Relativity Theory and LogicPage: 1Budapest, február 10 – május 12. Andréka Hajnal, Madarász Judit, Németi István & Péter, Székely Gergely, Tordai Renáta.

Általános Relativitáselmélet Budapest, május 5.Relativity Theory and LogicPage: 2

Relativity Theory and LogicPage: 3Budapest, május 5.

Relativity Theory and LogicPage: 4 Einstein erős Relativitás Elve: “Minden megfigyelő egyenjogú” (ugyanazok a természettörvények vonatkoznak rájuk) Töröljük el az inerciális és gyorsuló megfigyelők különböző kezelését az axiómákban

GenRel nyelve: ugyanaz mint SpecRel -é. Recept arra, hogy hogyan kapjuk meg GenRel -t AccRel -ből: hagyjuk el AccRel összes olyan axiómáját, ami IOb –ot emliti. De tartsuk meg a gyorsulókra való következményeiket. Budapest, május 5.Relativity Theory and LogicPage: 5 AxSelf AxPh AxSymt AxEv AxSelf- AxPh- AxSymt- AxEv- AxCmv AxDif

 AxPh - Azoknak a fotonoknak a sebessége, amikkel a megfigyelő találkozik a találkozás pillanatában 1, és a megfigyelő életútjának minden pontjában minden irányban ki lehet küldeni fotont. Formálisan:  AxSymt - Találkozó megfigyelők egymás óráit egyformán látják lelassulni (a találkozás pillanatában). Formálisan: Budapest, május 5.Relativity Theory and LogicPage: 6 mOb 1t1t 1 t’ p q k

Relativity Theory and LogicPage: 7 GenRel = AxField +AxPh - +AxEv - +AxSelf - +AxSymt - +AxDif +AxCont GenRel Tételek Bizonyitások … Budapest, május 5.

 Thm1001 Budapest, május 5.Relativity Theory and LogicPage: 8 AccRel ugródeszka SpecRel-től GenRel felé: rugalmasabb

 Thm1002  GenRel modelljei Lorentz sokaságok. Budapest, május 5.Relativity Theory and LogicPage: 9

Budapest, május 5.Relativity Theory and LogicPage: 10 w mk p m k p’ k AxPh - AxSymt - AxEv - AxDif Lemma Tfh GenRel. Legyen m,k  Ob, k,m  ev m (p). Akkor Dif(w mk )p SpecRel világkép transzformáció. QED

q k Budapest, május 5.Relativity Theory and LogicPage: 11 p m m’m’ L q =Dif(w mk )q lokális SpecRel LORENTZ Q 4 nyilt részhalmaza fénykúpokkal feldekorálva Lemma Legyen q,k,L q mint az ábrán. Legyen h tetszőleges megfigyelő, aki részt vesz a q-beli eseményben úgy, hogy h karórája T-t mutat ebben az eseményben. Akkor a v:= wl m h (h)’(T) négyes-sebesség L q - képének Minkowski-hossza 1 (azaz  (0, L q v)=1). Tehát hogy a q-beli megfigyelők sajátideje hogyan telik tudjuk, ha tudjuk az L q lineáris függvényt. Továbbá tudjuk, hogy mely irányok megfigyelők lehetséges útvonalai és mely irányok fotonok életútjai.

sokaság Budapest, május 5.Relativity Theory and LogicPage: 12 k’ p k LpLp M=Események ev m ev k w km wkwk wmwm Metrika: Megfigyelők együttesen térképezik a világot

n-dimenziós differenciálható Q-sokaságnak egy  M,e  párt nevezünk, ahol M tetszőleges halmaz, e=  e k  k  K Q n -ből M-be menő parciális bijekciók rendszere úgy hogy (i)Az e k -k értékkészletei lefedik M-et (ii)A w mk áttérési függvények differenciálhatók. Budapest, május 5.Relativity Theory and LogicPage: 13 sokaság M emem ekek w km T2, parakompakt

