Rátz László Vándorgyűlés, 2006 Az előadás anyaga letölthető innen: http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Hrasko_Andras/mozgasban/ Rátz László Vándorgyűlés, 2006 Hraskó András: Mozgásban „ ... Van, aki kerüli a számítógépeket, mások viszont hozzánőnek kedvenc játékszerükhöz. Jómagam elektronikus posta küldésére és szövegszerkesz- tésre használom őket rendszeresen, mint a legtöbbünk, és valamivel ritkáb- ban kísérletezésre vagy arra, hogy a weben keresztül információt szerezzek. ... Vajon a számítógépek ily módon történő felhasználása csak játék, vagy leg- följebb kényelmi dolog? Nem hiszem, és úgy gondolom, minden új felhaszná- lási mód változást hoz a matematikai tudományban. Ha elkezdünk a Maple, Mathematica, Matlab programokkal vagy valamilyen saját programunkkal kísérletezni ez azonnal nyilvánvalóvá válik. Ezek a programok megfigyelé- sek egész sorát teszik lehetővé, amelyek elképzelhetetlenek voltak a számí- tógépek korszaka előtt, és amelyek új adatokkal és új jelenségekkel bővítik tudásunkat.” Lovász László: Egységes tudomány-e a matematika, Természet Világa, Matematika különszám, 129. évf. 44-49. http://www.termeszetvilaga.hu/kulonsz/k983/lovasz.html Lásd még http://www.mindentudas.hu/lovasz/index.html

Beke Manó Emlékdíjat kaptunk

Rátz László Vándorgyűlés, 2006 Az előadás anyaga letölthető innen: http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Hrasko_Andras/mozgasban/ Rátz László Vándorgyűlés, 2006 Hraskó András: Mozgásban „ ... Van, aki kerüli a számítógépeket, mások viszont hozzánőnek kedvenc játékszerükhöz. Jómagam elektronikus posta küldésére és szövegszerkesz- tésre használom őket rendszeresen, mint a legtöbbünk, és valamivel ritkáb- ban kísérletezésre vagy arra, hogy a weben keresztül információt szerezzek. ... Vajon a számítógépek ily módon történő felhasználása csak játék, vagy leg- följebb kényelmi dolog? Nem hiszem, és úgy gondolom, minden új felhaszná- lási mód változást hoz a matematikai tudományban. Ha elkezdünk a Maple, Mathematica, Matlab programokkal vagy valamilyen saját programunkkal kísérletezni ez azonnal nyilvánvalóvá válik. Ezek a programok megfigyelé- sek egész sorát teszik lehetővé, amelyek elképzelhetetlenek voltak a számí- tógépek korszaka előtt, és amelyek új adatokkal és új jelenségekkel bővítik tudásunkat.” Lovász László: Egységes tudomány-e a matematika, Természet Világa, Matematika különszám, 129. évf. 44-49. http://www.termeszetvilaga.hu/kulonsz/k983/lovasz.html Lásd még http://www.mindentudas.hu/lovasz/index.html

Parabola egyszeregy 1. Feladat: Adott az F és a T pont, valamint a d egyenes úgy, hogy T illeszkedik d-re. Szerkesztendő kör, amely átmegy F-en és T-ben érinti d-t. Körzővel és vonalzóval? Szoftverrel? Papírhajtogatással? 1. A kör T-ben érinti d-t, így középpontja a T-ben d-re állított merőlegesen van; 2. A kör F-en és D-n is átmegy, így középpontja illeszkedik FT felezőmerőlegesére. F P d T

Egy feladat hajtogatásra Egy papírlapot hajtsunk be az egyik csúcsán (A) átmenő egyenes körül úgy, hogy az egyik ezzel szomszédos csúcs (B) a szemköztes (CD) oldalra kerüljön. Tegyünk megfigyelést, elemezzük az ábrát! Alapötlet: Matematika határok nélkül 1991-92/9. fel. Lásd http://berzsenyi.tvnet.hu/%7Ekulcsar/91-92VER.htm alapszerkesztés folytatása Játsszunk még az Euklidesszel!

Gyalogúton vagy autóúton? Gyalog vagy autóval? Gyalogút: földcsík, amelyen gyalog járunk. Az országút nemcsak abban különbözik a gyalogúttól, hogy gépkocsival utazunk rajta, hanem hogy csak egy vonal, amely két pontot köt össze. Az országútnak önmagában nincs értelme; értelme csak a két pontnak van, amelyet összeköt. A gyalogút a tér dicsérete. Minden szakaszának önmagában is értelme van, és megállásra biztat bennünket. Az országút a tér diadalmas lefokozása. Manapság a tér, az országútnak köszönhetően, már csak akadálya az emberi mozgásnak, időveszteség. A gyalogutak előbb tűntek el az ember lelkéből, mint a tájból... Az országutak világában a szép táj annyi, mint a szépség szigete, melyet egy hosszú vonal a szépség egy másik szigetével köt össze. A gyalogutak világában a szépség folyamatos és minduntalan változó; minden lépésnél megszólít bennünket: - Állj meg! Milan Kundera: Halhatatlanság Gyalogúton vagy autóúton?

