A kockázat kezelése döntési feladatokban

Kockázatos döntések Feltesszük, hogy az egyes kimenetelek valószínűsége ismert. Pl. ötöslottó: 1 szelvény kitöltésével az ötös valószínűsége = 1:43 949 268 = 0.00000275% a négyes valószínűsége = 1:103 410 = 0.000967% a hármas valószínűsége = 1:1 231 = 0.081% a kettes valószínűsége = 1:44 = 2.273% egy vagy nulla találat valószínűsége = 97.65%

Kockázatos döntések Példa: egy gazdálkodó, aki a következő szezonra különböző terményfajták vetése mellett dönthet. Jelölje a lehetséges 3 terményt a1, a2 és a3. A döntésnél két lényeges szempontot vesz figyelembe: X1 nettó hozam, X2 az aratásig eltelt idő

Kockázatos döntések Az X1, X2 értékeit az időjárás, a piac és egyéb véletlen események befolyásolják. A lehetséges állapotokat jelölje: s1: gyenge s2: megfelelő s3: jó

Kockázatos döntések A lehetséges állapotok valószínűségei: s1: 0.25

(hozam $/hektár ; vetés-aratás közötti hetek száma) Kockázatos döntések Az elmúlt évek alapján megbecsülhetők az egyes állapotokhoz tartozó kételemű vektorok: (hozam $/hektár ; vetés-aratás közötti hetek száma) Állapot Valószínűség Terményfajták a1 a2 a3 s1: gyenge 0.25 (–400 , 16) (10 , 20) (–100 , 10) s2: megfelelő 0.5 (80 , 14) (20 , 18) (0 , 8) s3: jó (200 , 12) (50 , 16) (100 , 8)

Kockázatos döntések a1 → hozam: 0.25 valószínűséggel –400 hetek: 0.25 valószínűséggel 16 0.5 valószínűséggel 14 0.25 valószínűséggel 12

Kockázatos döntések Kevert cselekvési lehetőségek: Nem kizárólagosan választunk a1, a2 és a3 közül, hanem mindegyikből valamennyit: ( λ1 · a1 , λ2 · a2 , λ3 · a3 ) (λ1, λ2, λ3 ≥ 0; λ1+ λ2+ λ3 = 1)

Hasznossági függvények Szentpétervári paradoxon: egy szabályos pénzérmét ( ½ valószínűséggel fej, ½ valószínűséggel írás) addig dobálunk, amíg fej nem lesz. Ha már az első dobásra fejet kapunk, a nyeremény 1 $, ha az eredmény írás, akkor újra dobunk. Ha a második dobás eredménye fej, akkor a nyeremény 2 $, írás esetén újabb dobás következik. A nyeremény (fej esetén) minden dobásnál duplázódik, tehát ha k-adik dobásra lett legelőször fej az eredmény, akkor a kifizetés 2k−1 $.

Hasznossági függvények A játékos nyereménye: 1/2 valószínűséggel 1 $, 1/4 valószínűséggel 2 $, 1/8 valószínűséggel 4 $, és így tovább. Kérdés: Milyen áron lehet ezt a játékot árulni, azaz mekkora összeget fizessen a játékos a belépésért?

Hasznossági függvények Könnyen ellenőrizhető, hogy a kifizetés várható értéke, azaz a játék ára végtelen, ami ebben a megfogalmazásban meglepő, hiszen senki sem játszana olyan játékot, amelynek az ára nem véges (pl. 4, 10 vagy 100 $).

Hasznossági függvények Miért nem tükrözik a játékosok preferenciái a matematikai várható értékből következő eredményeket? a nagyon kis valószínűségű eseményt (pl. 100-adik dobásra lesz először fej) az emberi gondolkodás már elhanyagolhatónak tekinti, akkor is, ha a hozzá tartozó nyeremény óriási (299 $). a mindennapi realitástól elrugaszkodott, csillagászati összeg kezelése. Valóban 8-szor olyan annyira csábító-e egy 2103 ≈ 1.01 · 1031 $-os nyeremény, mint a 2100 ≈ 1.27 · 1030 $-os egy olyan játékosnak, aki nem is látott még néhány száz vagy ezer $-nál többet?

