Konzultáció – Részekre bontott sokaság vizsgálata, Becslés November 5. Gazdaságstatisztika

RÉSZEKRE BONTOTT SOKASÁG VIZSGÁLATA Elméleti kérdések és típusfeladatok Lásd jegyzet oldal 2

Elméleti kérdések – Részekre bontott sokaság 1. A belső, külső és teljes eltérésen keresztül mutassa be a belső, külső és teljes variancia közötti összefüggést! Ismertesse a közöttük lévő kapcsolat gyakorlati jelentőségét! 2. Ismertesse az ismérvek közötti kapcsolatok típusait az ismérvek mérési szintjeit is alapul véve! 3. Mutassa be a vegyes kapcsolat mérésére alkalmazott mutatókat! 3

1. elméleti kérdés: Teljes-, belső- és külső eltérés 4 A szórásszámítás alapja: belső eltérés külső eltérés A teljes eltérés azt mutatja, hogy Y ij eltérhet a főátlagtól, mert:  az ismérvértékek ingadoznak a részátlag körül => belső eltérések  a részátlagok ingadoznak a főátlag körül => külső eltérések Csoportképző ismérvnek tulajdonítható Csoportképző ismérven kívüli összes egyéb tényezőnek tulajdonítható

1. elméleti kérdés Teljes eltérés-négyzetösszeg: Belső eltérés-négyzetösszeg: Külső eltérés-négyzetösszeg: A három eltérés-négyzetösszeg között bizonyítható az alábbi összefüggés (a statisztika elméletében kitüntetett szerepet játszó azonosság): 5 SST=SSB+SSK

Az Y ismérv SST teljes eltérés-négyzetösszegének, változékonyságának  SSK nagyságú része a részsokaságok képzésére használt csoportképző ismérvnek tulajdonítható, azzal magyarázható. SSK csak a külső eltérésektől függ.  Ezzel szemben az SSB nagyságú rész az Y ismérv szóródását előidéző más, kiemelten nem vizsgált tényezők együttes hatásának tudható be. SSB csak a belső eltérésektől függ elméleti kérdés

Mivel így 7 1. elméleti kérdés

2. elméleti kérdés Két ismérv, X és Y között háromféle kapcsolat lehetséges:  A két ismérv független egymástól.  A két ismérv között sztochasztikus kapcsolat van: nincs egyértelmű függvénykapcsolat, de egy tendencia jellegű kapcsolat van  A két ismérv függvényszerű, determinisztikus kapcsolatban van: ez azt jelenti, hogy az egyik ismérv adott értékéhez a másik ismérv adott értéke tartozik. Asszociációs kapcsolat: az egymással kapcsolatban álló ismérvek minőségi vagy területi ismérvek (mindkét változó nominális mérési szintű) Vegyes kapcsolat: az egyik vizsgált ismérv mennyiségi, a másik pedig minőségi vagy területi ismérv (az egyik változó különbségi vagy arányskálán, a másik pedig nominális skálán mérhető) Korrelációs kapcsolat: mindkét vizsgált ismérv mennyiségi ismérv (mindkét változó különbségi vagy arányskálán mérhető) Rangkorrelációs kapcsolat: mindkét változó sorrendi skálán mérhető 8

X: csoportképző minőségi ismérv Y: mennyiségi ismérv X és Y kapcsolatának szorosságát mérő mutatót H 2 -tel jelöljük, és varianciahányadosnak, vagy szórásnégyzet-hányadosnak nevezzük: A H 2 az Y ismérv szórásnégyzetének az X ismérv által magyarázott hányada. H 2 =0, ha SSK=σ 2 k =0, vagyis az X ismérv szerint képzett osztályok részátlagai egyformák H 2 =1, ha σ 2 k = σ 2 T, azaz σ 2 B =0, vagyis az X szerint képzett csoportokon belül nem szóródik Y elméleti kérdés: vegyes kapcsolat szorossága

H a szóráshányados, ami ugyancsak 0 és 1 között mozog. H=0 értéke a vizsgált két ismérv függetlenségét jelzi, H=1 pedig az X és Y közötti függvényszerű kapcsolatra utal. Nem fejezhető ki százalékosan, hanem kizárólag a kapcsolat szorosságának megítélésére használható a 0-hoz, illetve az 1-hez való közelségét figyelembe véve elméleti kérdés: vegyes kapcsolat szorossága

