Elemi bázistranszformáció Vektorok lineáris kombinációja Bázisai Elem bázistranszformáció Vissza a tartalomhoz Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó

Vektorok lineáris kombinációja Az n dimenziós a és b vektorok lineáris kombinációjának nevezzük a d=a+b vektort. Ha d=0 két eset állhat fenn: A a+b=0 csak = =0 esetén teljesülhet, ekkor a és b vektorokat lineárisan függetleneknek nevezzük Különben a két vektor lineárisan összefüggő Másképp: egyik vektor a másik számszorosaként kifejezhető: Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó

Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó Példák: 1. Lineárisan összefüggőek, hiszen Lineárisan függetlenek, mert 2= 4  és 3= 2  egyidejűleg nem teljesülhet Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó

Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó Szemléletesen: Két 2 ill. 3 dimenziós vektor akkor és csakis akkor összefüggő, ha párhuzamosak, azaz egy „egyenesen vannak. 2. Állítsuk elő a és b lineáris kombinációjaként d-t! Az egyenletrendszert megoldva =2, =-1 adódik, tehát d=2a-b 3. Most állítsuk elő a fenti a és b vektor segítségével vektort! Nem lehet, mivel a kapott egyenletrendszer ellentmondó. Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó

Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó Összességében elmondhatjuk, hogy d vektor az a és b vektorok síkjában fekszik, a, b, d vektorok összefüggőek, d előállítható a és b lineáris kombinációjaként. e vektor nincs benne az a és b vektorok által kifeszített síkban, d lineárisan független a és b vektoroktól, nem állítható elő azok lineáris kombinációjaként. Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó

Általános definíciók és tételek A b vektor az a1, a2, …an vektorok lineáris kombinációja, ha b=1a1+ 2a2+…+ nan Az a1, a2, …an vektorokat lineárisan független vektoroknak nevezzük, ha 1a1+ 2a2+…+ nan=0 csak 1= 2=… n=0 esetén áll fenn Tétel: Az n dimenziós térben maximálisan n db lineárisan független vektor vehető fel Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó

Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó Hogyan, hányféleképpen választhatók ki egy vektortérben a lineárisan független vektorok? Következmény: Az n dimenziós térben n db lineárisan független vektor segítségével minden vektor megkapható, mint ezek lineáris kombinációja. Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó

Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó Bázis Az n dimenziós tér n db lineárisan független vektorát bázisnak nevezzük Következmény: Az n dimenziós egységvektorok összessége bázist alkot, ez a triviális bázis Például: Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó

Bázisra vonatkozó koordináták: Legyen a1, a2, … an az n dimenziós tér egy bázisa, ekkor az n dimenziós tér tetszőleges vektora megadható a bázisvektorok lineáris kombinációjaként. Például: b=x1a1+x2a2+ … +xnan, az x1, x2, … xn számokat a b vektor a1, a2, … an bázisra vonatkozó koordinátáinak nevezzük. Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó

Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó Határozzuk meg a vektor bázisra vonatkozó koordinátáit! (b=x1a1+x2a2+x3a3) Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó

Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó Egyenletrendszer megoldása x1=2, x2=-1, x3=1 tehát b=2a1-a2+a3 Általában az adott bázisra vonatkozó koordinátákat egy n ismeretlenes lineáris egyenletrendszer megoldásával kereshetjük meg. Kérdés: Mit jelent, ha az egyenletek ellentmondóak, ill. ha a megoldás nem egyértelmű? Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó

Elemi bázistranszformáció d koordinátái a, b bázisra vonatkozóan: (2, 1) d koordinátái e1, e2 bázisra vonatkozóan: (6, 5) Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó

Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó Bázistranszformáció Két, vagy több dimenzióban a bázisvektorok végtelen sokféleképpen választhatók meg. Vegyünk fel például három háromdimenziós, lineárisan független vektort: Az első vektor tetszőleges lehet A második vektor meghatározásánál csak arra kell ügyelni, hogy ne legyen az első skalárszorosa (így lesz lineárisan független a két vektor) A harmadik úgy lesz lineárisan független az első kettőtől, ha különbözik minden lineáris kombinációjuktól. Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó

Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó Ha lerögzítettük a bázist az adott n dimenziós tér minden vektorának koordinátái egyértelműen adhatók meg. Ha más bázist választunk természetesen változnak a vektorok koordinátái is. (Ezért nevezzük a koordinátákat adott bázisra vonatkozó koordinátáknak.) Egyik bázisról a másikra való áttérést bázis-transzformációnak nevezzük. Ha az egyik bázis a szokásos egységvektorok bázisa elemi bázistranszformációról beszélünk. Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó

Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó Nézzünk először egy két dimenziós példát: Most cseréljük ki a2 és b2 vektorokat A bázisvektorok legyenek és A bázisvektorok legyenek és A generált vektorok A generált vektorok Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó

Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó Könnyen ellenőrizhető, az előző példa alapján, hogy a 3 dimenziós euklideszi térben a következő 3 vektor bázist alkot. Állítsuk elő a fenti három bázist alkotó vektorból b1, b2, b3 generált vektorokat a következőképpen: (1) b1=a1+a2+a3 (2) b2=2a1-a3 (3) b3=2a2+a3 Vonjuk ki a bázisból a1 vektort és vigyük be helyette b2-t. Más szóval cseréljük ki a1-et és b2-t. A csere után a bázist alkotó vektorok b2, a2, a3 lesznek, a generált vektorok pedig a1, b1, b3 vektorok. Fejezzük ki (2)-ből a1-et: Ezután ezt helyettesítsük be (2)-be, így Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó adódik.