(Egyszerű) áltrel téridőnek egy  D,L  párt nevezünk, ahol D  Q 4 nyilt részhalmaz, L minden p  D –hez megad egy L p :Q 4  Q 4 bijektiv affin leképezést, ami az origót a p-be viszi, és L „sima”. LpLp Q4Q4 Budapest, május 5.Relativity Theory and LogicPage: 14 D: „fogas”, „nagy globális koordinata-rács”, „közös nevező”. Lokális SpecRel megfigyelők világképe D

Budapest, május 5.Relativity Theory and LogicPage: 15 Az L p lineáris transzformációt megadhatjuk azzal, hogy megadjuk a 4 egységvektor képét, azaz megadjuk az 1 t,1 x,1 y,1 z egységvektorok képét. Akkor az L megadása ekvivalens azzal, hogy megadunk 4 vektormezőt (az első vektormező minden p ponthoz hozzárendeli az 1 t L p szerinti képét, stb) úgy hogy minden pontban az ott megadott 4 vektor lineárisan független. Az L lokális SpecRel téridőket általában a G t,G x,G y,G z vektormezőkkel adjuk meg, mert ezeket jobban lehet rajzolni. D  G t (p), G x (p),G y (p),G z (p)  p  D

Budapest, május 5.Relativity Theory and LogicPage: 16 Mire, hogyan használjuk? Minden pontban az ott levő lokális SpecRel téridő mondja meg, hogy merre indulnak ki fény életutak, milyen irányokban lehet mozogni megfigyelőnek és milyen ütemben telik az arra mozgó megfigyelő saját- ideje (karóra-ideje). Adott egy (D,L) áltrel téridő. Definició. Görbének f:I  D differenciálható függvényt hivunk, ahol I a Q intervalluma. Időszerű görbe az f ha mindig a lokális fénykúpon belül halad, azaz ha minden t  I -re L p  1 (f’(t)) időszerű vektor, azaz  (0, L p  1 (f’(t)) ) pozitiv, ahol p=f(t). Q I D D Q4Q4

Budapest, május 5.Relativity Theory and LogicPage: 17 f jól méri az időt, másszóval jól-paraméterezett, ha időszerű és minden pontban a lokális SpecRel megfigyelő világképében az érintő megfigyelő órája lokálisan úgy jár mint az f paraméterezése. Formálisan  (0, L p  1 (f’(t)))=1, ahol p=f(t). f időszerű geodetikus ha jól-paraméterezett és lokálisan maximalizálja az eltelt időt, azaz minden t  I –re f(t)-nek van olyan S környezete, hogy ha h olyan jól- paraméterezett görbe aki S-en belül halad és f(t 1 )=h(T 1 ), f(t 2 )=h(T 2 ), akkor |t 1  t 2 |  |T 1  T 2 |.

Relativity Theory and LogicPage: 18Budapest, május 5. Definició: Legyen  D,L  és  D’,L’  két áltrel téridő. Az Iso:D  D’ függvényt izomorfizmusnak hivjuk, ha Iso diffhó, bijektiv, inverze is diffhó és lokális SpecRel-t lokális SpecRel-be visz abban az értelemben, hogy minden p  D -re p LpLp L’ Iso(p Iso D D’D’ L p  Dif(Iso)(p) = L’ Iso(p)  „Lorentz trafo”. Nem számit, hogy melyik irányokat választottuk koordináta-tengelynek

 Hivják átkoordinátázásnak is.  Izomorfizmusok megőrzik a minket érdeklő tulajdonságokat, pl. lokális fénykúp, lokális relativisztikus távolságok, időszerű görbe, jól- paraméterezett, geodetikus,. Budapest, május 5.Relativity Theory and LogicPage: 19

Budapest, május 5.Relativity Theory and LogicPage: 20

ÁLLANDÓ GYORSULÁSÚAK TÉR-IDEJE Budapest, május 5.Relativity Theory and LogicPage: 21

Budapest, május 5.Relativity Theory and LogicPage: 22 Miért fontos a fekete lyukak elmélete? Tipikus áltrel téridő Sok más téridő épül erre Relativisztikus gravitáció legegyszerűbb formája (egy pontban van az összes gravitáló tömeg) Gravitációs tere idealizációja a Napénak. Sokféle fekete lyuk van, most a legegyszerűbbet nézzük.

