Dualitás Ferenczi Zoltán Operációkutatás Dualitás Ferenczi Zoltán 2005.

Dualitás Definíció: Az x  0 y  0 A x  b ATy  c (x)= cTxmax és az g(y)=bTy  min feladatok egymásnak duáljai. A kiinduló feladatot primál, a belőle származtatott feladatot duál feladatnak nevezzük. A maximumfeladat kanonikus alakja Ax + u = b, a minimumfeladaté pedig ATy − w = c.

Példa dualitásra Adott kapacitások mellett a legnagyobb hozamot biztosító termelésszerkezet megha-tározására szolgáló modell: Ez a következő feladathoz vezetett: 2x1 + 4x2  160 3x1 + 2x2  120 2x1  60 f(x) = 60x1 + 80x2  max

A duál feladat gazdasági jelentése A feladattal kapcsolatban felmerülhet az a kérdés: mennyit ér a vállalatnak az erőforrások egységnyi mennyisége, vagy másképpen fogalmazva, ha valaki (pl. külső termeltető) az erőforrásokat le akarná kötni, vagy meg akarná vásárolni, akkor milyen árajánlatot készítsünk. Ha az erőforrások egységárát rendre y1, y2, y3 jelöljük, akkor a vásárlónak a g(y)= 160y1 + 120y2 + 60y3 függvény értékének csökkentésére kell törekedni.

A duál feladat gazdasági jelentése Másrészt, az eladó azt tartja szem előtt, hogy az egyes termékekhez felhasznált erőforrások összértéke nem lehet kisebb, mint a szóban forgó termék ára, mert akkor nem éri meg eladni az erőforrást, azaz: 2y1 + 3y2 + 2y3  60 4y1 + 2y2  80 korlátozza az eladás-vétel szándékot.

A duál feladat gazdasági jelentése. Így az eredeti feladat duálja:

A duál feladat gazdasági jelentése. A harmadik bázistranszformáció után a következő táblázatot B3 u3 x2 u2 u1 b x4 75 x3 5 x1 45 u4 10 −z −7 −3 −3 −5 −1190 A táblázat utolsó sorában negatív számok, az utolsó oszlopában pedig nemnegatív számok vannak, tehát leolvasható mind a primál mind a duál feladat optimális megoldása:

A duál feladat gazdasági jelentése. Primál feladat optimális megoldása: x0T=[45, 0, 5, 75] és uT=[0, 0, 0, 10] z0 = 1190. Duál feladat optimális megoldása: y0T= [5, 3, 7, 0] és wT = [0, 3, 0, 0] z0 = 1190. Definíció: A duál feladat optimális megoldásának komponenseit az erő-források elszámolható árának, vagy árnyékárának nevezzük. A számítógépes programcsomagok egy része árnyékár helyett a duál ár (dual price) elnevezést használja

Az árnyékár gazdasági jelentése Az i-edik feltétel (az i-edik erőforrás) duál ára (árnyékára) megmutatja, hogy mennyivel javul (maximum feladat esetén nő, minimum feladat esetén csökken) az optimális célfüggvény értéke, ha bi egy egységnyivel nő.