Koordináta transzformációk Geodézia I. Geodéziai számítások Koordináta transzformációk Gyenes Róbert

Koordináta transzformációk Koordináták különböző koordináta rendszerekben adottak Osztályozás Helymeghatározás dimenziója alapján: 2D, 3D Kapcsolat típusa: alkalmazott funkcionális modell Hasonlósági Affin Stb.

Síkbeli koordináta transzformációk -hasonlósági transzformáció- Eltolás Forgatás i Nagyítás l i l = l j l j 4 paraméter j

Síkbeli koordináta transzformációk -affin transzformáció- Eltolás Forgatás i Nagyítás l i l ≠ l j l Merőlegességi eltérés j 6 paraméter j

Térbeli transzformációk -térbeli hasonlósági transzformáció- Eltolás (X,Y,Z) Forgatás(X,Y,Z) Méretarány 7 paraméter

Mátrixok szorzása oszlop(A)=sor(B) C = A  B B C A = m r r m n n (n,r) (n,m) (m,r) m r r B m C A = n n

Mátrixok szorzása-példa Pascal 1 3 -1 2 B= for i:=1 to n do Begin for k:=1 to r do C[i,k]:=0; for j:=1 to m do C[i,k]:=C[i,k]+A[i,j]*B[j,k]; end; 2 1 2 0 2 1 13 A= -1 7 -2 4

Mátrix inverze Ortogonális mátrix: 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 Ortogonális mátrix:

Síkbeli koordináta transzformációk -hasonlósági transzformáció- X X ’ r r ’ Y ’ + i i ’ j ’ + Y j

Síkbeli koordináta transzformációk - hasonlósági transzformáció- Viszont : Azaz:  Egybevágósági transzformáció

Síkbeli koordináta transzformációk - hasonlósági transzformáció- Méretarány figyelembevétele Így: Azaz:

Síkbeli koordináta transzformációk - hasonlósági transzformáció-  Forgató mátrix tulajdonságai: 1.  2.

Síkbeli koordináta transzformációk - hasonlósági transzformáció A méretaránytényező értelmezési és megadási módjai s = 1.000 045  ha az egységnyi távolság = 1km s  1000 [m]= 1000,045 m  + 45 mm/km s = 0.999 942  ha az egységnyi távolság = 1km s  1000 [m]= 999,942 m  - 58 mm/km Megadási mód méretarányszám egységnyi távolságra vonatkozóan pl. mm/km, cm/km, stb.

Síkbeli koordináta transzformációk - hasonlósági transzformáció- X Eltolás figyelembevétele r X ’ r ’ Y ’ + i ’ j ’ + TX i t (1) j Y TY

Síkbeli koordináta transzformációk - hasonlósági transzformáció- Inverz transzformáció 

Síkbeli koordináta transzformációk - hasonlósági transzformáció- Alkalmazás Ortogonálisan bemért pontok koordinátáinak számítása Derékszögű kitűzési méretek számítása

Ortogonálisan bemért pontok koordinátáinak számítása X Adott: K (Yk;Xk), V(Yv;Xv) Mért: a, b,….., t mért P a b (t mért) b  V a - + K  = 90 -  XK Y YK

Ortogonálisan bemért pontok koordinátáinak számítása Méretaránytényező értelmezése t szám ≠ t mért Mérési hibák Kerethibák V t szám (t mért) K Méretaránytényező:

Ortogonálisan bemért pontok koordinátáinak számítása Forgató mátrix elemei : Alkalmazva (1)-et: Kifejtve:

Ortogonálisan bemért pontok koordinátáinak számítása Összefoglalva: Méretaránytényező számítása a paraméterekből

Ortogonálisan bemért pontok koordinátáinak számítása Számítás lépései Transzformációs paraméterek (r,m), valamint a méretaránytényező számítása Koordinátákból számított és a mért mérési vonal hosszának összehasonlítása Részletpontok koordinátáinak a számítása