A szorzótábla „Folytonos szorzótábla”: z = xy grafikonja. Próbáljuk meg elképzelni a felületet! x = constans y = constans z = constans x = y vagy x = -y egyenes egyenes hiperbola v. egyenespár parabola Plot3D[x y , {x, -1, 1}, {y, -1, 1}, {AspectRatio  1}] ContourPlot[x y , {x, -1, 1}, {y, -1, 1}, {AspectRatio  1}] Lásd még a Mathematica programmal készített xy.nb filet! Lásd Pozsgai Bence alkotását!

http://matek.fazekas.hu/tanitasianyagok/Hrasko_Andras/kardioid Egy szív titkai Sz.1. feladat: Adott egy kör (e) és rajta egy pont (A). Tükrözzük az adott (A) pontot a kör (e) minden érintőjére. Mego1 Sz.2. feladat: Adott egy kör (e) és rajta egy pont (A). Rajzoljuk meg az összes olyan kört, amelynek középpont- ja az adott körön (e-n) van és átmegy az adott ponton (A-n). Mego2 Sz.3. feladat: Rajzoljuk meg adott kör (f) adott pontjából (B) Induló fénysugarak útját a körvonalon való első visszaverődés után. Mi fénylik fel a sugarak révén? Mego3 Sz.4. feladat: Egy kör (k) alakú kerék csúszás nélkül gördül egy ugyanakkora sugarú rögzített kör (e) körül. Rajzoljuk meg a mozgó kör kerülete valamely pontjának pályáját! Mego4 http://matek.fazekas.hu/tanitasianyagok/Hrasko_Andras/kardioid Sz.5. feladat: Rajzoljuk meg a komplex egységkör képét a e  2e – e 2 transzformációnál! Mego5

Egy szív titkai (megoldások I.) http://matek.fazekas.hu/tanitasianyagok/Hrasko_Andras/kardioid Egy szív titkai (megoldások I.) Sz.2. Sz.1. Sz.4. Sz.5. e  2e – e 2 P’ T’ Ötlet: P-n át olyan kört akarunk szerkeszteni, amely A-n is átmegy, középpontja pedig e-n van; a középpont AP felezőmerőlegesének e-vel való metszéspontja lesz. O = 0, T = e Def.: Adott az O közepű, A-n átmenő e kör. Azon P pontok mértani helyét, amelyekre AP felezőmerőlegese érinti e-t kardioidnak nevezzük. Ha AP felezőmerőlegese metszi e-t, akkor P a kardioid belső pontja. Q – T = T’ – Q = e P’ – Q = e2 = Q - P

Egy szív titkai (megoldások II.) http://matek.fazekas.hu/tanitasianyagok/Hrasko_Andras/kardioid Egy szív titkai (megoldások II.) Sz.4. Sz.3. A B-ből induló fénysugár BO-val bezárt szöge a/2. A kardioid P-beli érintője? Írjunk f-be két harmadakkora kört! Mivel BO = OT’, így OBT’Đ= BT’OĐ = a /2 A BOT’ háromszög O-nál fekvő külső szöge a. A k kör mozgása két összetevőre bontható: Haladó mozgás: sebessége v1 (minden pontban egyenlő) Q körüli forgó mozgás: sebessége v2 (minden pontban érintő irányú) Nincs csúszás, azaz T sebessége zérus, azaz |v1| = |v2|. Szimmetria TP felezőmerőlegesére! A P-beli sebesség a felezőmerőlegessel párhuzamos. A P-beli érintő a PT’ egyenes. A visszaverődő fénysugár, T’P, annak a kardioidnak az érintője P-ben, amelynek centruma O, szinguláris pontja A.

Duplázás mod 36 Klikkelés: összeköti minden számot a kétszeresével 10 9 8 11 7 12 6 13 5 14 4 15 3 16 2 17 1 18 19 35 20 34 21 33 22 32 23 31 24 30 25 26 28 29 27 Klikkelés: összeköti minden számot a kétszeresével További feladatok a témában (vesegörbe!): http://matek.fazekas.hu/tanitasianyagok/Hrasko_Andras/kardioid

Morley tétele Bármely háromszögben a szögharmadolók met- széspontjai egy szabályos háromszög csúcsai Morley a háromszög mindhárom oldalegye- nesét érintő kardioidok rendszerét vizsgálta. Mi vezette Morleyt ehhez a tételhez? Ha egy pontból két érintőt rajzolunk egy tetszőleges körhöz, akkor a kör középpontja rajta lesz az egyenesek (valamelyik) szögfelezőjén. Morley I.: a kardioidhoz bármely külső pontból három érintő húz- ható és azok szögharmadolóira illeszkedik a kardioid centruma. Vannak olyan kardioidok, amelyeket a háromszög valamelyik oldalegyenese kétszeresen érint. Az ilyen kardioidok centruma a szögharmadolók metszéspontja.

