Konzultáció 2014. november 19. Nemparaméteres próbák, egymintás próbák Gazdaságstatisztika Konzultáció 2014. november 19. Nemparaméteres próbák, egymintás próbák

Mi a hipotézisvizsgálatok célja? Következtető statisztikai eszközök Egy véletlen minta ismeretében hogyan lehet becslést adni annak a sokaságnak bizonyos jellemzőire, amelyből a minta származik. Várható érték becslése ismeretlen és ismert sokasági szórás esetén Sokasági variancia becslése Sokasági arány becslése De nem mindig erre van szükség: el kell döntenünk, hogy a rendelkezésre álló egy vagy több minta származhat-e meghatározott tulajdonságokkal rendelkező egy vagy több sokaságból vagy összehasonlítási célok mérlegelni kell, hogy a mintavétel eredménye alátámasztja vagy cáfolja a feltevésünket

Mi a hipotézisvizsgálatok célja? A vizsgálandó sokaságra vonatkozó ismereteink gyakran hiányosak és/vagy bizonytalanok  sejtésünket hipotézisként fogalmazzuk meg, amelynek igazságáról meg kell győződni Hipotézis: sokasággal (!!!) kapcsolatos feltevés, amely vonatkozhat A sokaság eloszlására A sokaság eloszlásának egy vagy több paraméterére Az állítások helyességéről kétféleképpen lehet meggyőződni: Teljes körű adatfelvételt végzünk Mintavétel eredményei alapján következtetünk MINTAVÉTELI INGADOZÁS, MINTAVÉTELI HIBA Hipotézisvizsgálat: a sokaságra vonatkozó feltevés mintavételi eredményekre támaszkodó vizsgálata. A hipotézisvizsgálat annak mérlegelése, hogy egy sokaságra vonatkozó állítás mennyire hihető a mintavétel eredményeinek tükrében.

1. lépés: a null- és alternatív hipotézisek megfogalmazása Mi a nullhipotézis és az alternatív (ellen-)hipotézis, mi a szerepük a hipotézisvizsgálat során, és hogyan kell őket megfogalmazni? 1. lépés: a null- és alternatív hipotézisek megfogalmazása Nullhipotézis (H0): az a sokaságra vonatkozó feltevés, amelynek igazságáról a hipotézisvizsgálat során közvetlenül meg kívánunk győződni. Alternatív (vagy ellen-) hipotézis (H1): a nullhipotézissel együtt minden lehetőséget kimerítő, azzal egymást kölcsönösen kizáró hipotézis, amelynek helyességéről közvetetten döntünk a hipotézisvizsgálat során. A kettő közül azt fogjuk igaznak tekinteni, elfogadni, amelyik a mintavétel eredménye alapján hihetőbbnek tűnik a másiknál A hipotézisek megfogalmazásának szempontjai: Megválaszolható legyen a bennünket érdeklő kérdés Egymást kizárják Mindig a nullhipotézis helyességéről döntünk, de az arról való döntés egyben közvetett döntés az alternatív hipotézisről.

Mi a próbafüggvény és mire használjuk a hipotézisvizsgálat során? A hipotézisek vizsgálatára próbafüggvényt használunk: a mintából a sokaságra történő következtetést szolgálja A mintaelemek egy olyan függvénye, amelynek valószínűségi eloszlása a sokaság ismert tulajdonságait tekintetbe véve, a nullhipotézis igazságát feltételezve pontosan ismert. A próbafüggvényt eloszlásának ismerete teszi alkalmassá a nullhipotézis helyességének vizsgálatára: sokaság eloszlása, mintavétel módja, minta nagysága A próbafüggvények értékei mintáról mintára ingadozó jellemzők, azaz statisztikák. A próbafüggvények konstruálása elvi, matematikai feladat. Gazdaságstatisztika