1. példa Egy vállalatnál megvizsgálják a férfiak és a nők kereseteit. Jellemezze a munkavállalók keresetének homogenitását, állapítsa meg, hogy milyen szoros a kapcsolat a munkavállaló neme és a bruttó keresete között! Megoldás: A kereset szerinti szóródást két részre kell bontani, a „Munkavállaló neme” ismérvhez kapcsolódó külső szórásra és a más tényezőkhöz (pl. tapasztalat, iskolai végzettség stb.) kapcsolható belső szóródásra az SST=SSK+SSB összefüggés alapján. 11 NemBruttó kereset (ezer Ft/hó) Férfi120, 83, 65, 190, 230, 120, 130, 190 Nő70, 65, 90, 100, 120, 130

1. példa Részátlagok: 12 NemBruttó kereset (ezer Ft/hó) Férfi120, 83, 65, 190, 230, 120, 130, 190 Nő70, 65, 90, 100, 120, 130 A vizsgált férfiak átlagkeresete 141 eFt/hó A vizsgált nők átlagkeresete 95,83 eFt/hó A vizsgált vállalat esetében az átlagkereset 121,64 eFt/hó.

1. példa Részszórások: 13 NemBruttó kereset (ezer Ft/hó) Férfi120, 83, 65, 190, 230, 120, 130, 190 Nő70, 65, 90, 100, 120, 130 a férfiak esetében az átlagkeresettől való átlagos eltérés 53,46 eFt/hó a nők esetében az átlagkeresettől való átlagos eltérés 23,88 eFt/hó

1. példa Belső szórás Külső szórás: Teljes szórás: 14 a vizsgált vállalat esetében az átlagos keresettől való átlagos eltérés (a részátlagoktól való átlagos eltérés) 43,33 eFt/hó. a nemenkénti átlagkeresetek átlagosan 22,35 eFt/hó-val térnek el a főátlagtól az egyes munkavállalók keresete átlagosan 49,77 eFt/hó-val tér el a főátlagtól

1. példa SST=SSK+SSB Varianciahányados: Szóráshányados: 15 SST = SSK +SSB= 6995, ,3 = 33280,71 A munkavállaló neme 21%-ban magyarázza a fizetésekben megfigyelhető szóródást. A két ismérv között gyenge közepes kapcsolat van, erre utal a H mutató 0,458-ös értéke

2. példa Három hallgatói csoportot vizsgálunk. Az első csoportba azok a hallgatók kerültek, akik a szüleikkel laknak, a másik csoportba pedig azok, akik kollégiumban, míg a harmadik csoportba azok kerültek, akik albérletben laknak. Az alábbi táblázat mutatja az egyes csoportokban megkérdezett hallgatók heti költéseit ezer Ft-ban. Számítsuk ki az átlagos heti kiadást a különböző lakáshelyzetű hallgatói csoportokban! Vonjunk le következtetéseket! Vizsgáljuk meg a szóródást különböző módokon! Számítsuk ki, hogy a szóródás milyen mértékben magyarázható a lakáshelyzettel! Milyen szoros a kapcsolat a lakhely és a kiadások között? 16 Hallgató lakhelyeHeti költség (eFt) Szülőknél13, 18, 20, 20, 28, 30, 31, 40 Kollégiumban25, 30, 30, 31, 33, 35, 38, 40, 40, 44, 50 Albérletben40, 48, 50, 50, 52

2. példa Átlagos heti kiadások kiszámítása: 17 Hallgató lakhelyeHeti költség (eFt) Szülőknél13, 18, 20, 20, 28, 30, 31, 40 Kollégiumban25, 30, 30, 31, 33, 35, 38, 40, 40, 44, 50 Albérletben40, 48, 50, 50, 52 A szülőknél lakók átlagos heti kiadása 25 eFt, a kollégistáké 36 eFt, és az albérletben lakóké 48 eFt, így ez utóbbi csoport esetében a legmagasabb a heti kiadás. A megkérdezett hallgatók átlagos heti költsége 34,83 eFt.

