Kvantitatív módszerek MBA és Számvitel mesterszak Szigorlati tételek

A valószínűségszámítás tárgya, alapfogalmai Leíró statisztika Hipotézisvizsgálatok Elméleti eloszlások

A valószínűségszámítás tárgya, alapfogalmai A valószínűségszámítás tárgya, a valószínűség és a valószínűségi változó fogalma, jellemzői A valószínűségszámítás axiómarendszere Valószínűségszámítási tételek (feltételes valószínűség, teljes valószínűség tétele, Bayes-tétel)

A valószínűségszámítás tárgya Véletlen (sztochasztikus) jelenség fogalma Tömegjelenség fogalma

A valószínűség fogalma (statisztikai) A n f(A)

A valószínűségi változó A valószínűségi változó fogalma Egy kísérlethez tartozó H eseménytéren értelmezzünk egy tetszőleges valós értékű  függvényt, vagyis minden kimenetelhez rendeljünk hozzá egy valós számot. A valószínűségi változó jellege Diszkrét Folytonos

A valószínűségi vált. jellemzői Diszkrét Folytonos Eloszlásfüggvény Valószínűségeloszlás fv. Sűrűségfüggvény Várható érték Elméleti szórás Medián Módusz F(k) F(x) pk — — f(x) M() M() D() D() me, Me mo, Mo

Kolmogorov axiómák 1. axióma 0  P(A)  1 2. axióma P() = 1, Ha A és B egymást kizáró események, akkor P(A + B) = P(A) + P(B)

Feltételes valószínűség Egy esemény bekövetkezése milyen mértékben befolyásolja egy másik esemény bekövetkezését. Valószínűbb-e egy A esemény bekövetkezése, ha a B esemény már bekövetkezett?

A teljes valószínűség tétele Ha B1, B2, … Bn teljes eseményrendszert alkotnak és P(Bk)>0 (k=1,2,….n), A pedig egy tetszőleges esemény, akkor

Bayes-tétel Az okok valószínűségének tétele Ha B1, B2, … Bn teljes eseményrendszer és P(Bk)>0 (k=1,2,….n), A pedig egy tetszőleges esemény és P(A)>0, akkor

Leíró statisztika Mintavétel, mintavételi hiba, a minta adatainak feldolgozása A grafikus ábrázolás alapjai A legfontosabb középérték mutatók, ingadozásmutatók és alakmutatók jellemzői, az alkalmazás előnyei és hátrányai

Matematikai statisztika tárgya F(x), M(), D() …. Fn(x), x, s, s* Következtetés Statisztikai minta valamely változóra vonatkozó véges számú független megfigyelés eredménye. Sokaság A vizsgálat tárgyát képező egységek összességét, halmazát statisztikai sokaságnak nevezzük. Minta Mintavétel

Statisztikai leírás alapjai Adatgyűjtés Teljeskörű Részleges Kísérleti eredmények Mintavételes megfigyelés Egyéb részleges Véletlen Nem véletlen A statisztikai leírás célja, módszerei Fontos: a mintavételi hiba számszerűsítésének képessége! Grafikus kép Statisztikai leírás mutatói Középértékek Ingadozásmutatók Egyéb mutatók Diszkrét és folytonos adatok Kvantitatív módszerek 14

Adatok rendezése, ábrázolása Osztályba sorolás Gyakoriságok (fi) megállapítása Relatív gyakoriság (gi) megállapítása Összegzett (kumulált) gyakoriságok ill. relatív gyakoriságok (fi’; gi’) Gyakorisági táblázat Grafikus ábrázolás Kvantitatív módszerek 15

Gyakorisági eloszlások jellegzetességei Középérték-mutatók: helyzeti és számított Ingadozásmutatók: abszolút és relatív Alakmutatók Középértékek Helyzeti Számított módusz medián Számtani átlag Mértani átlag Harmonikus átlag Négyzetes átlag Középérték elvárások: Közepes helyzetűek Tipikusak Egyértelműen meghatározhatóak Lehetőleg könnyen értelmezhetőek Kvantitatív módszerek 16

Kvantitatív módszerek Ingadozásmutatók terjedelem átlagos abszolút eltérés szórás relatív szórás (momentumok) Kvantitatív módszerek 17

Kvantitatív módszerek Alakmutatók A gyakorisági eloszlás milyen mértékben tér el a normális eloszlástól Eltérés lehet: Bal ill. jobb oldali aszimmetria Csúcsosság vagy lapultság Kvantitatív módszerek 18

Hipotézisvizsgálatok A hipotézisvizsgálatok lényege, fajtái, a következtetés hibái A hipotézisvizsgálatok általános menete Paraméteres és nemparaméteres próbák, alkalmazásuk feltételei, módszerei

Hipotézis Statisztikai hipotézisen a vizsgált sokaság(ok)ra (valószínűség-eloszlásra) vagy ennek paramétere(i)re vonatkozó valamilyen feltevést értünk.

