Papírhajtogatás matematikája Gáspár Merse Elöd Fazekas, 2006 május

Klasszikus papírhajtogatás

Unit Origami

Legek 1995: legnagyobb négyzetből darumadár, 33m x 33m legkisebb daru, 1mm x 1mm, mikroszkóppal és tűvel 1980: csónak 432 munkaóra alatt egy uszodában legnagyobb unit origami, 1995: két szintű sierpinksi-szivacsi, 2400 elem legtöbb elemet tartalmazó unit origami: legfiatalabb origami művész: Budai Péter, 12 évesen két könyvet is publikált a modelljeivel

Hexafle xagon 1939-ben Arthur H. Stone, 23 éves diák, levagdossa az amerikai letter formátumú papírlapjainak a szélét, hogy beférjenek az angol dossziéba.

Még több hexaflex agon Trihexaflexagon Pentahexaflexagon Tetrahexaflexagon

12-szer félbehajta ni Britney Gallivan, 2005

Bélyeghajt ogatás A lehetőségeket egy permutációval indexeljük. Az orientáció olyan, hogy az 1-es számú bélyeg felfele nézzen, és a jobb bal orientáció is meghatározott. Így a perforáció a bélyegek közt ugyancsak meg van határozva (1-es bélyeg jobb oldalától kezdődik). Minden permutáció nem szerepel, lásd pl. 1423

N(n ) Ha két ábra ugyanúgy néz ki, csak a bélyegek két oldala különbözik, azokat tekinthetjük azonosnak, és ekkor pontosan fele annyi eset van. Ezt nevezzük N(n)-nek.

U(n ) Ha két ábra ugyanúgy néz ki, egy tükrözéstől eltekintve, azaz attól, hogy melyik az első bélyeg, azokat tekinthetjük azonosnak. Ezen esetek számát U(n)-el jelöljük.

M(n ) the number of closed meanders with 2n crossings is equal to M(2n - 1)

nN(n)S(n)U(n)M(n) N(n) = number of labelled oriented foldings. S(n) = number of symmetric foldings. U(n) = number of unlabelled foldings (blank stamps). M(n) = number of meanders. Also number of simple alternating transit mazes. zárt alak? aszimptitikus forma? alsó v. felső becslés? polinomiális algoritmus?

6 Problems from 1 Fold 1.Prove that C‘D‘ is a tangent of the circle with center C. passing through B and D. 2.Prove that the perimeter of triangle GAC‘ is equal to half the perimeter of ABCD. 3.Prove the identity AG = C‘B + GD‘ 4.Prove that the sum of the perimeters of triangles C‘BE and GD‘F is equal to the perimeter of triangle GAC‘. 5.Prove that the perimeter of triangle GD‘F is equal to the length of line segment AC‘. 6.Prove that the inradius of GAC‘ is equal to the length of line segment GD‘. 1. More Mathematical Morsels; Ross Honsberger 2. VIII Nordic Mathematical Contest th Slovenian Mathematical Olympiad classic Sangaku problem

Problem 1 Prove that C‘D‘ is a tangent of the circle with center C. passing through B and D.

Problem 2 Prove that the perimeter of triangle GAC‘ is equal to half the perimeter of ABCD. AC‘ + C‘G + GA = AC‘ + C‘P + GP + GA = AC‘ + C‘B + GD + GA = AB + DA

Problem 3 Prove the identity AG = C‘B + GD‘ AC‘ + C‘G + GA = AB + C‘D‘ = AC‘ + C‘B + C‘G + GD‘  AG = C‘B + GD‘

Problem 4 Prove that the sum of the perimeters of triangles C‘BE and GD‘F is equal to the perimeter of triangle GAC‘.  GAC‘ ~  C’BE ~  GD’F AG = C’B + GD’  AC’ = BE + D’F  C’G = EC’ + FG AG + AC’ + C’G = (C’B + BE + EC’) + (GD’ + D’F + FG)

Problem 5 Prove that the perimeter of triangle GD‘F is equal to the length of line segment AC‘. AC‘ = D‘P = D‘G + GP = D‘G + GD = D‘G + GF + FD = D‘G + GD + FD‘

Problem 6 Prove that the inradius of GAC‘ is equal to the length of line segment GD‘. C‘I = C‘III = x, GII = GIII = y, AI = AII = r 2  C‘D‘ = AC‘ + AG + GC‘ = (r + x) + (r + y) + (x + y) = 2  (x + y + r)  2  (x + y + GD‘) = 2  (x + y + r)  GD‘ = r

Kockakett özés

Háromszög szögeinek összege

HF: kör sugarának szerkesztés e