Morley tétele Bármely háromszögben a szögharmadolók met- széspontjai egy szabályos háromszög csúcsai Morley II.: A háromszöget érintő kardioidok centrumának mértani helye néhány egyenes uniója. Morley ötlete: adott háromszög esetén vizsgáljunk egy távoli centrumú kardioidot! Ez szükségképpen „nagy” a háromszöghöz képest. Mintha egy pontból húznánk három érintőt egy kardioid-hoz. A „végtelen távoli” kardioid centruma a háromszög oldalegyenesirányainak valamelyik szögharmadolóján van. Lásd a Cabri animációt! Morley III.: A háromszöget érintő kardioidok centrumának mértani helye olyan egye- nesek uniója amelyek közül a nem párhuzamosak 120°–os szöget zárnak be egymással. Morley IV: Ha egy kardioid a háromszög valamely oldalát kétszeresen érinti, akkor a kardioid centruma két egyenesen is rajta van. Ez volt a gondolatmenet. A bizonyítás már egy sokkal egyszerűbb dolog. Frank Morley Részletesen lásd: http://matek.fazekas.hu/tanitasianyagok/Hrasko_Andras/kardioid

Az állítás, mint a kutatás eredménye René Thom a modern fizika és matematika tudósa egyszer így fogalmazott: „One can always find imbeciles to prove theorems”. Magyarul: „Könnyű találni olyan ostobát, aki bebizonyítja a tételeket”. Lásd S. H. Lui: An Interview with Vladimir Arnold, Notices of the AMS, 44. kötet, 4. szám, 432-438. vége Kutatási feladatok K1.: Adott egy háromszög. Mi azon pontok mértani helye a síkban, amelyek- nek a háromszög oldalegyeneseire vonatkozó tükörképei egy egyenesen vannak? Mego1 Árki Tamás gyakorlatán didaktikai javaslatokat is hallhatunk. K2. Adott az A és a B pont, továbbá a q arány. Keressük meg azon C pontok mértani helyét a síkban, amelyekre BC/AC = q. Mego2a Mego2b Mego2c K3.: Adott egy ellipszis alakú billiárdasztal. Egy golyó gurul az asztalon, a fal- hoz érve mandínerrel megy tovább. Vizsgáljuk a golyó pályáját! Mego3a Mego3b Makro3 Mego3c

Eulertől Poncelet-ig Euler tétele: x + x + x = 0 x + x = y x + y = z Mintha a vektorok geometriáját látnánk, csak itt vannak olyan x vektorok, amelyekre nx = 0. Ha a húrérintő n-gon záródik, akkor bárhonnan indulva záródik? Mi a formula? Ha a háromszög nem záródik, akkor mi van? Hogyan nem záródik? vége

Poncelet tétele és a harmadrendű görbe x y z A harmadrendű görbe a komplex projektív síkon topológiailag tórusz.

A harmadrendű görbe és a tórusz 2 (r(x); r’(x)) 1 (sinx; cosx)

Ajánlott cikkek, linkek Árki Tamás és Hraskó András: Kísérletező geometria (készülőben) http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Arki_Tamas/kisgeo/ Hraskó András: Egy szív titkai, http://matek.fazekas.hu/tanitasianyagok/Hrasko_Andras/kardioid Árki Tamás: Dinamikus geometria és tengelyes tükrözés http://www.sulinet.hu/tart/fcikk/Kcn/0/12532/1 Árki Tamás: Problémamegoldás a dinamikus geometria eszközeivel http://www.sulinet.hu/tart/fcikk/Kcn/0/11723/1 Árki Tamás: Problémamegoldás dinamikus geometriai módszerekkel Matematika Tanári Kincsestár, E 3.2 – 2003. november, Raabe Xah Lee weboldala görbékkel, felületekkel, animációkkal: http://xahlee.org/PageTwo_dir/more.html Matematikai szoftverek linkgyűjtemény: http://matek.fazekas.hu/portal/linkek/szoftverek.htm Árki Tamás Cabri tanfolyama itt a Vándorgyűlésen: csütörtök és péntek 10-1130. LINK

Segítség a dolgozathoz Csikós Balázs által ajánlott cikkek a számítógépes geometriaoktatás módszertanáról: Walter Whiteley: Teaching To See Like a Mathematician http://www.math.yorku.ca/Who/Faculty/Whiteley/Teaching_to_see.pdf Peter Pereira: Dynamic Geometry: Dilemmas of Teaching http://www.ntnu.no/labil/techedu/Peter%20Pereira%20-%20Paper.pdf Keith Jones geometria tanítással, tanulással kapcsolatos cikkei http://www.soton.ac.uk/~dkj/geompub.html