Paraméteres próbák- gyakorlat 2014. október 30.

Paraméteres próbák és zh Egymintás aránypróba Kétmintás aránypróba Welch-próba Cochran próba Bartlett próba Varianciaanalízis Kvantitatív módszerek

Példa Feladatgyűjtemény Kínai és japán turisták körében végeztek felmérést a fényképezési szokásaikról. A japán turisták egy nap alatt átlagosan 106 képet készítettek, 38,4 kép szórással. A kínai turisták 94 képet csináltak, 16,4 kép szórással. A vizsgálat során 61 japán és 41 kínai látogatót figyeltek meg. A készített képek eloszlása normális. 5%-os szignifikancia szinten feltehető-e, hogy a japán és a kínai turisták ugyanannyit fényképeznek? Megoldás: sokasági várható értékek összehasonlítása F-próba a sokasági szórások egyezésére: DFjapán=60, DFkínai=40, Fkrit=1,64 5% szignifikancia szinten el kell utasítanunk a nullhipotézist, az ismeretlen alapsokasági szórások nem egyenlők. Ezért a két mintás t-próba helyett a Welch próbát fogjuk használni a két várható érték összehasonlítására. Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Példa folytatása A Welch próba próbafüggvénye: DF=87 5%-os szignifikancia szinten elvetjük a nullhipotézist, így tehát nem állítható, hogy ugyanannyit fényképeznek Kvantitatív módszerek

Példa Feladatgyűjtemény A Felvillanyozzuk Kft. villanyégőket gyárt. A vevője akkor veszi át a beszállított tételt, ha a hibaarány nem nagyobb, mint 1%. A napi termeléséből vett n = 2000 elemű mintában a hibás égők száma 24 db. A kivett minta alapján döntsük el, hogy 99%-os megbízhatósággal a vevő átveszi-e a tételt! Megoldás: egymintás aránypróba H0: P=0,01 H1: P>0,01 Elég nagy-e a minta? α=1%, z0,99=2,34 Mivel a számított érték az elfogadási tartományba esik, így 99%-os megbízhatósággal lehet a tétel elfogadására számítani. Kvantitatív módszerek

Példa Feladatgyűjtemény Egy befektető a portfóliójában 2000 darab értékpapírt tart. Januárban 1120 darab, februárban 1200 darab értékpapíron tudott pozitív hozamot realizálni. 1%-os szignifikancia szinten igaz-e az az állítás, hogy januárról februárra nőtt a befektető portfóliójában azon értékpapírok aránya, amelyeken pozitív hozamot realizálhatott. Megoldás: kétmintás aránypróba H0: Pjan=Pfebr H1: Pjan<Pfebr 1%-os szignifikancia szinten elutasítjuk a nullhipotézist, azaz az alternatív hipotézis elfogadása mellett azt állíthatjuk, hogy januárról februárra valóban nőtt a befektető portfóliójában a pozitív hozamú értékpapírok aránya az elfogadási tartomány: Kvantitatív módszerek

Példa Feladatgyűjtemény Egy gyorséttermi akció célja, hogy hatására a vásárlók 20%-a vásárolja meg az adott terméket. 350 vásárlót tartalmazó véletlen mintában 65-en megvásárolták a szóban forgó terméket. Ellenőrizzük, hogy sikeresnek tekinthető-e az akció 5%-os szignifikancia szinten! Megoldás: egymintás aránypróba: α=0,05  zα= –1,64  elfogadási tartomány: zsz>zα Mivel a számított érték nagyobb, mint a kritikus érték, így a nullhipotézist elfogadjuk, vagyis sikeresnek tekinthető az akció. Kvantitatív módszerek

Példa Feladatgyűjtemény Egy plázából kifelé jövet véletlenszerűen megkérdeztek 500 főt, akik közül 347 nő volt és 153 férfi, hogy vásároltak-e. A nők közül 198-an, a férfiak közül 62-en válaszoltak igennel. 5%-os szignifikancia szinten állítható-e, hogy a nők nagyobb arányban vásárolnak, mint a férfiak? Megoldás: kétmintás aránypróba H0: Pnő=Pférfi H1: Pnő>Pférfi =0,05 z= 1,645 Elfogadási tartomány: zsz <1,645 Mivel zsz>1,645, ezért a H0 hipotézist 5%-os szignifikancia szinten elutasítjuk, vagyis állítható, hogy a nők nagyobb arányban vásárolnak. Kvantitatív módszerek