A bizonyossági egyenértékes Bináris lottó: P valószínűséggel nyerünk W összeget, (1–P) valószínűséggel L összeget. [ P : W , (1–P): L ] Mi az az S összeg, amiért ezt a játékot hajlandóak vagyunk eladni? Más szóval: számunkra közömbös, hogy a biztos S összeget kapjuk meg, vagy beszállunk a játékba: S ~ [ P : W , (1–P) : L ]

A bizonyossági egyenértékes Példa: Áll az alku A bank időnként felajánlja a játékosnak, hogy adott összegért megvásárolja tőle a táskáját (azaz magát a játékot).

A bizonyossági egyenértékes Állapot Valószínűség Terményfajták a1 a2 a3 s1: gyenge 0.25 c1 = (–400 , 16) c2 = (10 , 20) c3 = (–100 , 10) s2: megfelelő 0.5 c4 = (80 , 14) c5 = (20 , 18) c6 = (0 , 8) s3: jó c7 = (200 , 12) c6 = (50 , 16) c9 = (100 , 8) A gazda meg tudja mondani azokat a βi valószínűségeket, amely mellett: ci ~ [ (1– βi) : c1 , βi : c9 ]

A várható hasznosság maximalizálása Kimenetel c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 c8 c9 βi 0.2 0.1 0.8 0.3 0.5 0.9 0.6 1 Állapot Valószínűség Terményfajták a1 a2 a3 s1: gyenge 0.25 c1 = (–400 , 16) c2 = (10 , 20) c3 = (–100 , 10) s2: megfelelő 0.5 c4 = (80 , 14) c5 = (20 , 18) c6 = (0 , 8) s3: jó c7 = (200 , 12) c6 = (50 , 16) c9 = (100 , 8) U(a1) = 0.25 U(c1) + 0.5 U(c4) + 0.25 U(c4) = 0.625 U(a2) = 0.350 ; U(a3) = 0.525 ;

A hasznossági függvény előállítása A döntéshozóval történő dialógus: E: Ha 200 $ biztos nyereségre tehet szert, vagy egy olyan játékban vehet részt, amelyben 50% eséllyel nem nyer semmit és 50% eséllyel 1000 $ a nyereménye, akkor melyik lehetőséget választja? D: Ekkor számomra a játék a vonzóbb lehetőség. E: Csökkentsük most a játék vonzerejét azzal, hogy a 200 $ biztos nyeremény mellett egy olyan játékban vehet részt, ahol 90% eséllyel nem nyer, 10% eséllyel 1000 $ a nyereménye. D: Ebben az esetben számomra a biztos 200 $ a kedvezőbb. E: Legyen egy újabb változatban a 200 $ biztos nyeremény melletti játékban 70% annak az esélye, hogy nem nyer, 30% eséllyel pedig nyer 1000 $-t. D: Most bármelyik opció megfelel: szívesen játszom, de a 200 $ biztos nyeremény is ugyanazt az értéket képviseli számomra. 200 ~ [ 0.7 : 0 , 0.3 : 1000 ] → β200 = 0.3

A hasznossági függvény előállítása Kérdezzük meg a döntéshozót az alábbiakról: 800 ~ [ 0.2 : 0 , 0.8 : 1000 ] → β800 = 0.8 300 ~ [ 0.6 : 0 , 0.4 : 1000 ] → β300 = 0.4 600 ~ [ 0.3 : 0 , 0.7 : 1000 ] → β600 = 0.7

Kockázati magatartások Semleges kockázati magatartás: készpénz egyenértékes = várható érték Pl. 500 ~ [ 0.5 : 1000 $ , 0.5 : 0 $ ] Kockázatkerülő típus: készpénz egyenértékes < várható érték Pl. 300 ~ [ 0.5 : 1000 $ , 0.5 : 0 $ ] Kockázatkedvelő típus: készpénz egyenértékes > várható érték Pl. 600 ~ [ 0.5 : 1000 $ , 0.5 : 0 $ ]

Kockázati magatartások VP várható pénzérték CE bizonyossági egyenértékes

Kockázati magatartások Példa kockázatkedvelő magatartásra Ötöslottó: 225 ~ [ 0.9765 : 0 , 0.0273 : 1055 , 0.00081 : 13660 , … ] Pl. a múlt hétre kiszámolt várható pénzérték: 47.4 Ft (Nem volt ötös, így halmozódik a főnyeremény.)