Hogyan jelölhetjük ki az elfogadási és elutasítási tartományokat Hogyan jelölhetjük ki az elfogadási és elutasítási tartományokat? Mi a kritikus érték? a próbafüggvény lehetséges értékeinek teljes tartományát két egymást át nem fedő részre bontjuk kritikus érték(ek) segítségével: elfogadási és elutasítási (kritikus) tartományra. A határt (a kritikus értékeket) úgy választjuk meg, hogy a próbafüggvény a nullhipotézis fennállása esetén előre megadott nagy ε valószínűséggel az elfogadási tartományba essen. Ha a próbafüggvénynek a rendelkezésünkre álló egy – esetleg több – minta adataiból számított értéke az elfogadási tartományba esik, akkor elfogadjuk a nullhipotézist, ellenkező esetben elvetjük azt. A kritikus tartományba esés α valószínűségét szignifikancia szintnek nevezzük (1%-10% között) Gazdaságstatisztika

Hogyan jelölhetjük ki az elfogadási és elutasítási tartományokat Hogyan jelölhetjük ki az elfogadási és elutasítási tartományokat? Mi a kritikus érték? Kritikus értékek: Az elfogadási és elutasítási tartományt egymástól elhatároló ca és cf értékeket alsó és felső kritikus értéknek szokás nevezni. A kritikus értékeket mindig a kritikus tartomány részének tekintjük. A kritikus tartomány kijelölésére kétoldali kritikus tartomány használata esetén két kritikus értékre, egyoldali kritikus tartomány esetén pedig egy kritikus értékre van szükség. A kritikus értékek a szignifikancia szint és a próbafüggvény eloszlásának ismeretében egyértelműen meghatározhatóak Speciális táblázatok Gazdaságstatisztika

Egyoldali kritikus tartomány Elfogadási Kritikus érték α 1-α Bal oldali kritikus tartomány Kritikus Elfogadási Kritikus érték α 1-α Jobb oldali kritikus tartomány Bal vagy jobboldali kritikus tartomány kijelölése: eleve arra számítunk, hogy a valóság meghatározott irányú eltérést mutat egy általunk feltételezett helyzettől. ha csak valamilyen feltételezett vagy előírt állapottól való adott irányú eltérés igazán fontos a számunkra. A próbafüggvény mintából nyert értéke elég kicsi-e (elég nagy-e) ahhoz, hogy a nullhipotézis helyett az alternatív hipotézis fennállását legyen indokolt feltételezni. A teljes kritikus tartományt a próbafüggvény eloszlásának vagy csak a bal, vagy csak a jobb szélére tesszük.

Kétoldali kritikus tartomány Kétoldali kritikus tartomány kijelölése: csak a nullhipotézisben feltételezett helyzettől való eltérés ténye érdekel bennünket, és közömbös az eltérés iránya. A próbafüggvény értéke akár kisebb, akár nagyobb lehet, mint a nullhipotézis fennállásakor A kritikus tartományba esés teljes valószínűségét egyenlő arányban szokás megosztani a kritikus tartomány két része között. Kritikus Elfogadási Kritikus érték α/2 1-α Két oldali kritikus tartomány

A hipotézisvizsgálat lépései A null- (H0) és alternatív (H1) hipotézisek megfogalmazása Olyan próbafüggvény keresése, amelynek eloszlása a nullhipotézis helyességét feltételezve és a próba alkalmazási feltételeit figyelembe véve egyértelműen meghatározható. A szignifikancia szint (α) megválasztása, és a próbafüggvény lehetséges értéktartományának felosztása elfogadási és elutasítási tartományra. Mintavétel, ez alapján a próbafüggvény, mint valószínűségi változó számszerű értékének meghatározása. Döntés a hipotézisek helyességéről: ha a próbafüggvény értéke az előre kijelölt elfogadási tartományba esik, akkor elfogadjuk a nullhipotézist, Ha a próbafüggvény értéke az elutasítási tartományba esik, akkor elutasítjuk a nullhipotézist.

A hipotézisvizsgálat során elkövethető hibák Adott n mellett: ha α ↑  β ↓ ha α ↓ ↑  β ↑ Adott α mellett: ha n ↑  β ↓ ha próbafüggvény szórása ↓  β ↓ A hipotézisvizsgálat során elkövethető hibák H0 Döntés H0-ról a minta alapján Igaz Nem igaz Minta-1 Mintából következtetünk !!! Minta-2 Másodfajú hiba  A H0 téves elfogadása Nincs hiba  Hibát követhetünk el !!! Minta-3 Elsőfajú hiba  A H0 téves elvetése Másodfajú hiba () Elsőfajú hiba () Nincs hiba e Cél: a másodfajú hiba valószínűségének csökkentése (adott α mellett)  Kvantitatív módszerek