Következtetés hibái Mintából következtetünk !!!   Döntésünk H0-ról igaz nem Minta-1 Mintából következtetünk !!! Minta-2 Másodfajú hiba  Nincs hiba  Hibát követhetünk el !!! Minta-3 Elsőfajú hiba  Másodfajú hiba () Elsőfajú hiba () Nincs hiba e

Fajtái Paraméteres próbák (normális eloszlás) Nemparaméteres próbák középérték(ek)re vonatkozó szórás(ok)ra vonatkozó egyéb Nemparaméteres próbák illeszkedésvizsgálat homogenitásvizsgálat függetlenségvizsgálat

Általános menet röviden Hipotézisek (H0, H1) felállítása Próba kiválasztása, mintavétel, minta feldolgozása, elsőfajú hiba, kritikus érték meghatározása Próbastatisztika kiszámolása Összehasonlítás Döntés a nullhipotézisről

“Szakácskönyv” Hipotézisvizsgálatok Nemparaméteres próbák Többmintás próbák Illeszkedésvizsgálat χ2-próbával H0: F=F0 Több normális eloszlású valószínűségi változó várható értékeire Több normális eloszlású valószínűségi változó szórásnégyzeteire Variancia analízis H0: μ1=μ2=…=μn σ1=σ2=…=σn Cochran-féle C próba H0: σ1=σ2=…=σr n1=n2=…=nr=n Egymintás próbák Kétmintás próbák Normális eloszlású valószínűségi változó várható értékére Normális eloszlású valószínűségi változó szórásnégyzetére Két normális eloszlású valószínűségi változó várható értékeire Két normális eloszlású valószínűségi változó szórásnégyzeteire Egymintás z-próba H0: μ=μ0 σ ismert,vagy n>30 χ2-próba a szórásnégyzetre H0: σ2=σ20 Független minták esetén Páros minták esetén F-próba H0: σ21 =σ22 Egymintás t-próba H0: μ=μ0 σ ismeretlen Kétmintás z-próba H0: μ1=μ2 σ1, σ2 ismert, vagy n1,n2>30 Kétmintás t-próba H0: μ1=μ2 σ1,σ2 ismeretlen, σ1 = σ2

Elméleti eloszlások és statisztikai döntéselmélet A valószínűségi változó fogalma, az eloszlásfüggvény és sűrűségfüggvény Diszkrét elméleti eloszlások (binomiális, Poisson) alkalmazási területei, tulajdonságai Folytonos elméleti eloszlások (exponenciális, Gauss) alkalmazási területei, tulajdonságai

A valószínűségi változó A valószínűségi változó fogalma Egy kísérlethez tartozó H eseménytéren értelmezzünk egy tetszőleges valós értékű  függvényt, vagyis minden kimenetelhez rendeljünk hozzá egy valós számot. A valószínűségi változó jellege Diszkrét Folytonos

Eloszlásfüggvény F(x) = P(  < x ) Tulajdonságai:  Monoton növekvő: F(x1)  F(x2), ha x1 < x2   Balról folytonos, szakadáshelyein a függvényérték a baloldali határértékkel egyezik meg.

f(x) sűrűségfüggvény f(x) = F’(x) Tulajdonságai: f(x)  0

Elméleti eloszlások Diszkrét eloszlások Binomiális Poisson Karakterisztikus eloszlás Diszkrét egyenletes Binomiális Poisson Folytonos eloszlások Folytonos egyenletes Exponenciális Normális (Gauss-) Weibull Student-, F-, Khi-négyzet, stb.

Binomiális eloszlás Kétkimenetelű események n megfigyelést, kísérletet végzünk Az egyes megfigyelések, kísérletek függetlenek egymástól. Például: Pénzfeldobásnál a fejdobások számát figyeljük. Kétkimenetelű az eseménytér: fejet vagy írást dobunk. A fej dobásának valószínűsége: 0,5. 10 megfigyelést végzünk. A kísérletek egymástól függetlenek. Mekkora a valószínűsége, hogy a kísérlet végén éppen öt fejet dobtunk?

Poisson-eloszlás A kis valószínűségű, vagyis ritka események eloszlástörvényének is nevezik. Adott időszak alatt bekövetkező egymástól független véletlen események számát írja le. Illetve az ún. véletlen pontelhelyezkedések számát, adott felületen, hosszon, térfogatban stb. Binomiális eloszlás helyettesítése: ha n   és p  0 valamint np = áll., akkor a binomiális eloszlás helyettesíthető np =  paraméterű Poisson-eloszlással.

Exponenciális eloszlás Véletlen hosszúságú időtartamok eloszlása Emlékezetnélküli vagy örökifjú Szórása egyenlő a várható értékével A várható érték nem a leggyakoribb érték! Alkatrészek, berendezések hibamentes működési ideje

Normális eloszlás A leggyakoribb eloszlás a menedzsmentben Központi határeloszlás tétele Arányos skálán mérhető termékjellemzők és technológiai paraméterek Több tényező összegződése révén előálló mennyiség eloszlásának modellezése Véletlen jellegű mérési hibák matematikai leírása Technológiai folyamatok irányítási algoritmusának kialakítása Standardizálás jelentősége!