2. példa Részszórások kiszámítása: 18 Hallgató lakhelyeHeti költség (eFt) Szülőknél13, 18, 20, 20, 28, 30, 31, 40 Kollégiumban25, 30, 30, 31, 33, 35, 38, 40, 40, 44, 50 Albérletben40, 48, 50, 50, 52 A szülőknél lakók átlagos költése átlagosan 8,2 eFt-tal tér el az átlagtól, az átlagtól való átlagos eltérés 6,9 eFt a kollégistáknál és 4,2 eFt az albérletben lakóknál

2. példa Belső szórás: Külső szórás: Teljes szórás: 19 a hallgatók heti költése átlagosan 6,92 eFt-tal tér el a saját részsokaságuk (lakhely szerint számított) átlagától az egyes részsokságok költésének átlagai 8,3 eFt-tal térnek el a heti költések főátlagától Az egyes hallgatók heti költése átlagosan 10,81 eFt-tal tér el a vizsgálatba bevont hallgatók átlagos heti költségétől

2. példa Vegyes kapcsolat mérése  Varianciahányados  Szóráshányados 20 A heti költések ingadozását 59%-ban magyarázza a hallgató lakhelye a két ismérv (hallgató lakhelye és a heti költés) között közepesnél erősebb kapcsolat áll fenn

BECSLÉS Elméleti kérdések és típusfeladatok Lásd jegyzet: oldal 21

Becslés – elméleti kérdések 1. Ismertesse a mintavételi és a nem mintavételi hibák lényegét, és a véletlen mintavétel szerepét! 2. Adjon rövid áttekintést a véletlen mintavételi eljárások lényegéről és főbb jellemzőikről! 3. Részletezze a becslés Fisher-féle kritériumait! 4. Mi a pontbecslés lényege? 5. Ismertesse az intervallumbecslés, mint matematikai statisztikai módszer lényegét! 22

1. elméleti kérdés Mintavétel célja: következtetéseket vonjunk le a teljes sokaságra vonatkozóan a sokaság részleges megismerése által NEM A MINTA KONKRÉT JELLEMZÉSE ÉRDEKEL BENNÜNKET. A MINTA CSAK EGY ESZKÖZ, AMELYNEK SEGÍTSÉGÉVEL KÖVETKEZTETNI KÍVÁNUNK A SOKASÁGRA, ILL. ANNAK TULAJDONSÁGAIRA. Így részleges megfigyelések eredményéből következtetünk a teljes sokaságra  A statisztikai mintavételek és az ebből származó adatokat felhasználó elemzések mindig tartalmaznak hibákat. A statisztikai hiba a statisztika szükségszerű velejárója, és fontos annak számszerűsítési képesssége.

1. elméleti kérdés Mintavétellel kapcsolatos hibák két nagy csoportja:  Adatgyűjtéshez kapcsolódó hibák: pl. definíciós hibák, nemválaszolási hibák, végrehajtási hibák – NEM MINTAVÉTELI HIBA A technika fejlődésével sokféle módon lehet ellene védekezni  A teljes sokaság megismeréséről való lemondás ára – MINTAVÉTELI HIBA olyan eljárásokat keresünk, hogy ez a lehető legkisebb legyen  A mintavételi hiba annál kisebb, minél nagyobb a minta.

1. elméleti kérdés A mintából számított bármely mutató értéke mintáról mintára változik. A mintából számított értékek a megfelelő sokasági jellemző körül szóródnak. Ez a szóródás kisebb minták esetében nagyobb, nagyobb minták esetében kisebb. A mintavételi hiba a vizsgált mutató lehetséges mintákból számított értékeinek átlagos eltérését mutatja a megfelelő sokasági értéktől.

1. elméleti kérdés A véletlen mintavétel olyan kiválasztási eljárás, melynek során ismert vagy meghatározható a sokaság elemeinek mintába kerülési esélye. A mintavételi hiba számítása csak véletlen minta esetében lehetséges. A véletlen minta biztosítja a reprezentativitást. A reprezentativitás azt jelenti, hogy a minta összetétele csak a véletlen hatások miatt tér el a sokaságétól.  visszatevéses egyszerű véletlen minta,  visszatevés nélküli egyszerű véletlen minta,  rétegzett minta,  csoportos és  többlépcsős minta 26

A visszatevéses egyszerű véletlen mintavétel esetén a sokaságból egyenlő valószínűséggel, a visszatevéses technika miatt egymástól függetlenül veszünk mintát. A visszatevés nélküli egyszerű véletlen mintavétel során a sokaságból egyenlő valószínűséggel veszünk mintát, de egy sokasági elem csak egyszer kerülhet a mintába, így a mintaelemek egymástól nem függetlenek.  Minta elemszám: minél nagyobb a minta, annál megbízhatóbb a következtetés, mivel annál kisebb a véletlen szerepe  Eredeti sokaság heterogeneitása: minél heterogénebb az alapsokaság, annál nagyobb a véletlen szerepe A rétegzett mintavétel esetében a sokaságot egy csoportképző ismérv szerint átfedésmentes, az egész sokaságot lefedő rétegekre bontjuk, majd minden rétegből egyszerű véletlen mintát veszünk. 2. elméleti kérdés