Példa Feladatgyűjtemény Az újságolvasási szokásokat vizsgálták a felsőfokú végzetséggel rendelkezők illetve nem rendelkezők között, mindkét csoportból 25-25 elemű mintát véve. A felsőfokú végzetséggel rendelkezők napi átlag 24 percet töltöttek újságolvasással, 4 perc szórással. A felsőfokú végzetséggel nem rendelkezők naponta átlagosan 23 percet töltöttek újságolvasással, 9 perc szórással. Mindkét csoportban azt találták, hogy az újságolvasással töltött idő normális eloszlást követ. 1 %-os szignifikancia szinten feltehető-e, hogy a két csoportban azonos az újságolvasásra fordított idő? Megoldás: sokasági várható értékek egyezésének vizsgálata, kétmintás próba Az egyes csoport a felsőfokú végzettséggel rendelkezők, kettes csoport az ezzel nem rendelkezők csoportja Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Példa folytatása 1%-os szignifikancia szinten a két alapsokasági szórás egyezése nem tételezhető fel Először F-próbát kell végeznünk: DF1=24, DF2=24, Fkrit=2,66 Welch-próba: tkrit=2,724 (DF=33, α=1%) 1 % szignifikancia szinten nincs okunk a nullhipotézist elutasítani, azaz a felsőfokú végzetséggel rendelkezők és a felsőfokú végzetséggel nem rendelkezők körében az újságolvasására fordított idő egyenlő. az elfogadási tartomány: -2,724<tszám<2,724 Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Példa Négy, közkedvelt üdítőital töltési térfogatát vizsgáltuk. A megfigyelések eredményei: Ellenőrizzük 5%-os szignifikancia szinten, hogy a töltési térfogatok szórása egyenlő-e! Megoldás: Bartlett próba, mivel a mintaelemszámok nem egyenlőek H0: σA=σB=σC=σD H1: a legnagyobb szórású különbözik Üdítő Ellenőrzött palackok száma Töltési térfogat [ml] Almás 6 498, 504, 506, 502, 498, 498 Barackos 4 500, 502, 504, 494 Citromos 504, 498, 502, 500, 499, 503 Dinnyés 8 495, 503, 496, 500, 504, 501, 502, 499 Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Példa folytatása Üdítő Ellenőrzött palackok száma Töltési térfogat [ml] Almás 6 498, 504, 506, 502, 498, 498 Barackos 4 500, 502, 504, 494 Citromos 504, 498, 502, 500, 499, 503 Dinnyés 8 495, 503, 496, 500, 504, 501, 502, 499 Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Példa folytatása A számított érték kisebb, mint a kritikus, így 5%-os szignifikancia szinten fenntartjuk a nullhipotézist, az alapsokasági szórások, azaz a töltési térfogat ingadozása egyenlő. χ2krit=7,815 Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Példa folytatása Az előző példán igazoltuk a sokasági szórások egyezését. Most ellenőrizzük 5%-os szignifikancia szinten, hogy a töltési térfogatok várható értéke egyenlő-e! Megoldás: varianciaanalízis H1: Bármely két várható érték nem egyezik Üdítő Ellenőrzött palackok száma Töltési térfogat [ml] Almás 6 498, 504, 506, 502, 498, 498 Barackos 4 500, 502, 504, 494 Citromos 504, 498, 502, 500, 499, 503 Dinnyés 8 495, 503, 496, 500, 504, 501, 502, 499 Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Példa folytatása Külső eltérés-négyzetösszeg: Belső eltérés-négyzetösszeg (a szórások felhasználásával): Teljes eltérés-négyzetösszeg: A töltési térfogat szóródásának 2,68%-át magyarázza az, hogy milyen ízű. Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Példa folytatása Négyzetösszeg neve Négyzet-összegek Szabad-ságfok Szórás becslése F érték Csoportok közötti * 6 3 sk2=2 0,1835 Csoporton belüli ** 217,982 20 sb2=10,8991 - Teljes 223,982 23 5%-os szignifikancia szinten elfogadható, hogy a töltési térfogatok várható értéke egyenlő (vagyis nincs kapcsolat a töltési térfogat és az íz között). Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Példa Három vérnyomáscsökkentő gyógyszer hatását vizsgálták. A különböző gyógyszerrel kezelt betegek vérnyomását egy héten keresztül minden nap megmérték. 1%-os szignifikancia szinten van-e különbség a gyógyszerek hatásossága között? Megoldás: Varianciaanalízis, előtte Cochran-próba Gyógyszer H K SZe CS P SZo V Átlag Korr. tap. szórás A 142 127 131 137 144 139 125 135 7,4162 B 146 121 136 148 10,6771 C 128 141 129 134 133 126 5,416 Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Példa folytatása Cochran próba: r=3, a DF szabadságfok 7-1=6 gkrit=0,77 gszám<gkrit, így a nullhipotézis elfogadható, a sokasági szórások egyeznek. H1: A legnagyobb szórású különbözik Gyógyszer H K SZe CS P SZo V Átlag Korr. tap. szórás A 142 127 131 137 144 139 125 135 7,4162 B 146 121 136 148 10,6771 C 128 141 129 134 133 126 5,416 Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Példa folytatása Varianciaanalízis H1: bármelyik két várható érték nem egyenlő A vérnyomás szóródásának 9,9%-át magyarázza az, hogy melyik gyógyszer esetén mérik. Gyógyszer H K SZe CS P SZo V Átlag Korr. tap. szórás A 142 127 131 137 144 139 125 135 7,4162 B 146 121 136 148 10,6771 C 128 141 129 134 133 126 5,416 Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Példa folytatása Négyzetösszeg neve Négyzet-összegek Szabad-ságfok Szórás becslése F érték Csoportok közötti 130,66 r-1=3-1=2 65,33 0,9766 Csoporton belüli 1190 n-r= 21-3=18 66,111 - Teljes 1320,66 n-1= 21-1=20 5%-os szignifikancia szinten elfogadható, hogy nincs különbség a gyógyszerek hatásossága között. Kvantitatív módszerek