Kockázati magatartások Példa kockázatkerülő magatartásra Biztosítás: –10000 ~ [ 0.999 : 0 , 0.001 : – 5000000 ]

Kockázati magatartások Példa kockázatsemleges magatartásra Áll az alku Ha már csak két kis értékű táska maradt, pl. 100000 Ft és 200000 Ft, akkor a bank 150000 Ft-ot ajánl.

A Neumann-Morgenstern hasznosság-elmélet

Xp a kockázatos lehetőségek (lottók) halmaza xp  Xp xp lottó: adottak az ri valószínűségek és a hozzájuk tartozó xi értékek (nyeremény vagy veszteség) (i=1...n)

A Neumann-Morgenstern axiómarendszer a reláció gyenge rendezés a kockázatos lehetőségek Xp halmazán.

A Neumann-Morgenstern axiómarendszer Ha xp xq, akkor xp [ α: xp ; (1–α): xq ] xq minden α  (0,1) esetén.

A Neumann-Morgenstern axiómarendszer 3. axióma (folytonosság): Ha xp xq xr, akkor létezik olyan α,β  (0,1), hogy [ α: xp , (1–α): xr ] xq [β: xp , (1–β): xr ]

A Neumann-Morgenstern axiómarendszer 4. axióma (sorrendtől való függetlenség): [ α: xp , (1–α): xq ] ~ [ (1–α): xq , α: xp ] minden α  (0,1) esetén.

A Neumann-Morgenstern axiómarendszer Ha xs = [ α: xp , (1 – α): xq ] , akkor [β: xs , (1– β): xq ] = [αβ: xp , (1 – αβ): xq ]

5.1. Tétel: Az Xp-n értelmezett xp  xq akkor és csak akkor, ha U(xp)  U(xq) (5.1) és U(:xp , (1– ):xq) = U(xp)+ (1– )U(xq),   (0,1) (5.2) tulajdonságokkal rendelkező valós értékű U függvény akkor és csak akkor létezik, ha a NM 1-5. axiómák bármely xp, xq és xr  Xp kockázatos lehetőség együttesre teljesülnek. Továbbá az U pozitív lineáris transzformáció erejéig egyértelműen meghatározott, azaz egy U' valós függvény akkor és csak akkor fogja teljesíteni az (5.1) és (5.2) feltételeket, ha U'(xp) =  U(xp) + , (5.3) ahol ,   R és  > 0.

Az 5.1. Tétel egy könnyebben alkalmazható változatát is kimondjuk és azt bizonyítjuk be. A kulcs: A NM axiómák helyettesítése egy másik feltételrendszerrel

F1 feltétel: bizonyossági egyenértékes (certainty equivalent). Bármely biztos lehetőséghez (azaz olyan lottóhoz, amelyben egyetlen kimenetel – jelöljük ezt a-val – valószínűsége 1, a többié 0), található egy olyan lottó, amelyet a legjobb és a legrosszabb kimenetelből keverünk ki. Legyen a legrosszabb kimenetel amin, a legjobb kimenetel pedig amax egy adott tényezőre vonatkozóan. Ekkor tehát van olyan , amelyre a  [(1–): amin , : amax ]  ac Ilyenkor az a értékét az [(1–): amin , : amax ] lottó bizonyossági egyenértékesének nevezzük.

F2 feltétel: helyettesítés. Ha két olyan kockázatos lehetőségünk van, amelyek csak abban különböznek egymástól, hogy egy adott kimenetelt (ai) kicserélünk az ehhez a kimenetelhez, mint bizonyossági egyenértékeshez tartozó kockázatos lehetőséggel (aic), akkor az eredeti lehetőség és a helyettesítés révén kapott újabb lehetőség között választva indifferensek vagyunk. [1: a1, …, i: ai, …, n: an]  [1: a1, …, i: aic, …, n: an] Általánosítva ezt a gondolatot, az összes kimenetel kicserélhető a saját bizonyossági egyenértékesével: [1: a1,…, i: ai,…, n: an]  [1: a1c, …, i: aic, …, n: anc]