Rétegzett (R) minta alkalmazása:  Ha a sokaság véges és heterogén, s előzetes információink vannak arra nézve, hogy ezt a sokaságot hogyan lehet homogén csoportokba sorolni  Feltétel a rétegképző ismérv és rétegenkénti listák ismerete  A sokaságot homogén(ebb) részsokaságokra bontjuk (átfedésmentesen és teljesen), majd a rétegeken belül egymástól függetlenül egyszerű véletlen mintavételt végzünk. A csoportos és többlépcsős mintavétel alkalmazásakor olyan nyilvántartásból történik a kiválasztás, amely a sokaság egységeit nem elkülönítve, hanem természetes vagy mesterséges csoportokban tartalmazza.  a csoportok közül választunk egyszerű véletlen mintát, majd a mintába került csoportok minden egysége bekerül a mintába.  a csoportos minta annál megbízhatóbb, minél heterogénebbek a csoportok 2. elméleti kérdés

3. elméleti kérdés Becslési kritériumok  Torzítatlanság  Hatásosság  Konzisztencia  Elégségesség 29

3. elméleti kérdés - torzítatlanság Torzítatlan a becslőfüggvény, ha annak várható értéke megegyezik a becsülni kívánt sokasági paraméterrel: Két torzított becslőfüggvény közül azt tekintjük jobbnak, amelyiknél kisebb a torzítás abszolút értéke. Nincs szisztematikus, egyirányú eltérés a becslés és a becsült paraméter között. f(x) torzítatlan torzított

3. elméleti kérdés - Hatásosság Két becslés közül a kevésbé ingadozót tekintjük hatásosabbnak. f(x)

3. elméleti kérdés - konzisztencia Konzisztens a becslőfüggvény, ha ingadozása a becsült paraméter körül a minta elemszámának növelésével egyre csökken. A becslőfüggvény értékei nagy minta esetén jól közelítsék a megfelelő sokasági jellemzőt. f(x)

3. elméleti kérdés - elégségesség A becslés elégséges, ha minden információt tartalmaz a paraméterre vonatkozóan. Nincs más olyan becslés, amely a paraméterről több információt szolgáltatna, mint az elégséges becslés.

4. elméleti kérdés - Pontbecslés Analógia elve: a mintából a becsülni kívánt jellemzővel megegyező tartalmú mutatót számítunk Mi történik, ha az analógia nem működik? Becslőfüggvények alkalmazása: a becslőfüggvénybe helyettesítjük a minta konkrét értékeit  pontbecslés Pontbecslés módszerei:  Maximum-likelihood módszer  Legkisebb négyzetek módszere  Momentumok módszere  Kvantilisek módszere  Grafikus paraméterbecslés Pontbecslés: az ismeretlen sokasági jellemző értékére egy mintából egyetlen pontot határoztunk meg, amely eleget tett valamilyen követelménynek.

4. elméleti kérdés - pontbecslés Legkisebb négyzetek módszere  Nem feltételezi a sokaság eloszlásának ismeretét, de azt igen, hogy van egy törvényszerűség, amely feltételezésünk szerint megfigyelési adatainkat előállította  modell  A LN módszere úgy határozza meg e modell paramétereit, hogy a tényleges és becsült paraméterrel illesztett modellek eltéréseinek négyzetösszege minimális legyen  szélsőértékszámítás Maximum likelihood módszer  Ismert sokasági eloszlást tételez fel, és e sokasági eloszlás ismeretlen paraméterét becsüli.  Az LF mutatja meg, hogy adott eloszlás és különböző paraméterértékek esetében mennyire valószínű, hogy éppen a szóban forgó minta adódik a mintavétel eredményeképpen.  Ez a valószerűség az ismeretlen paraméter(ek) függvénye: likelihood függvény (LF). LF ismeretében a feladat, olyan ismeretlen paraméter(eke)t keresni, amely(ek) mellett ez a függvény a maximumát veszi fel, azaz annak hihetősége, hogy az adott konkrét minta éppen abból az eloszlásból származik, a lehető legnagyobb. 35

5. elméleti kérdés Intervallumbecslés: a minta alapján olyan intervallumot határozunk meg, amely előre megadott (nagy) valószínűséggel tartalmazza a becsülni kívánt jellemzőt. 36

