Kvantitatív módszerek Hipotézisvizsgálatok Paraméteres próbák

A próbák osztályozása Mi a nullhipotézisük tárgya: – paraméteres és nemparaméteres próbák Milyen jellegűek a sokaság eloszlásával szemben támasztott alkalmazási feltételek: – A paraméteres próbák alkalmazási feltételei között szerepelnek a sokaság eloszlásának típusára, egyes paramétereire vonatkozó kívánalmak – A nemparaméteres próbák alkalmazása legfeljebb a sokaság eloszlásának folytonosságát követeli meg Hány és mekkora minta szükséges a végrehajtásukhoz – Egy, két vagy többmintás próbák – Független és páros mintás próbák – Kis- és nagymintás próbák

Az egymintás próbák mindig egy adott sokaság valamely jellemzőjére vagy valamely változó szerinti eloszlására vonatkozó feltevések helyességének ellenőrzésére szolgálnak. A rendelkezésre álló egyetlen minta jellegzetességeit valamely feltételezett vagy kívánatos állapothoz viszonyítják. Így annak a kérdésnek a megválaszolására alkalmasak, hogy az a sokaság, amelyből a minta származik lehet-e olyan, mint amilyennek mi azt a nullhipotézisben feltételezzük. – Egymintás várható értékre irányuló próba – Egymintás sokasági szórásra irányuló próba – Egymintás sokasági arányra irányuló próba Egymintás próbák

Szórásnégyzetre irányuló próba Alkalmazási feltétel: normális eloszlású alapsokaság H 0 helyessége esetén a próbafüggvény n-1 szabadságfokú χ 2 - eloszlást követ. H 0 :  2 =  0 2 (H 0 :  =  0 ) n = mintaszám s * = a mintából számolt korrigált tapasztalati szórás

A próba végrehajtásának kritikus értékei Kétoldali H 1 :    0  2 1-  /2 <  2 sz <  2  /2 H 1 :  >  0  2 sz <  2  H 1 :  <  0  2 sz >  2 1-  Bal oldali Jobb oldali Elfogadási tartomány

Példa Egy élelmiszeripari cég egyik gyártósora margarint tölt műanyag dobozokba. Ismert, hogy a gyártósorról lekerülő dobozok nettó töltősúlya normális eloszlású 4 gramm szórással. Az előírás szerint a dobozok átlagos töltősúlyának 250 grammnak kell lenni. A gyártósorról lekerülő termékekből egy 10 elemű FAE mintát veszünk, amelyeknek grammban kifejezett töltősúlya a következő: 255, 242, 245, 253, 249, 251, 250, 255, 245, 246 Ellenőrizzük a minta felhasználásával a megfogalmazott nullhipotézisek teljesülését 10%-os szignifikancia szinten! egymintás, sokasági szórásra és várható értékre vonatkozó próba

Példa megoldása H 0 :  = 4 (  2 = 4 2 ) H 1 :  ≠ 4 (  2 ≠ 4 2 )  /2 = 0,05; DF = 9;  2  /2 =16,92;  2 1-  /2 =3,325 Elfogadási tartomány: 3,325<  2 sz <16,9 H 1 :  > 4 (  2 > 4 2 )  = 0,1; DF = 9;  2  =14,684 Elfogadási tartomány:  2 sz <14,684 A próbastatisztika értéke:  2 sz mindkét ellenhipotézis mellett az elfogadási tartományba esik, ezért H 0 -t 10%-os szignifikancia szinten elfogadjuk. n=10 s*= 4,508 gramms* 2 = 20,32

Gyakorló példa Egy esztergagép-gyártó feltételezi, hogy a gépei nagyon pontosan (kis szórással) dolgoznak. Ezt a feltevését azzal támasztja alá, hogy a megmunkált alkatrészek közelítőleg normális eloszlású átmérőjének varianciája: σ 0 2 =0,01. Egy 31 elemből álló kísérleti szériában a varianciára s* 2 =0,012 adódott. Tekinthető-e hamisnak a gyártó által megadott variancia adat? (5%)