xp  [(1– ) : amin ,  : amax ] F3 feltétel: redukálhatóság. Egy tetszőleges kockázatos lehetőség kicserélhető egy vele indifferens összetett kockázatos lehetőséggel és megfordítva (természetesen ez utóbbi esetben van szó redukcióról). Egy összetett lottó tehát – a valószínűségszámítás szabályainak figyelembevételével – mindig kicserélhető egy egyszerű lottóra. Ez a három tulajdonság felhasználható arra, hogy bármely kockázatos lehetőséget egy vele indifferens (azaz vele egyenértékű) kockázatos lehetőségre vezessünk vissza oly módon, hogy ebben a kockázatos lehetőségben kizárólag az adott tényező legjobb és legrosszabb kimenetele szerepeljen, a megfelelően származtatott  0,1 valószínűség segítségével. xp  [(1– ) : amin ,  : amax ]

xp  [(1– ) : amin ,  : amax ] Az F1, F2 és F3 feltételből következik, hogy bármely kockázatos lehetőség visszavezethető egy vele indifferens (azaz vele egyenértékű) kockázatos lehetőségre oly módon, hogy ebben a kockázatos lehetőségben kizárólag az adott tényező legjobb és legrosszabb kimenetele szerepel, a megfelelően származtatott  0,1 valószínűség segítségével. xp  [(1– ) : amin ,  : amax ] Ezt a továbbiakban F123 feltételnek fogjuk nevezni.

Legyen adott két kockázatos lehetőség xp és yp, továbbá F4 feltétel: összehasonlíthatóság. Legyen adott két kockázatos lehetőség xp és yp, továbbá xp  [(1– 1): amin , 1: amax ] yp  [(1– 2): amin , 2 : amax ]. Ekkor az xp yp akkor és csak akkor teljesül, ha 1  2.

Állítás: Az F1, F2, F3 és F4 feltételekből levezethetők a Neumann-Morgenstern axiómák.

5.1.’ Tétel: Ha F1, F2, F3, F4 teljesül, akkor létezik az Xp-n értelmezett xp  xq akkor és csak akkor, ha U(xp)  U(xq) (5.1) és U(:xp , (1-):xq) = U(xp)+ (1-)U(xq),   (0,1) (5.2) tulajdonságokkal rendelkező valós értékű U függvény. Továbbá az U pozitív lineáris transzformáció erejéig egyértelműen meghatározott, azaz egy U' valós függvény akkor és csak akkor fogja teljesíteni az (5.1) és (5.2) feltételeket, ha U'(xp) =  U(xp) + , (5.3) ahol ,   R és  > 0.

ai  ((1-i): amin , i: amax ) = aic Az 5.1.’ Tétel bizonyítása: A bizonyítás konstruktív. Mivel minden lehetséges ai kimenetelhez tartozik egy bizonyossági egyenértékes (az F1 feltételnek megfelelően) az Xp halmazban, ezért mindig találunk egy olyan i értéket, amelyre ai  ((1-i): amin , i: amax ) = aic Az u: X  R függvényt definiáljuk oly módon, hogy u(ai) = i

Ugyanígy, bármely xp  Xp-re definiáljuk az U: Xp R függvényt oly módon, hogy U(xp) = , ahol az  értékét az xp  ((1- ): amin ; : amax ) alapján határozzuk meg. Ugyanezen a módon kaphatjuk meg az U: AR várható hasznossági függvényt, csak ennek az értelmezési tartománya most nem a kockázatos kimenetelekre, hanem az A halmaz elemeire korlátozódik.

Azt kell megmutatni, hogy ez az U függvény teljesíti az (5.1) és (5.2) összefüggéseket. F4 => (5.1). Az (5.2) igazolásához tekintsük az alábbiakat: U(:xp , (1-):xq) = = U((1-2 - ( 1 - 2):amin,2 + (1-2):amax) = = 2 + (1 - 2) = 1 + (1- ) 2 = = U(xp) + (1-)U(xq). Ennek mintájára az is megmutatható, hogy U(xp) =  iU(ai) =  iu(ai). (Bernoulli-elv)

Bernoulli-elv: a várható hasznosság maximalizálása (a várható érték maximalizálása helyett) A Bernoulli-elv feloldja a szentpétervári paradoxont (például a logaritmikus hasznossági függvénnyel.)