Húrnégyszögek Ptolemaiosz tétele D d C f c a e B b A Markó Zoltán 11.C

Érvényes a húrnégyszögek tétele D A B C a b c d f e Olyan négyszög, amely köré kör írható - melynek oldalai egy kör húrjai Érvényes a húrnégyszögek tétele

Húrnégyszögek tétele D A B C a b c d Bizonyítás: kerületi és középponti szögek tételével: kerületi szögek; középponti szögek. A tétel megfordítása is bizonyíthatóan igaz.

Húrnégyszög kerülete, területe D A B C a b c d f Terület meghatározása: Koszinusztétel:

Az egyenletek jobb oldalát egyenlővé téve, és kihasználva, hogy: C a b c d f Tehát: Az egyenletek jobb oldalát egyenlővé téve, és kihasználva, hogy: Rendezve -ra:

A húrnégyszög T területe: D A B C a b c d f Vagyis:

A kapott képletet -ra rendezve: B C a b c d f A kapott képletet -ra rendezve: Négyzetre emelve (1)-et és (2)-t: Mivel :

Az egyenletet rendezzük -re:

Ez a húrnégyszög területképlete. Kaptuk tehát, hogy: A húrnégyszög félkerülete: Ezt beírva az egyenletbe: 16-tal osztva, és négyzetgyököt vonva: Ez a húrnégyszög területképlete.

Klaudiosz Ptolemaiosz Kr. u. 87-ben született, Felső-Egyiptomban Alexandriában dolgozott „Térképészet atyja” Művei: - Nagy Hadrend - Földrajzi tanítás Kr. u. 160-ban halt meg

Ptolemaiosz tétele D A B C a b c d f e Egy húrnégyszög átlóinak szorzata megegyezik a szemközti oldalak szorzatának összegével:

A tétel bizonyítása Vegyünk fel az AC átlón egy E pontot, melyre: D A B C a b c d f e Vegyünk fel az AC átlón egy E pontot, melyre: E Ugyanakkor:

A tétel bizonyítása Az előzőekhez hasonlóan: Valamint: D A B C a b c d f e Az előzőekhez hasonlóan: E Valamint:

Összeadva az (1) és (2) egyenleteket: B C a b c d f e Vagyis az ábra megfelelő jelöléseivel: Bizonyíthatóan igaz a tétel megfordítása is.

Ptolemaiosz tételének alkalmazása egy bizonyításban C ABCD húrnégyszögben: r D r r O B Thalész tételéből: r kerületi szögek középponti szögek A

Felírva a hegyesszögek szögfüggvényeit: B C O r D -ben általános szinusztétel: Írjuk fel Ptolemaiosz tételét!

Behelyettesítve az oldalak hosszára kapott kifejezéseket: -tel osztva, és átrendezve: A B C O r D Ez nem más, mint egy addíciós tétel.

Zárás Ptolemaiosz tétele más feladatokban is sikeresen alkalmazható, és egyes esetekben a feladatmegoldást is egyszerűbbé teszi. D A B C a b c d f e Markó Zoltán 11.C Források: Matematikai Versenytételek, www.kislexikon.hu, www.trefort.elte.hu