A próbák osztályozása Mi a nullhipotézisük tárgya: Paraméterre és eloszlásra irányuló próbák Milyen jellegűek a sokaság eloszlásával szemben támasztott alkalmazási feltételek: A paraméteres próbák alkalmazási feltételei között szerepelnek a sokasági eloszlás típusára, egyes paramétereire vonatkozó elvárások A nemparaméteres próbák alkalmazása legfeljebb a sokaság eloszlásának folytonosságát követeli meg Hány és mekkora minta szükséges a végrehajtásukhoz: Egy, két vagy többmintás próbák Független és páros mintás próbák Kis- és nagymintás próbák (határ n=30)

Illeszkedésvizsgálat Arról döntünk, hogy valamely  valószínűségi változó F (tapasztalati) eloszlása lehet-e adott F0 (elméleti) eloszlásfüggvénnyel jellemzett eloszlás Minták száma: egymintás Alkalmazás feltétele: nagymintás, diszkrét és folytonos eloszlásokra egyaránt Hipotézisek: H0: F = F0 H1: F ≠ F0 A próbafüggvény: A próbafüggvény eloszlása: χ2 eloszlás, DF=r-l-1 Típusai: tiszta és becsléses illeszkedésvizsgálat

Homogenitásvizsgálat Homogenitásvizsgálat segítségével eldönthetjük, hogy két valószínűségi változó azonos eloszlásúnak tekinthető-e. Minták száma: kétmintás Alkalmazás feltétele: nagymintás, a közösnek feltételezett eloszlásfüggvényre nincs kikötés Hipotézisek: H0: a vizsgált valószínűségi változók két sokaságon belüli eloszlása azonos H1: a vizsgált valószínűségi változók két sokaságon belüli eloszlása nem azonos A próbafüggvény: A próbafüggvény eloszlása: χ2 eloszlás, DF=r-1 Eszköze: kontingencia táblázat

Kontingencia táblázat

Függetlenségvizsgálat Két minőségi ismérv valamely adott sokaságon belül független-e egymástól. A minták száma: egymintás Alkalmazás feltétele: a kontingencia táblázat méretétől függően nagy minta Hipotézisek: H0 : a két valószínűségi változó független egymástól (nincs sztochasztikus kapcsolat) H1 : a két valószínűségi nem független egymástól (közöttük sztochasztikus vagy függvénykapcsolat van) A próbafüggvény: A próbafüggvény eloszlása: χ2 eloszlás, DF=(r-1)(s-1)

Kontingencia táblázat

Minőségi ismérvek asszociációja A minőségi ismérvek között kapcsolat szorossága a minőségi ismérvek közötti asszociációval vizsgálható Cramer-féle asszociációs együttható 0 és 1 közötti értéket vesz fel. Minél közelebb esik 1-hez, annál szorosabb a kapcsolat q = min(r,s)

1. Feladat Egy ipari parkban az elmúlt 70 évben az évente bekövetkező áramkimaradások gyakorisága az alábbi táblázat szerint alakult. 5%-os szignifikancia szinten elfogadható-e az a feltételezés, hogy az áramkimaradások száma Poisson-eloszlású valószínűségi változó? Áramkimaradások száma (évente): 1 2 3 4 5 6 7 7-nél több Évek száma: 16 23 15 Gazdaságstatisztika

1. Feladat - megoldás A megoldás menete Tudjuk, hogy a nullhipotézis teljesülése esetén az áramkimaradások éves száma Poisson-eloszlású valószínűségi változónak tekinthető. A mintából becslést adunk az eloszlás paraméterére. Meghatározzuk, hogy az áramkimaradások száma a feladatban megadott értékeket mekkora valószínűséggel veszi fel. Kiszámítjuk az áramkimaradások számának elméleti gyakoriságait. Az elméleti és tapasztalati gyakoriságok ismeretében – a khi-négyzet próba alkalmazásával – illeszkedésvizsgálatot hajtunk végre. Gazdaságstatisztika

