6. Wavelet spektrumok, többváltozós CWT Speciálkurzus 2009 tavasz

2 További témák Kereszt PSD, wavelet kereszt-spektrum, koherencia Wavelet reprodukáló magfüggvény Többváltozós folytonos WT

3 Vektor értékű idősor Adott egy vektor értékű x n idősor (n = 1, …, N) x n = (x n1, x n2 ) –nek az R kovariancia mátrixa: Ekkor az S(f) PSD mátrix: itt S 21 (f) = S 12 *(f) (* : komplex konjugált)

4 Kereszt PSD, koherencia S 12 (f) a kereszt PSD: A K(f) koherencia (0 ≤ K(f) ≤ 1) az f frekvencián levő lineáris kapcsolatot méri x 1 és x 2 között. Ha x 2 az x 1 lineáris szűrővel előállított változata, akkor K(f) ≡ 1

5 Időeltolás Ha x 2 az x 1 d-vel eltolt változata, x n2 = x n-d,1 + N n akkor az eltolás értékét a Φ(f) fázis spektrum meredeksége adja: ∂ f Φ(f) = d Általánosságban, a fázis spektrum méri az f frekvencián x 2 fáziskésését (phase lag) x 1 –hez képest.

6 Szakirodalom C. Torrence, G. Compo (1998): A Practical Guide to Wavelet Analysis, Bull. Am. Met. Soc., 79, C. Torrence, P. Webster (1999): Interdecadal Changes in the ENSO-Monsoon System, J. Clim., 12, A. Grinsted et al. (2004): Application of the cross wavelet transform and wavelet coherence to geophysical time series, Nonlin. Proc. Geoph., 11, D. Maraun, J. Kurths (2004): Cross wavelet analysis: significance testing and pitfalls, Nonlin. Proc. Geoph., 11,

7 Wavelet kereszt spektrum Adott két idősor: x n és y n ; W n x (s) W n y (s) a WT-jaik A wavelet kereszt-spektrum (wavelet cross spectrum, WCS) WCS n xy (s) = E {W n x (s) W n y* (s)} E{. } várható érték ahol W n y* (s) a W n y (s) komplex konjugáltja () A WCS n xy (s) komplex : WCS n xy (s) = |WCS n xy (s)| e iΦ n (s) amplitúdó: |WCS n xy (s)| fázis: Φ n (s) A Φ n (s) fázis mutatja meg az időkésést a két jel között a t n időpontban és az s skálán – ez vektorként is ábrázolható

8 Wavelet koherencia Normalizált idő- és skála felbontású mérőszám két idősor (x n és y n ) kapcsolatának jellemzésére a wavelet koherencia (WCO) Ez a WCS amplitúdója a két önálló WPS-el (wavelet power spectrum) normalizálva: ahol a WPS n (s) = E { W n (s) W n (s)* }. Az 1 érték itt is lineáris kapcsolatot jelez az x n és y n között az adott időben és skálán, a 0 érték a korreláció hiányára utal. A várható érték képzése fontos: nélküle a WCO mindig 1.

9 Wavelet kereszt spektrum - csapdák A WCS a két jel együttes teljesítményét méri – ez félrevezető lehet: ha pl. az egyik spektrum helyileg sima és a másiknak jelentős csúcsai vannak, a WCS is csúcsai lesznek, aminek semmi köze sincs a két idősor kapcsolatához A WCS tehát alkalmatlan a két idősor kapcsolata szignifikáns voltának vizsgálatára nézzünk egy példát… Matlab csomag: sowas (D. Maraun)

10 Wavelet kereszt spektrum - csapdák Nino3 SST (tengerfelszín hőmérs.): Indiai monszun csapadék (AIR): WCS kereszt spektrum:

11 Ugyanez fehérzajjal… Normál eloszlású fehérzaj (WGN): Nino3 és WGN kereszt spektrum:

12 Wavelet koherencia Nino3 SST – AIR koherencia: mindenütt 1 – mert nincs skála/idő átlagolás!

13 Wavelet koherencia simítással Nino3 SST – AIR koherencia: skála simítás: 1 oktáv, idő simítás: 3 periódus minden skálán