5. elméleti kérdés Minta-2 Minta-1 Minta-3 mintáról mintára változik maga is valósz. változó adott elméleti eloszlással, szórással stb. jellemezhető Emlékeztető

5. elméleti kérdés A pontbecslés csak véletlenül egyezik meg a sokasági paraméterrel, általában annak környezetében helyezkedik el. Hogy milyen sugarú környezetében?  A mintavételi hibától függ. A pontbecslés intervallumbecsléssel egészíthető ki.  A mintavételi hibát is figyelembe véve adott (nagy) megbízhatóságú intervallumbecslést adunk a becsülni kívánt sokasági paraméterre. Milyen széles legyen, hogy lefedje a becsülni kívánt sokasági paramétert?  A mintastatisztika szóródásának mértéke függ a minta elemszámától.  A mintavételi eloszlás ismeretében meg tudunk adni egy olyan intervallumot, amely az ismeretlen paramétert nagy valószínűséggel tartalmazza. A konfidencia-intervallum számításához ismernünk kell, hogy hogyan viselkedik a sokasági paramétert becslő függvényünk: mi a becslőfüggvény átlaga és szórása, és a becslőfüggvény, mint valószínűségi változó milyen eloszlást követ.

5. elméleti kérdés Az intervallumbecslés lényege, hogy ismerjük pontbecslésünk valószínűségi tulajdonságait, és ezek segítségével egy adott megbízhatósági intervallumot adunk meg a sokasági paraméterre. A konfidencia-intervallum is valószínűségi változó, vagyis a konfidencia-intervallumok is mintáról mintára változnak. A mintavétel végrehajtása után a konfidencia-intervallum vagy tartalmazza a becsülni kívánt sokasági paramétert vagy nem. Amennyiben a mintavételt újra és újra megismételnénk, és elkészítenénk a konfidencia-intervallumokat, az esetek (1-α) %- ában a sokasági jellemző a konfidencia-intervallumon belül lenne.

1. példa Egy elektronikai gyártósoron egy alkatrész nyomtatott áramkörre történő beültetési pozíciójának x-irányú koordinátáját vizsgálták. Korábbi elemzésekből ismert, hogy az x-irányú beültetési pozíció normális eloszlású valószínűségi változó 0,03mm szórással. 10 mérést elvégezve az x-irányú beültetési koordináta átlaga 10,34mm-re adódott. Adjunk 95%-os megbízhatósági szintű intervallumbecslést az alkatrész x-irányú beültetési koordinátájának várható értékére! Legalább hány elemű mintát vegyünk, hogy az alkatrész x-irányú beültetési koordinátájának várható értékét 95% valószínűséggel 0,01mm-nél kisebb eltéréssel tudjuk becsülni? Megoldás: Várható érték becslése ismert elméleti szórás esetén Mintaelemszám meghatározása adott pontosság eléréséhez 40

1. példa Adjunk 95%-os megbízhatósági szintű intervallumbecslést az alkatrész x-irányú beültetési koordinátájának várható értékére! Az x-irányú beültetési koordináta normális eloszlású ismeretlen μ várható értékkel és ismert σ 0 =3 mm elméleti szórással. n= %-os megbízhatósági szinten az alkatrész x-irányú beültetési koordinátájának várható értéke 10,3214mm és 10,3586mm között van.

1. példa Legalább hány elemű mintát vegyünk, hogy az alkatrész x-irányú beültetési koordinátájának várható értékét 95% valószínűséggel 0,01mm-nél kisebb eltéréssel tudjuk becsülni? 42 Keressük azt az n értéket, amelyre a eltérés 1-α valószínűséggel kisebb az előre rögzített Δ értéknél Ahhoz tehát, hogy a várható értéket 95%-os valószínűséggel legfeljebb 0,01mm eltéréssel tudjuk becsülni legalább 35 elemű minta szükséges.

