Környezeti és Műszaki Áramlástan I. (Transzportfolyamatok I.) PTE-PMMK Környezetmérnöki Szak Környezeti és Műszaki Áramlástan I. (Transzportfolyamatok I.) 5. előadás: Nyugvó folyadékok egyensúlya - hidrosztatika Dittrich Ernő egyetemi adjunktus PTE-PMMK Pécs Boszorkány út 2. B épület 039. dittrich@witch.pmmf.hu dr. Vétek Lajos egyetemi docens PTE-PMMK Pécs Boszorkány út 2. B épület 003.

A nyomás fogalma A nyugvó folyadék alapvető jellemzője a benne uralkodó nyomás. A nyomás az egységnyi felületre eső, a felületre merőleges nyomóerő: Két fontos alapelv( Pascal törvény): Egy adott pontban a nyomás azonos minden irányban . A folyadékot határoló szilárd falra a nyomás ill. a nyomásból származó erő merőlegesen hat. Mértékegység: Pa=N/m2 (kPa, Mpa) Használatos mértékegység még: Hektopascal 1 hPa = 100 Pa, illetve a Bar 1 bar = 105 Pa = 100 kPa = 0,1 Mpa Abszolút nyomás és relatív nyomás Abszolút nyomás = a légüres tér nyomásához viszonyított nyomás Relatív nyomás = a légköri nyomáshoz viszonyított nyomás, ami lehet túlnyomás (légkörinél nagyobb) illetve vákuum vagy depresszió (légkörinél kisebb)

Nyugvó folyadék Csak nyomásból származó feszültségek fordulnak elő. A nyomás skalár mennyiség, amely általánosan a hely és az idő függvénye, tehát a skalártérrel, azaz a négyváltozós függvénnyel írható le, amelyet skalár-vektor térnek nevezünk A skalártereket színtfelületekkel (színtvonalakkal) jellemezzük, amelyek a tér (ill, sík) azon pontjait kötik össze, amelyekben a fizikai változók értéke azonos.

Nyugvó folyadék A skalárterek hely szerinti változásának jellemzésére egy vektormennyiséget használunk amelynek x, y és z komponensei a leírt fizikai mennyiség x, y és z irányú változásának nagyságával arányosak: ahol Az ún. Nabla-operátor egyszerűbbé teszi a gradiens vektor pontos leírását.

Nyugvó folyadék A nyomás lefelé növekszik, p3>p2>p1. A gradiens vektor tulajdonságai: a skalártér legrohamosabb növekedésének irányába mutat, a hossza arányos a változás nagyságával és merőleges a szintfelületre (szintvonalra). Az ábra egy térbeli nyomásmegoszlást, ill. annak három szintfelületét mutatja. A nyomás lefelé növekszik, p3>p2>p1. Válasszunk ki két közeli szintfelületen két közel lévő A és B pontot. Δs vektor köti össze őket. A p skalártér Δp változását a B és A pontok között lineáris közelítésben a skalárszorzat adja. A nyomásváltozás A→B hosszúságú úton valósul meg.

A nyomóerő számítása a nyomásból A nyomásból származó erőt legáltalánosabb esetben a kifejezéssel adhatjuk meg, az előjel azért negatív, mert a felületelem vektor kifelé mutat, így negatív előjel esetén adódik a folyadékrészre ható erő. Határoljunk el gondolatban a folyadék belsejében egy henger alakú részt. A henger helyzete tetszőleges. Vizsgáljuk a henger tengelye irányába eső nyomóerők eredőjét. Az alsó és felső lapon ható erők ellentétes irányúak, de az egyensúly miatt egyenlő nagyságúak, azaz Belátható, hogy a p1 = p2 feltételnek kell teljesülnie. Mivel a henger helyzete és magassága tetszés szerinti volt, így súlytalannak tekinthető összefüggő nyugvó folyadéktérben a nyomás mindenütt ugyanakkora. Pl. hidraulikus sajtó.