Ortogonálisan bemért pontok koordinátáinak számítása Abszcissza és ordináta előjelek értelmezése -b -a +a +b +b -a -b +a

Ortogonálisan bemért pontok koordinátáinak számítása Gyakorlati számítás r = m = s = Pontszám a b Y X K YK XK 1 a1 b1 Y1 X1 2 a2 b2 Y2 X2 … V tmért YV XV tmért-t t YV - YK XV - XK

Ortogonálisan bemért pontok koordinátáinak számítása Szabad mérési vonal Adott: K (Yk;Xk), V(Yv;Xv) X Mért: aK, bK,aV,bV, a, b…. V a bV P aV - b a - b K bK aK - TX Y TY

Ortogonálisan bemért pontok koordinátáinak számítása Szabad mérési vonal (2) (3) (4) (5) (4)-(2): (5)-(3): (6)  (7) (8) (6) 

Ortogonálisan bemért pontok koordinátáinak számítása Szabad mérési vonal (8)-at (7)-be helyettesítve: (9)

Ortogonálisan bemért pontok koordinátáinak számítása Szabad mérési vonal (9)-et (8)-ba helyettesítve:

Ortogonálisan bemért pontok koordinátáinak számítása Szabad mérési vonal Gyakorlati számítás X V a bV P bP-bK aV - b (aP-ak)- a - b K bK Számítandó minden egyes pont „kezdőpontra” vonatkozó abszcissza és ordináta különbsége aK - TX Y TY

Ortogonálisan bemért pontok koordinátáinak számítása Szabad mérési vonal - számítás lépései Transzformációs paraméterek (r,m), valamint a méretaránytényező számítása Koordinátákból számított és a mért mérési vonal hosszának összehasonlítása Részletpontok koordinátáinak a számítása

Ortogonálisan bemért pontok koordinátáinak számítása Gyakorlati számítás - szabad mérési vonal r = m = s = Pontszám a b ai-aK bi-bK Y X K aK bK YK XK 1 a11 b2 a1-aK b1-bK Y1 X1 2 a12 a2-aK Y2 X2 … V aV bV aV-aK bV-bK YV XV ( t mért ) t YV - YK XV - XK

Derékszögű kitűzési méretek számítása Adott: K (Yk;Xk), V(Yv;Xv) P (YP;XP) X P a b (t ) b  V a - + K XK Y YK

Derékszögű kitűzési méretek számítása s=1, így  Alkalmazva a 15. fólia összefüggéseit:

Derékszögű kitűzési méretek számítása Gyakorlati számítás sin = cos = Pontszám Y X a b K 1 Y1 X1 a1 b1 2 Y2 X2 a2 b2 … V YV XV t YV - YK XV - XK

Derékszögű kitűzési méretek számítása Kitűzési vázlat készítése

Síkbeli koordináta transzformációk -Affin transzformáció X X ’ r r ’ Y ’ + + i i ’ j ’ +(+) Y j

Síkbeli koordináta transzformációk - affin transzformáció Viszont : Azaz:

Síkbeli koordináta transzformációk - affin transzformáció Méretarány figyelembevétele Így: Azaz:

Síkbeli koordináta transzformációk - affin transzformáció Eltolás figyelembevétele

Síkbeli koordináta transzformációk - affin transzformáció Szakirodalomban található jelölések Ahol: Ha a paraméterek adottak

Térbeli transzformációk -térbeli hasonlósági transzformáció- Eltolás (X,Y,Z) Forgatás(X,Y,Z) Méretarány Z1 Z2 7 paraméter Y1 Y2 TZ X1 TY X2 TX

Forgatás X körül Forgatás Y körül 1 1 1 Forgatás Z körül

Forgatás X körül 1 1 1 1 1 1 1

Forgatás Y körül

Forgatás Z körül

Eredő forgatás ahol Kifejtve:

Méretaránytényező figyelembevétele Kifejtve:

Eltolás figyelembevétele Kifejtve: Térbeli hasonlósági transzformáció transzformációs egyenletei