2. példa Egy kávéautomata ellenőrzése során az automata által adagolt eszpresszó kávé térfogatát vizsgálták. Korábbi tapasztalatok alapján az adagolt kávé térfogata normális eloszlású valószínűségi változónak tekinthető. A vizsgálat során 10 mérést végeztek, a mérési eredmények értékei ml-ben a következők voltak: 101; 97; 103; 99; 102; 98; 104; 101; 97; 100. Adjunk 95%-os megbízhatósági szintű intervallumbecslést az eszpresszó kávé adagolt térfogatára! Megoldás: Az adagolt kávétérfogat normális eloszlású valószínűségi változó, melynek elméleti várható értékét és elméleti szórását nem ismerjük. A feladatunk az, hogy 95%-os megbízhatósági szintű konfidencia-intervallumot adjunk a várható értékre. Mivel az elméleti szórás ismeretlen, így az következő összefüggést használhatjuk: 43

2. példa Mintaátlag: A minta korrigált tapasztalati szórása: 44 DF=n-1=9 Az eszpresszó kávé adagolt térfogata 95%- os valószínűséggel a (98,4544; ) intervallumba esik.

3. példa Egy forgácsoló üzemben esztergált tengelyek átmérőjét vizsgálták. A vizsgálat során 30 darab tengely átmérőjét mérték meg. A tengelyek átmérőjének a mintából számított átlaga 55mm, korrigált tapasztalati szórása 0,2mm. A tengelyek átmérőjéről feltételezhető, hogy normális eloszlású valószínűségi változó. Adjunk 99%-os megbízhatósági szintű intervallumbecslést a.) a tengelyek várható átmérő méretére! b.) a tengelyek átmérőjének szórására! 45

3. példa Adjunk 99%-os megbízhatósági szintű intervallumbecslést a tengelyek várható átmérő méretére! A feladat az, hogy 99%-os megbízhatósági szintű konfidencia- intervallumot adjunk egy normális eloszlású valószínűségi változó várható értékére ismeretlen elméleti szórás esetén. DF= n-1=30-1=29 46 A tengelyek átmérőjének várható értéke 54,8994mm és 55,1006mm között van

3. példa Adjunk 99%-os megbízhatósági szintű intervallumbecslés a tengelyek átmérőjének szórására! A feladat az, hogy 99%-os megbízhatósági szintű konfidencia- intervallumot adjunk egy normális eloszlású valószínűségi változó várható szórására. 47 DF=n-1=30-1=29 A tengelyek átmérőjének szórása 99%-os megbízhatósági szinten 0,1489mm és 0,2973mm között van.

4. példa Megbízhatósági elemzések során a 60W-os izzók élettartamát vizsgálták. Összesen 60 darab izzó élettartamát figyelték meg, a megfigyelések eredményeit az alábbi gyakorisági táblázatban rögzítették. Az izzók élettartamáról feltételezhető, hogy normális eloszlást követ. Adjunk 95%-os megbízhatósági szintű intervallumbecslést az izzók várható élettartamára! 48 Élettartam (hónap)Izzók száma (db) 0≤t<65 6≤t<127 12≤t< ≤t< ≤t<307 30≤t<361

4. példa Az izzók élettartamáról tudjuk, hogy normális eloszlású valószínűségi változónak tekinthető, ismeretlen várható értékkel és ismeretlen szórással. A feladatunk az, hogy a várható értékre adjunk 95%-os megbízhatósági szintű konfidencia-intervallumot. Mivel az elméleti szórás ismeretlen, így a következő összefüggést használhatjuk. 49 Élettartam (hónap)Izzók száma (db) 0≤t<65 6≤t<127 12≤t< ≤t< ≤t<307 30≤t<361 DF=n-1=59 Az izzók várható élettartama 95%-os valószínűséggel a (15,4186 hónap; 18,9814 hónap) intervallumba esik.

5. példa Az előző feladat adatai alapján adjunk 95%-os megbízhatósági szintű intervallumbecslést a.) a legalább 18 hónap élettartamú izzók arányára! Megoldás: sokasági arány becslése A legalább 18 hónap élettartamú izzók aránya a gyakorisági táblázatból (a konkrét mintából): 50 Élettartam (hónap)Izzók száma (db) 0≤t<65 6≤t<127 12≤t< ≤t< ≤t<307 30≤t<361 A legalább 18 hónap élettartamú izzók aránya 95%-os valószínűséggel a 37,35% és 62,65% intervallumba esik.

5. példa Adjunk 95%-os megbízhatóságú intervallumbecslést a 12 hónapnál rövidebb élettartamú izzók arányára a gyakorisági táblázatból (a konkrét mintából): 51 Élettartam (hónap)Izzók száma (db) 0≤t<65 6≤t<127 12≤t< ≤t< ≤t<307 30≤t<361 A 12 hónapnál rövidebb élettartamú izzók aránya 95%-os valószínűséggel a 9,88% és 30,12% intervallumba esik.