Hidrosztatika alapegyenlete A folyadék súlyát nem hanyagolhatjuk el a benne uralkodó nyomás mellett. Vizsgáljuk meg az előbbi folyadék hengerünket a nehézségi erőtérben az ábra szerint. A folyadék sűrűsége ρ, a nehézségi gyorsulás g, amely a lefelé mutató z tengellyel egy irányba mutat. Felírva a hengerre ható függőleges erőket, a következő egyenletet kapjuk: Egyszerűsítve és rendezve kapjuk, hogy

Hidrosztatika alapegyenlete Amennyiben Δz → 0, akkor kifejezést kapjuk. Könnyen belátható, hogy általános helyzetű koordináta-rendszer, vagy általános helyzetű térerő vektor esetén a fenti kifejezés átírható a vektoregyenletté, amelyet a hidrosztatika alapegyenletének nevezünk. Az alapegyenlet kimondja: a nyomás legnagyobb változása a térerő irányába mutat.

Erőterek a Föld nehézségi erőtere, a tehetetlenségi erőtér és A környezetmérnöki gyakorlatban gyakran előforduló erőterek: a Föld nehézségi erőtere, a tehetetlenségi erőtér és a centrifugális erőtér. Az erőterek jellemzésére az egységnyi tömegre értelmezett térerő vektort használjuk. A térerősség mértékegysége a fentiek alapján [g]=N/kg=m/s2. A Föld nehézségi erőtere felfelé mutató z koordináta mellett alakban írható.

Erőterek A felsorolt erőterek konzervatív erőterek. A konzervatív erőtereknek potenciálja (U) van.. Mi a potenciál? Az egységtömegnek az erőtérrel szembeni elmozdításakor végzett munka, amely mint energia (nehézségi erőtérben helyzeti) a tömeg birtokában marad. A fenti nehézségi erőtér potenciálja Az erővonalakat - kis környezetben - párhuzamos (függőleges) egyeneseknek. A szintfelületeket pedig (vízszintes) síkoknak tekinthetjük.

Hidrosztatika alapegyenlete nehézségi erőtérben Az előzőek alapján a konzervatív erőtér esetén a potenciál és térerő kapcsolata: Helyettesítsük a egyenletbe, ekkor kifejezést kapjuk. Belátható, hogy az állandó potenciálú felületek egybeesnek az állandó nyomású felületekkel. Ha a ρ = áll., abban az esetben a sűrűséggel elosztva és átrendezve a összefüggésre jutunk. Skalár mennyiség változása akkor lehet nulla, ha maga a mennyiség mindenütt a térben állandó, tehát ami annyit jelent, hogy egy folyadéktérben, ha a potenciál nő, akkor a nyomás csökken és a potenciál csökken, akkor a nyomásnak nőnie kell.

Hidrosztatika alapegyenlete nehézségi erőtérben A nehézségi erőtérben a potenciál a térerő ellenében egységnyi tömegen végzett munka. Tehát ha felfelé haladunk, akkor a potenciál nő, ha lefelé haladunk akkor csökken. Az ábrán lefelé mutató koordináta-rendszer esetén a potenciált a kifejezés adja meg. Válasszuk az U0 = 0 értéket. Behelyettesítve a * egyenletbe és felhasználva, hogy az 1 pontban a z koordináta zérus, a következőt kapjuk: amelyből az a jól ismert kifejezés adódik, hogy a nyomás a folyadék felszínétől lefelé haladva lineárisan nő:

Nyomás és nyomóerő a folyadékot határoló felületen nehézségi erőtérben Nyomáseloszlás és nyomóerő vízszintes, sík felületen a nyomóerő másképp

Nyomáseloszlás és nyomóerő a szabad felszínig érő konstans szélességű függőleges felületen Általánosságban: Hidrosztatikus nyomásból származó erő egyenlő a nyomásmagasság-ábra területe szorozva a sűrűséggel és g-vel. A lapra ható erő folyóméterenként A nyomóerő támadáspontja Felület súlypontja Erő támadáspontja