1. Feladat - megoldás A feltételezett eloszlás (Poisson-eloszlás) λ paramétere nem ismert, ezért becsléses illeszkedésvizsgálatot hajtunk végre. Jelölje ζ az áramkimaradások éves számát, mint valószínűségi változót. Ha a nullhipotézis teljesül, akkor ζ λ paraméterű Poisson-eloszlású. A λ paraméter (maximum likelihood) becslése a mintaátlag: H0: az áramkimaradások éves száma λ=2,2 paraméterű Poisson-eloszlást követ H1: az áramkimaradások éves száma nem λ=2,2 paraméterű Poisson-eloszlást követ Gazdaságstatisztika

1. Feladat - megoldás Az elméleti gyakoriságok meghatározásához a következő valószínűségeket kell kiszámítanunk: Áramkimara-dások száma: 1 2 3 4 5 6 7 7-nél több Évek száma: 16 23 15 Gazdaságstatisztika

1. Feladat - megoldás A valószínűségek ismeretében az elméleti gyakoriságok az összefüggés alapján számíthatók, ahol N=70 a minta elemszáma. A következő táblázat a próba végrehajtásához szükséges tapasztalati és kiszámított elméleti gyakoriságokat tartalmazza. k 6 0,1108 7,7562 1 16 0,2438 17,0637 2 23 0,2681 18,7701 3 15 0,1966 13,7647 4 7 0,1082 7,5706 5 0,0476 3,3311 0,0174 1,2214 0,0055 0,3839 7-nél több 0,0020 0,1384 Gazdaságstatisztika

1. Feladat - megoldás A próba végrehajtása Tesztstatisztika kiszámítása: A kritikus érték meghatározása A szabadságfok: DF = r-l-1 = 9-1-1 = 7 (r=9, l=1, mert 1 paramétert becsültünk.) és a szabadságfok ismeretében a khi-négyzet eloszlás táblázatából: Döntés , ezért a nullhipotézist 5%-os szignifikancia szinten elfogadjuk. Gazdaságstatisztika

Asztallap vastagsága (d) 2. Feladat Egy faipari üzemben a méretre gyártott asztallapok vastagságát vizsgálták. 200 asztallap vastagságát megmérve az adatokat az alábbi táblázatban rögzítették. 5%-os szignifikancia szinten elfogadható-e az a feltételezés, hogy az asztallapok vastagsága normális eloszlású valószínűségi változó 50,2mm várható értékkel és 1,3mm szórással? Asztallap vastagsága (d) (mm) Asztallapok száma (darab) d < 47 3 47 ≤ d < 49 31 49 ≤ d < 51 105 51 ≤ d < 53 56 53 ≤ d 5 Gazdaságstatisztika

2. Feladat - megoldás A feladat szövege alapján a következő hipotézisek fogalmazhatók meg: H0: az asztallapok vastagsága 50,2mm várható értékű, 1,3mm szórású normális eloszlást követ H1: az asztallapok vastagsága nem 50,2mm várható értékű, 1,3mm szórású normális eloszlást követ Mivel ismertek a feltételezett eloszlás elméleti paraméterei, ezért tiszta illeszkedésvizsgálatot hajtunk végre. Gazdaságstatisztika

Asztallap vastagsága (d) 2. Feladat - megoldás A feladat megoldásához meg kell határoznunk az asztallap vastagságának a megadott kategóriákba esési elméleti gyakoriságait. A nullhipotézis teljesülése esetén az asztallap vastagság megadott kategóriákba esési valószínűségeit a , paraméterű normális eloszlásfüggvény segítségével számíthatjuk ki. E valószínűségek ismeretében a megadott kategóriákba esési elméleti gyakoriságok kiszámíthatóak. A megadott kategóriákba esési valószínűségek meghatározása: Jelölje az asztallapok vastagságát, mint valószínűségi változót. A következő valószínűségeket kell meghatároznunk: Asztallap vastagsága (d) (mm) d < 47 47 ≤ d < 49 49 ≤ d < 51 51 ≤ d < 53 53 ≤ d Gazdaságstatisztika

2. Feladat - megoldás A , paraméterű normális eloszlás helyett a standard normális eloszlásfüggvénnyel számolunk Gazdaságstatisztika

Asztallap vastagsága (d) 2. Feladat - megoldás A valószínűségek ismeretében az elméleti gyakoriságok az összefüggéssel meghatározhatóak, ahol N=200 a minta elemszáma. Megjegyzés: Próba végrehajtása Tesztstatisztika kiszámítása: a kategóriák száma Asztallap vastagsága (d) (mm) d < 47 3 0,007 1,3834 47 ≤ d < 49 31 0,1711 34,2133 49 ≤ d < 51 105 0,5528 110,5732 51 ≤ d < 53 56 0,2534 50,7049 53 ≤ d 5 0,0156 3,1252 Gazdaságstatisztika

2. Feladat - megoldás A kritikus érték meghatározása Döntés A szabadságfok: DF = r-l-1 = 5-0-1 = 4 (l=0, mert nem becsültünk egyetlen paramétert sem) és a szabadságfok ismeretében a khi-négyzet eloszlás táblázatából Döntés , ezért a nullhipotézist elfogdajuk, azaz 5%-os szignifikancia szinten elfogadható az a feltételezés, hogy az asztallapok vastagsága normális eloszlású valószínűségi változó 50,2mm várható értékkel és 1,3mm szórással. Gazdaságstatisztika

3. Feladat A csokoládé, a vanília és az eper-fagylaltok iránti preferenciát vizsgálták kisiskolások körében. 4 korcsoportban, összesen 289 kisiskolástól kérdezték meg, hogy melyik fagylaltok kedveli a leginkább. A felmérés eredményét a következő táblázat összegzi. 5%-os szignifikancia szinten elfogadható-e az a feltételezés, hogy a fagylaltok iránti preferencia független a kisiskolás korától? 1. osztály 2. osztály 3. osztály 4. osztály Csokoládé 26 62 48 12 Vanília 8 18 6 Eper 16 42 28 11 Gazdaságstatisztika

3. Feladat - megoldás r=3; s=4; DF=(r-1)(s-1)=(3-1)(4-1)=6; =5% A 6 szabadságfokú khi-négyzet eloszlás táblázatából az =5%-hoz tartozó érték: Döntés: χ 2sz< χ20,05 =>a nullhipotézis elfogadható, a fagylaltok iránti preferencia független a kisiskolás korától. F11= 148*50/289 = 25,606 F21= 44*50/289 = 7,612 … F34=97*29/289=9,734 1. osztály 2. osztály 3. osztály 4. osztály Csokoládé 26 62 48 12 148 25.606 62.478 45.066 14.851   Vanília 8 18 6 44 7.612 18.574 13.398 4.415 Eper 16 42 28 11 97 16.782 40.948 29.536 9.734 50 122 88 29 289 f1· f2· f3· f·1 f·2 f·3 f·4 Gazdaságstatisztika

Példa – Feladatgyűjtemény (21. feladat) Vizsgáljuk meg, hogy a Tisza Szegednél mért évi maximális vízállásai ugyanazt az eloszlást követték-e 1876 és 1925 között, mint 1926-tól 1975-ig! A méterben megadott adatok az alábbiak (α=10%): Megoldás: homogenitásvizsgálat H0: a két időszak maximális vízállásainak eloszlása azonos H1: a két időszak maximális vízállásainak eloszlása nem azonos   Gyakoriság 1876-1925 Gyakoriság 1926-1975 V < 5 5 10 5  V <6 11 6  V <7 13 7  V <8 8 < V 8 6 Gazdaságstatisztika

Megoldás Kontingencia táblázat: =0,10 DF=5-1=4 2kr=7,78 tap.gyak elm.gyak C1 C2 Peremgyakoriság 1 5 7.50 10 15 2 11 11.00 22 3 13 13.00 26 4 11.50 23 8 7.00 6 14 50 100 =0,10 DF=5-1=4 2kr=7,78 Mivel a számított érték (2,344) az elfogadási tartományba esik, a nullhipotézist elfogadjuk 10%-os szignifikancia szinten, vagyis a két időszak maximális vízállásainak eloszlása azonos. Gazdaságstatisztika

Paraméteres próbák A paraméteres próbák szigorúbb alkalmazási feltételeket igényelnek Arány-, ill. intervallum szintű mérési skáláról származó adatok állnak rendelkezésre Erősségük (a hamis nullhipotézis elutasításának valószínűsége) nagyobb Normális eloszlás paramétereire vonatkozó próbák Csoportosításuk: Egymintás, kétmintás, többmintás Független és páros mintás Várható értékre, szórásra, sokasági arányra irányuló

Egymintás próbák Az egymintás próbák mindig egy adott sokaság valamely jellemzőjére vonatkozó feltevések helyességének ellenőrzésére szolgálnak. Ennek érdekében a rendelkezésre álló egyetlen mintából meghatározott jellemzőt (átlag, tapasztalati szórás) valamely feltételezett, vagy kívánatosnak tartott állapothoz viszonyítjuk. Így annak a kérdésnek a megválaszolására alkalmasak, hogy az a sokaság, amelyből a minta származik lehet-e olyan, mint amilyennek mi azt a nullhipotézisben feltételezzük. Egymintás várható értékre irányuló próbák Egymintás sokasági szórásra irányuló próba

Egymintás próbák – sokasági szórásra irányuló próba Alkalmazási feltételek: normális eloszlású alapsokaság Nullhipotézis: Lehetséges ellenhipotézisek és elfogadási tartományok: A próbafüggvény χ2 eloszlású (DF=n-1):

Egymintás próbák – sokasági várható értékre irányuló próba Az alkalmazási feltételek függvényében kétféle próba: egymintás z-próba ha ismerjük az alapsokasági szórást (0), vagy ha nem ismerjük, de nagy mintával dolgozunk (n>30 és a 0-t a korrigált tapasztalati szórással becsüljük) egymintás t-próba ha nem ismerjük az alapsokasági szórást, és kis mintánk van Nullhipotézis: H0: =m0, vagyis a várható érték egy adott m0 értékkel egyenlő. Lehetséges ellenhipotézisek: H1: ≠m0 H1:  > m0 H1:  < m0

Egymintás próbák – egymintás z-próba Alkalmazás feltétele: normális eloszlású alapsokaság Nullhipotézis: Ellenhipotézisek és elfogadási tartományok: A próbafüggvény N(0;1) eloszlású: H0: =m0 H1: ≠m0 -z/2 <zsz<z/2 H1:  > m0 zsz<z H1:  < m0 zsz>-z

Egymintás próbák – egymintás t-próba Alkalmazás feltétele: normális eloszlású alapsokaság, ismeretlen alapsokasági szórás (és kis mintaelemszám) Nullhipotézis: Ellenhipotézisek és elfogadási tartományok: A próbafüggvény Student eloszlású (DF=n-1): H0: =m0 H1: ≠m0 -t/2 <tsz<t/2 H1:  > m0 tsz<t H1:  < m0 tsz>-t

Egymintás sokasági szórásra és várható értékre irányuló próbák Paraméteres próbák Egymintás sokasági szórásra és várható értékre irányuló próbák

Példa – Feladatgyűjtemény (40. feladat) Egy sörgyártó vállalatnál a sör névleges térfogata 500ml kell, hogy legyen, és a térfogat szórása legfeljebb 10ml lehet. Egy 100 elemű véletlen mintából ellenőrzik a szállítmányt. A mintából számított jellemzők: A minta alapján ellenőrizze az átlagos töltési térfogata és a töltési térfogat szórására a vonatkozó hipotézisek teljesülését! Térfogat, ml db -480 5 480-490 20 490-500 30 500-510 24 510-520 16 520- Összesen 100 Gazdaságstatisztika

Megoldás Mivel a számított érték (-0,714) az elfogadási tartományba esik, a nullhipotézist elfogadjuk 5%-os szignifikancia szinten, vagyis a töltési térfogat várható értéke 500ml. Nézzük a töltési térfogat várható értékre vonatkozó előírás teljesülését! (a töltési térfogat várható értéke 500 ml legyen) Sokasági várható értékre irányuló egymintás z-próba, n>30 Gazdaságstatisztika

Megoldás Mivel a számított érték (157,1724) az elutasítási tartományba esik, a nullhipotézist elutasítjuk 5%-os szignifikancia szinten, vagyis a töltési térfogat szórása nagyobb, mint 10ml. Nézzük a töltési térfogat szórására vonatkozó előírás teljesülését! (a sör töltési térfogatának szórása legfeljebb 10ml lehet) Sokasági szórásra vonatkozó hipotézis tesztelése n=100 Elfogadási tartomány: Elfogadási tartomány: Gazdaságstatisztika