14 Wavelet koherencia és fázis Nino3 SST – AIR koherencia és fázis: SST siet SST késik

15 Wavelet szignifikancia teszt Többszörös teszt (Lehmann, 1986): Ha az (1 – α ) szinten tesztelünk, definíció szerint α % szinten elvetjük H 0 -t még akkor is, ha az fennáll Ha megismételjük a tesztet sok független realizációra, akkor az eredmények kb. α % -ában hamisan szignifikáns eredményeket kapunk Torrence és Compo tesztje tipikus példa a többszörös tesztre. A skála/idő tartományt pontonként teszteljük, viszont a szomszédos pontok korreláltak (az ún. reprodukáló magfüggvény szerint). Ezért a hamis pozitív eredmények mindig összefüggő foltokként jelentkeznek.

16 Fehérzaj - példa 90 %-os (pontonkénti) szignifikancia szint hamis szignifikáns foltok

17 Fehérzaj - példa 90 %-os (területi és pontonkénti) szignifikancia szint

18 Wavelet skála/idő korreláció A Fourier-analízis esetében a fehérzaj korrelálatlan a szomszédos frekvenciákon Ez a wavelet-analízisre már nem igaz x(t): folytonos fehérzaj Folytonos WT: két időben szomszédos pont korrelálatlan:

19 Wavelet skála/idő korreláció A CWT korrelációja két különböző s 1 és s 2 skálán és két különböző t 1 és t 2 időpontban: beírva a W(s, t) definícióját, E{. } linearitása miatt ha x(t) fehérzaj volt, akkor C(.) arányos a wavalet K(.) ún. reprodukáló magfüggvényével

20 Wavelet reprodukáló magfüggvénye A CWT reprodukáló magfüggvénye: Egy r(s, t) csak akkor WT, ha az reprodukáló tulajdonság teljesül

21 Morlet wavelet reprodukáló magfüggvénye A Morlet wavelet esetében: A korrelációval a szignifikancia vizsgálatnál számolni kell!

22 Két változós CWT Két (térbeli) dimenzió esetén x = (x, y), és az f(x) skalár értékű jelet elemezzük. Térbeli frekvencia tartomány (Fourier domain): k = (u, v) vagy k = (k x, k y ) (k a térbeli frekvencia) 2D CWT: b = (b x, b y ): eltolás paraméter (2D) a : skála paraméter (1D) θ : forgatási szög (1D) a skalár jel 4D-s leképezése

23 Frekvencia tér – skála/forgatás tér A térbeli frekvencia tartomány k = (u, v) egy az egyben leképezhető a skála/forgatási térre: (a, θ) |k| = a -1 és θ = arctg (v / u) |W ψ f(a, θ, b)| 2 az f jel energiasűrűsége, egyben tér- frekvencia energiasűrűség, tehát a CWT a jel fázistérbeli ábrázolásának tekinthető 2D CWT ábrázolása négy változót jelent: 2D → 4D, néhány változót meg kell kötnünk, célszerűen: 1.helyzeti ábrázolás: (a, θ) rögzített 2.skála-szög ábrázolás: b rögzített

24 2D Morlet wavelet skála = 1, változó θ

25 2D Morlet wavelet skála = 0.5, változó θ

26 2D Morlet wavelet skála = 0.2, változó θ

27 2D Morlet wavelet skála = 0.1, változó θ súlypontja (frekvencia)

28 2D CWT alkalmazásai földi radarral észlelt óceán hullámok elemzése (Chuang et al., 2008, Ocean Engineering 35, anizotróp 2D Morlet wavelettel elemzett szimulált hullámtér

29 2D CWT alkalmazásai

30 2D CWT alkalmazásai Ausztrál DEM (Kirby 2005, Computers & Geosciences 31, ) cwt2d.f Fortran90 + Matlab szoftver Melyik wavelet reprodukálja leginkább a Fourier spektrumot?

31 2D CWT alkalmazásai Izotróp Fan wavelet

32 Ausztrál DEM 2D CWT különböző waveletekkel