Nyomáseloszlás és nyomóerő a felszínig érő konstans szélességű ferde sík felületen A nyomóerő nagysága a nyomásmagasság-ábra szétbontható vízszintes és függőleges komponensre

Nyomáseloszlás és nyomóerő konstans szélességű ferde sík felületen

Nyomáseloszlás és nyomóerő általános alakú és helyzetű síkfelületen Az eredő nyomóerő: A nyomóerő végképlete: A nyomóerő támadáspontja: Sy az A felület statikai nyomatéka az y-tengelyre (lS·A), Iy az A felület y tengelyre vonatkoztatott másodrendű nyomatéka, ISy a súlyponton átmenő y tengellyel párhuzamos tengelyre vett másodrendű nyomaték.

Fontosabb keresztmetszeti jellemzők NULLADRENDŰ NYOMATÉK: TERÜLET ELSŐRENDŰ NYOMATÉK: STATIKAI NYOMATÉK MÁSODRENDŰ NYOMATÉK: TEHETETLENSÉGI/INERCIA NYOMATÉK (TEHETETLENSÉGI NYOMATÉK)

A felület statikai nyomatéka Diszkrét esetben: Ahol: ys: a felület súlypontjának és az x-tengelynek a távolsága xs: a felület súlypontjának és az y-tengelynek a távolsága

A felület másodrendű (inercia) nyomatéka Súlyponti tengelyre vett inercia nyomaték: Egymásra halmozás elve:

Steiner-tétel (koordináta transzformáció hatása)

Síkidomok inercia nyomatékai

A felhajtóerő Arkhimédész törvénye Az úszás és a lebegés A felhajtóerő függ: - a test térfogatától, - a folyadék sűrűségétől. A felhajtóerő nagysága nem függ a test anyagától!!!! Arkhimédész törvénye Minden folyadékba vagy gázba merülő testre felhajtóerő hat. A felhajtóerő egyenlő nagyságú a test által kiszorított folyadék vagy gáz súlyával. Az úszás és a lebegés Abban az esetben, amikor a folyadékba merülő testre ható Ff felhajtóerő egyenlő a bemerülő test G súlyerejével és a test egy része nem merül el a folyadékban, a test úszik, ha teljesen bemerül abba (de nem süllyed le a fenékig), a test lebeg.

Az úszás és lebegés egyensúlyi feltétele: Ff=G. A testnek az úszósíkban levő metszetének felületét úszófelületnek vagy vízvonalfelületnek nevezik. A test St súlypontja és az Sv vízkiszorítás súlypontja a felhajtóerő és a súlyerő közös függőleges hatásvonalában van. Ezt a közös hatásvonalat úszási tengelynek nevezik.

A részben elmerülő test stabilitása Metacentrum: a pillanatnyi Ff felhajtóerő hatásvonalának és az egyensúlyi helyzetből elfordított úszási tengelynek a metszéspontja Metacentrikus magasság: a metacentrum távolsága a test St súlypontjától Stabil állapot: metacentrikus magasság pozitív (a metacentrum a test súlypontja fölött van) Instabil állapot: metacentrikus magasság negatív (a metacentrum test súlypontja alatt van) A metacentrikus magasság (hm)) 10°-nál kisebb φ elfordulási szögnél: ahol I0 az úszófelület tehetetlenségi nyomatéka az elfordulás 0 tengelyére, ahol az úszófelület a szimmetrikus helyzetben úszó test és a felszín metszésvonala által alkotott felület; V a kiszorított folyadéktérfogat, e a test súlypontja és a kiszorítás súlypontja (a kiszorított folyadéktérfogat súlypontja) közötti távolság, egyensúlyi (szimmetrikus) helyzetben.

Irodalom W. Bohl: Műszaki áramlástan. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1983. Haszpra Ottó: Hidraulika I. Műegyetem Kiadó, Budapest 1995. Kaliszky – Kuruczné – Szilágyi: Szilárdságtan. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest 2000.

Köszönöm a megtisztelő figyelmet!