Budapest, május 5.Relativity Theory and LogicPage: 23 Kilométerkövek egyre gyorsabban suhannak el mellette Fénysebesség után fénysebességnél gyorsabban Egy helyen elvágjuk mert henger szimmet- rikussá akarjuk majd tenni. Ott lesz a szingularitás.

Budapest, május 12.Relativity Theory and LogicPage: 24 Fekete lyuknak van belseje Hengerszimmetrikussá tesszük: megforgatjuk a tx sikot a t tengely körül. Minkowski téridő 1=G t Gyorsuló átkoordinátázása 1  r =G t 1  (r  1) =G t

Budapest, május 12.Relativity Theory and LogicPage: 25 Előző oldalról 1  (r  1) =G t Megforgatás miatt aszimptotikusan lapos Megforgatás miatt árapályerő, méterrúd rövidülés: Einstein Vákum Egyenlet Feketelyuk belseje ugyanaz a formula 1+(1  r  1) = r  (r  1)=G t  (r  1)  r =G x  r  (r  1)=G t  (r  M)  r =G x  r  (r  M)=G t

Budapest, május 12.Relativity Theory and LogicPage: 26 Newtoni gravitáció elméletben: gömbszimmetria, gravitációs gyorsulás 1  r 2, beeső porgömb megnyúlik. Árapályerők. Einstein vákum egyenlete. Gömbszimmetrikussá tett gyorsuló világképében még nincs.

Budapest, május 12.Relativity Theory and LogicPage: 27 a létra felső fokai a gyorsuló világképben origóhoz közelebb vannak

Budapest, május 12.Relativity Theory and LogicPage: 28 t r próbatestek árapály 1r1r 1r1r

dr r  rdrd porfelhő 1 porfelhő 2 0 Budapest, május 12.Relativity Theory and LogicPage: 29 r  0 Terület (térfogat) csökken! ds 2 =  (r  1)  r  2 dt 2  dr 2  rd  2 ds 2 =  (r  1)  r  dt 2   r  (r  1)  dr 2  rd  2 Kijavitás: 1r1r 1r1r gr 1r1r

Budapest, május 12.Relativity Theory and LogicPage: 30

Budapest, május 12.Relativity Theory and LogicPage: 31 A vizsgálandó metrikus tér Segédeszköz: n+1 dimenziós Euklidészi térbe való beágyazás A hangya (lokális megfigyelő) igy látja

Budapest, május 12.Relativity Theory and LogicPage: 32

Budapest, május 12.Relativity Theory and LogicPage: 33

Budapest, május 12.Relativity Theory and LogicPage: 34

Budapest, május 12.Relativity Theory and LogicPage: 35

Budapest, május 12.Relativity Theory and LogicPage: 36

Budapest, május 12.Relativity Theory and LogicPage: 37

Budapest, május 12.Relativity Theory and LogicPage: 38

Budapest, május 12.Relativity Theory and LogicPage:  r  ln  r  1  ln  r   r  ln  r  1 

Budapest, május 12.Relativity Theory and LogicPage: 40

Budapest, május 12.Relativity Theory and LogicPage: 41

Budapest, május 12.Relativity Theory and LogicPage: 42

Budapest, május 12.Relativity Theory and LogicPage: 43

Relativity Theory and LogicPage: 44 Breaking the Turing-barrier via GR Relativistic Hyper Computing Budapest, május 12.

Relativity Theory and LogicPage: 45 Einstein’s Ekivalencia Elve szerint

Relativity Theory and LogicPage: 46Budapest, május 12.

Relativity Theory and LogicPage: 47

Budapest, május 12.Relativity Theory and LogicPage: 48

Budapest, május 12.Relativity Theory and LogicPage: 49

Budapest, május 12.Relativity Theory and LogicPage: 50

Budapest, május 12.Relativity Theory and LogicPage: 51

Budapest, május 12.Relativity Theory and LogicPage: 52

Budapest, május 12.Relativity Theory and LogicPage: 53

Budapest, május 12.Relativity Theory and LogicPage: 54 More in our papers in General Relativity and Gravitation 2008 & in arXiv.org 2008 Lightcones open up.

Budapest, május 12.Relativity Theory and LogicPage: 55