Mi a feltétele a felcserélhetőségnek? A harmadik egyenlettel nincs tennivalónk, hiszen a kicserélt a1 bázisvektor nem szerepel az előállításában. Eredményünk a következő: Ellenőrzés: Mi a feltétele a felcserélhetőségnek? Az, hogy b2=2a1-a3 összefüggésből ki tudjuk fejezni a1-et,ez akkor lehetséges, ha b2 a1-re vonatkozó koordinátája nem 0. Most nézzük a problémát egy kicsit általánosabban, de nem teljesen általánosan. Maradjunk a 3 dimenziós euklideszi térben, legyenek itt a bázisvektorok a1, a2, a3, a generált vektorok b1, b2. A b1, b2 vektorok a1, a2, a3 bázisra vonatkozó koordinátáit jelöljék az i, i i=1, 2, 3 valós számok. . . b1=1a1+2a2+3a3 b2=1a1+2a2+3a3 Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó

Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó Hajtsuk végre az a2, b1 báziscserét. Először fejezzük ki a2-t az első egyenletből: Majd ezt helyettesítsük be a második egyenletbe: Nézzük meg ugyanezt egy kicsit áttekinthetőbben, táblázatba rendezve. b1 b2 b1=1a1+2a2+3a3 b2=1a1+2a2+3a3 a1 1 1 a2 2 2 a3 3 3 a2  b1 csere, 2 –t generáló elemnek nevezzük, a generáló elem nem lehet 0. (Lapozzunk vissza a konkrét példánkhoz. Mi a feltétele a felcserélhetőségnek?) Foglaljuk táblázatba a2  b1 felcserélésekor kapott új koordinátákat is. a2 b2 A generáló elem helyére a reciproka kerül A generáló elem sorában levő koordinátákat elosztjuk a generáló elemmel a1 A generáló elem oszlopában levő koordinátákat elosztjuk a generáló elem (-1)-szeresével b1 A g. oszlop k. sorában a következőképpen kapjuk meg az új elemeket: a3 , látható, hogy hányados egy adott oszlopban állandó, ezért célszerű a számításokat oszloponként végezni. Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó

Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó Nézzünk még egy konkrét példát a bázistranszformációra: Adott a1, a2, a3 bázis és b1, b2, b3 generált vektorok. Végezzük el először az a1  b2, majd az a2  b1 báziscserét. b1=a1+a2+a3 b2=2a1-a3 b3=2a2+a3 b1 b2 b3 a1 1 2 a2 a3 -1 b1 a1 b3 b2 a2 1 2 a3 a2 a1 b3 b2 -1 b1 1 2 a3 -2 Ellenőrizzük pl. b3-at: Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó

Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó Vektorrendszer rangja (r): a vektorrendszert alkotó vektorok között felvehető lineárisan független vektorok maximális száma. A bázist mindig lineáris független vektorok alkotják, tehát a vektorrendszerből a bázisba vonható vektorok maximális száma adja meg a rangot. Ha egy vektorrendszer rangját szeretnénk meghatározni általában kiindulási bázisnak az e1, e2, …en un. triviális bázist választjuk. A vektorok koordinátái a triviális bázisban a „szokásos „ koordináták. Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó

Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó Határozzuk meg a következő vektorrendszer rangját: Ha az eredeti bázis az egységvektorok bázisa a kivont e vektorok oszlopát elhagyhatjuk, ezt az egyszerűbb írásmódot használjuk mi is. b1 b2 b3 b4 b5 e1 1 2 e2 3 e3 -1 -2 e4 b2 b3 b4 b5 b1 1 2 e2 -1 e3 -2 e4 b3 b4 b5 b1 1 2 b2 -1 e3 e4 Vegyük észre, ha a generáló elem sorában valahol 0 van, a 0 elemet tartalmazó oszlop értékei nem változnak, s ugyanígy, ha a generáló elem sorában található 0 elem, a hozzá tartozó sor marad változatlan. Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó

Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó A harmadik táblázatban már nem tudunk generáló elemet választani, hiszen a 3. és 4. sorban csupa 0 elem áll. Eredményünk azt jelenti, hogy csak két vektort tudtunk bevonni a bázisba, a vektorrendszer rangja 2. Az 1. táblázatban más generáló elemből is kiindulhattunk volna, ekkor is csak két vektort tudtunk volna bevonni a bázisba, de másik kettőt. Eredményünk így is felírható: b3, b4 és b5 vektorok kifejezhetők b1 és b2 lineáris kombinációjaként. Egy vektorrendszerben annyi lineárisan független vektor van, amennyi a bázisba bevonható, ezért a bázitranszformációval azt is eldönthetjük, hogy egy vektorrendszer lineárisan független, vagy összefüggő. Ha a vektorrendszer minden eleme bevonható a bázisba a vektorrendszer lineárisan független, különben összefüggő. Fenti példánkban a b1, b2, b3, b4, b5 vektorok összefüggő vektorrendszert alkottak. Ez látszik egyenletrendszerből és a lineáris függetlenség definíciójából is. A 0 vektort a b1, b2, b3, b4, b5 vektoroknak nem csak a triviális lineáris kombinációja állítja elő. ( ) Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó

Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó Vissza a tartalomhoz Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó