Szerkezetek Dinamikája 6. hét: Rezgésszámítás frekvenciatérben. Talaj dinamikus rugómerevsége. Szóródó csillapítás.
Irodalom BSc: Györgyi József Dinamika, Műegyetemi kiadó 2007. MSc: Györgyi József Szerkezetek dinamikája, Műegyetemi kiadó 2006. https://www.me.bme.hu/hu/teaching
Egyszabadságfokú rendszerek számítása harmonikus gerjesztésre A csillapítatlan rezgés differenciálegyenlete harmonikus erővel való gerjesztésnél: Keressük az állandósult rezgést, mint a folyamatosan ható gerjesztő erőre adott válaszfüggvényt: 𝑚 𝑥 +𝑘𝑥=𝑞𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡) 𝑥 𝑔 𝑡 = 𝑥 𝑔0 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 𝜓= 𝜔 𝜔 0 𝑘− 𝜔 2 𝑚 𝑥 𝑔0 =𝑞 𝑥 𝑔0 = 𝑞 𝑘− 𝜔 2 𝑚 =𝑞 1 𝑘 1− 𝜔 2 𝜔 0 2 =𝑞 1 𝑘 1− 𝜓 2 =𝑞𝐻 𝜔
Egyszabadságfokú rendszerek számítása harmonikus gerjesztésre Az állandósult rezgésrész: 𝑥 𝑔 𝑡 =𝑞𝐻 𝜔 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 frekvencia válaszfüggvény
Csillapított rezgés A csillapított rezgés esetén a gerjesztő erőt komplex alakban írjuk fel: Keressük ennek megfelelően az állandósult rezgést, mint a komplex válaszfüggvény valós vagy képzetes részét: 𝑞 𝑡 =q 𝑒 𝑖𝜔𝑡 =𝑞 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 +𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 𝑚 𝑥 +𝑐 𝑥 +𝑘 𝑥 =𝑞 𝑒 𝑖𝜔𝑡 𝑥 𝑔 𝑡 = 𝑥 𝑔0 𝑒 𝑖𝜔𝑡 𝜓= 𝜔 𝜔 0 𝑘− 𝜔 2 𝑚+𝑖𝜔𝑐 𝑥 𝑔0 =𝑞 𝜁= 𝑐 2 𝑘𝑚 𝑥 𝑔0 =𝑞 1 𝑘 1− 𝜔 2 𝜔 0 2 +𝑖 𝜔 𝜔 0 𝑐 𝑘𝑚 =𝑞 1 𝑘 1− 𝜓 2 +𝑖2𝜁𝜓 =𝑞 𝐻 𝜔
Csillapított rezgés A 𝐻 𝜔 kifejezésében a nevezőt és a számlálót is megszorozva a nevező konjugáltjával, felírható a komplex függvény valós és képzetes része: Egy 𝑧=𝑥+𝑖𝑦 komplex szám felírható 𝑧=𝑟 𝑒 𝑖𝜙 alakban, ahol r a komplex szám abszolút értéke: 𝑟= 𝑥 2 + 𝑦 2 , míg 𝜑=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑦 𝑥 . 𝐻 𝜔 = 1 𝑘 1− 𝜓 2 −𝑖2𝜁𝜓 1− 𝜓 2 2 + 2𝜁𝜓 2 = 1 𝑘 1− 𝜓 2 1− 𝜓 2 2 + 2𝜁𝜓 2 +𝑖 2𝜁𝜓 1− 𝜓 2 2 + 2𝜁𝜓 2 𝜑=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 −2𝜁𝜓 1− 𝜓 2 =−𝛼 𝜔
Csillapított rezgés Komplex frekvencia válaszfüggvény 𝐻 𝜔 = 1 𝑘 1− 𝜓 2 2 + 2𝜁𝜓 2 1− 𝜓 2 2 + 2𝜁𝜓 2 2 = 1 𝑘 1− 𝜓 2 2 + 2𝜁𝜓 2 𝑥 𝑔0 =𝑞 𝐻 𝜔 =𝑞 𝐻 𝜔 𝑒 −𝑖𝛼 𝜔 Komplex frekvencia válaszfüggvény
Csillapított rezgés A elmozdulásfüggvény: Attól függően, hogy a harmonikus gerjesztő erő a komplex erő valós vagy képzetes része volt, a komplex válasz valós vagy képzetes része lesz az elmozdulás. 𝑥 𝑔 𝑡 = 𝑥 𝑔0 𝑒 𝑖𝜔𝑡 =𝑞 𝐻 𝜔 𝑒 −𝛼 𝜔 𝑒 𝑖𝜔𝑡 =𝑞 𝐻 𝜔 𝑒 𝑖 𝜔𝑡−𝛼 = 𝑞 𝐻 𝜔 cos 𝜔𝑡−𝛼 +𝑖 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡−𝛼)
Periodikus erővel való gerjesztés Valós Fourier sor alkalmazása 𝑞 𝑡 =𝑞 𝑡+ 𝑇 1 Ω 1 = 2𝜋 𝑇 1 alapfrekvencia A periodikus gerjesztés felírható a valós Fourier sor segítségével: 𝑞 𝑡 = 𝑎 0 + 𝑛=1 ∞ 𝑎 𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝑛 Ω 1 𝑡 + 𝑛=1 ∞ 𝑏 𝑛 𝑠𝑖𝑛 𝑛 Ω 1 𝑡
Periodikus erővel való gerjesztés Valós Fourier sor alkalmazása 𝑎 0 a 𝑞 𝑡 átlagértéke. 𝑎 0 = 1 𝑇 1 𝜏 𝜏+ 𝑇 1 𝑞 𝑡 𝑑𝑡 𝑎 𝑛 = 2 𝑇 1 𝜏 𝜏+ 𝑇 1 𝑞 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑛 Ω 1 𝑡 𝑑𝑡 𝑏 𝑛 = 2 𝑇 1 𝜏 𝜏+ 𝑇 1 𝑞 𝑡 𝑠𝑖𝑛 𝑛 Ω 1 𝑡 𝑑𝑡 𝑚 𝑥 +𝑘𝑥= 𝑎 0 + 𝑛=1 ∞ 𝑎 𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝑛 Ω 1 𝑡 + 𝑛=1 ∞ 𝑏 𝑛 𝑠𝑖𝑛 𝑛 Ω 1 𝑡
Periodikus erővel való gerjesztés Valós Fourier sor alkalmazása 𝑥 𝑔 𝑡 = 𝑎 0 𝑘 + 𝑛=1 ∞ 𝑎 𝑛 𝐻 𝑛 Ω 𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝑛 Ω 1 𝑡 + 𝑛=1 ∞ 𝑏 𝑛 𝐻 𝑛 Ω 𝑛 𝑠𝑖𝑛 𝑛 Ω 1 𝑡 𝐻 𝑛 Ω 𝑛 = 1 𝑘 1− 𝑛 Ω 1 2 𝜔 0 2 = 1 𝑘 1− 𝜓 2
Periodikus erővel való gerjesztés Valós Fourier sor alkalmazása, Példa Az ábrán látható periodikus gerjesztés esetén állítsuk elő a periodikus erő valós sorbafejtését. Az integrálási határokat célszerűen kell megválasztani: 𝜏 =− 𝑇 1 2 .. 𝑇 1 2 Ekkor az egy periódushoz tartozó erő antimetrikus, azaz 𝑎 0 = 𝑎 𝑛 =0.
Periodikus erővel való gerjesztés Valós Fourier sor alkalmazása, Példa
Periodikus erővel való gerjesztés Valós Fourier sor alkalmazása, Példa Az eredeti teher és a közelítései: n=1 n=3 n=5
Periodikus erővel való gerjesztés Komplex Fourier sor alkalmazása A periodikus erőt komplex Fourier sorba fejtjük: Az inhomogén differenciálegyenlet: Partikuláris megoldása, a komplex válaszfüggvény:
Periodikus erővel való gerjesztés Komplex Fourier sor alkalmazása A válaszfüggvény: A megoldás a válaszfüggvény valós része lesz:
Nem periodikus erővel való gerjesztés Ha az erő nem periodikus, akkor felfoghatjuk úgy is, hogy az erő csak egyetlen periódusidőn keresztül működik. A kifejezéseinkben szereplő Ω 1 eddig véges mennyiség volt, és az Ω 1 𝑇 1 =2𝜋 egyenletből számítottuk. Most, amikor 𝑇 1 elvileg végtelen nagy is lehet, az Ω 1 helyett a Δ𝜔= 2𝜋 𝑇 1 elemi mennyiséggel számolhatunk. Ennek megfelelően a továbbiakban az egyenleteinkben az 𝑛 Ω 1 helyett Ω 𝑛 -t írunk: Ω 𝑛 =𝑛Δ𝜔
Nem periodikus erővel való gerjesztés Példa Fourier transzformáció az időtérben lévő 𝑞 𝑡 függvényt transzformálja a frekvenciatérben lévő 𝑝 𝜔 függvénnyé. A 𝑝 𝜔 függvény a 𝑞 𝑡 függvény Fourier transzformáltja. Példa:
Nem periodikus erővel való gerjesztés Példa A 𝑝 𝜔 függvény valós lett, és a Fourier transzformációt viszonylag egyszerűen el tudtuk végezni. Az ábrában 𝑃 Ω ≡ 𝑝 𝜔 és 𝑝 0 ≡ 𝑞 0 A 𝑝 𝜔 függvényben az 𝜔 végtelen nagy lehet de a 𝑝 𝜔 csúcsértékei a frekvenciával fordítottan arányosak és rohamosan csökkennek.
Nem periodikus erővel való gerjesztés A megoldás:
Nem periodikus erővel való gerjesztés Az inverz Fourier transzformáció a frekvenciatérben lévő 𝑝 𝜔 𝐻 𝜔 függvényt transzformálja az időtérben lévő függvénnyé. A két transzformálás együtt az ún. Fourier transzformáció pár. A feladat egy tetszőleges erőfüggvény esetén természetesen még bonyolultabb, és az integrálás analitikusan nehezen végezhető el.
Diszkrét Fourier transzformáció A Fourier, ill. inverz Fourier transzformációknál fellépő integrálási nehézségek kezelésére megfelelő numerikus eljárás az ún. diszkrét Fourier transzformáció, ill. diszkrét inverz Fourier transzformáció. A függvényértékeket diszkrét 𝑡 𝑚 helyeken számítjuk, ahol az egyes időpontok között Δt időkülönbség van. (Ebben az esetben elegendő a 𝑞 𝑡 függvényt is diszkrét 𝑡 𝑚 =𝑚∆𝑡 helyeken megadni). A Δt ismeretében az egész 𝑇 1 időtartomány lefedéséhez szükséges integrálási lépésszám: N= 𝑇 1 ∆𝑡
Gyors Fourier transzformáció A numerikus eljárások hatékonyságát sokszorosára növeli. Az 𝑒 −𝑖 2𝜋𝑛𝑚/𝑁 számításában előforduló ismétlődéseket hasznosítja. A 𝑝 Ω 𝑛 összefüggést a 𝑊 𝑁 = 𝑒 −𝑖2𝜋/𝑁 kifejezés felhasználásával átírjuk: A 𝑊 𝑁 =𝑐𝑜𝑠 2𝜋/𝑁 −𝑖 𝑠𝑖𝑛 2𝜋/𝑁 komplex függvény valós és képzetes része is harmonikus függvény, ezért ha N értékét 2 hatványaként számítjuk, akkor 𝑊 𝑁 𝑛𝑚 az nm újabb értékeinél meg fog egyezni egy korábban számítottal, így nem kell a 𝑊 𝑁 𝑛𝑚 mennyiségek számítását nxm alkalommal megismételni. Pl.: 𝑊 8 1 = 𝑒 −𝑖2𝜋/8 és 𝑊 8 9 = 𝑒 −𝑖2𝜋/8 9 = 𝑒 −𝑖2𝜋/8 Az eredeti transzformációnál: N 2 , míg a GyFT-nál: N 2 log 2 N , (N=512- nél ez 1%)
Többszabadságfokú rendszer számítása