0  x (1/x)(1/y) < y(1/x)(1/y)  1/y < 1/x

Integritási tartomány Gyűrű Nullosztómentes Kommutatív Egységelemes Integritási tartomány Egységelemes integritási tartomány Gauss-gyűrű (UFD) Főideál gyűrű Ferdetest Euklidészi gyűrű Test 23