Gyakorló példa Egy konzervgyárban burgonyát használnak fel. Csomagolási okok miatt a burgonyák súlya nem nagyon szóródhat. Másfelől a gyárat a súlykülönbségek is érdeklik, mert a különböző burgonyákat futószalag-módszerrel tudják kiválogatni. Ezért az átlagos súlykülönbségnek (szóródásnak) 5 grammnak kell lennie. Az „A” termelő által felajánlott burgonyából vett n=16 elemű mintában a szórásra s*=3,8 gramm adódott. A „B” termelő által ajánlott n=101 elemű minta alapján s*=6,6 gramm adódott. Ellenőrizze 1%-os szignifikancia szinten, hogy az átlagos súlykülönbség lehet-e 5 gramm!

Várható értékre irányuló próbák Egymintás z-, vagy t- próba. H 0 : μ=m 0, vagyis a várható érték egy adott m 0 értékkel egyenlő. Egymintás z-próba alkalmazási feltétele: – A véletlen minta ismert σ 2 varianciájú normális eloszlásból származik – a standardizált mintaátlag a minta nagyságára való tekintet nélkül N(0,1) eloszlást követ:

Várható értékre irányuló próbák Egymintás t-próba alkalmazási feltétele: A véletlen minta normális eloszlású sokaságból származik nem követeli meg a sokasági eloszlás szórásának ismeretét Ha a H 0 helyes, és a sokaság eloszlása valóban normális, akkor a próbafüggvény n-1 szabadságfokú Student t-eloszlást követ: DF=n-1

Várható értékre irányuló próbák H 1 : μ  μ 0 -z α/2 < z sz < z α/2 Elfogadási tartomány -t α/2 < t sz < t α/2 Kétoldali KritikusElfogadási α/2 1-α Kritikus α/2 z  /2 /t  /2 -z  /2 /-t  /2

Várható értékre irányuló próbák H 1 : μ > μ 0 z sz < z  Bal oldali Jobb oldali t sz < t  H 1 : μ < μ 0 z sz >- z  t sz >- t  Kritikus Elfogadási α 1-α -z  /-t  KritikusElfogadási α 1-α z  /t  Elfogadási tartomány

z-próbat-próba egyoldalikétoldaliegyoldalikétoldali H0H0  = m 0 H1H1  > m 0 ( < m 0 )   m 0  > m 0 ( < m 0 )   m 0 próba- statisz- tika Elutasí- tási tarto- mány z sz > z  (z sz < -z  ) z sz z /2 t sz > t  (t sz < -t  ) t sz < -t /2 vagy t sz > t /2 feltételek  ismert v. n > 30 DF=n-1

Példa Egy élelmiszeripari cég egyik gyártósora margarint tölt műanyag dobozokba. Ismert, hogy a gyártósorról lekerülő dobozok nettó töltősúlya normális eloszlású 4 gramm szórással. Az előírás szerint a dobozok átlagos töltősúlyának 250 grammnak kell lenni. A gyártósorról lekerülő termékekből egy 10 elemű FAE mintát veszünk, amelyeknek grammban kifejezett töltősúlya a következő: 255, 242, 245, 253, 249, 251, 250, 255, 245, 246 Ellenőrizzük a minta felhasználásával a megfogalmazott nullhipotézisek teljesülését 10%-os szignifikancia szinten! egymintás, sokasági várható értékre irányuló próba

Példamegoldása Példa megoldása n = 10 H 0 :  = 250g H 1 :  < 250g H 1 :  ≠ 250g t-próbát használhatunk:  = 0,1  t  = -1,383α/2= 0,05  t  /2 = ±1,833 elfogadási tartomány: -1,383 < t sz; -1,833< t sz <1,833 a próbastatisztika értéke: Mivel t sz mindkét alternatív hipotézis mellett az elfogadási tartományba esik, H 0 -t 10 %-os szignifikancia szinten elfogadjuk. s*= 4,508g

Gyakorló példa Egy konzervgyárban a sűrített paradicsomot automata gép tölti dobozokba. A dobozok névleges súlya 450 gramm, a súly megengedett szórása 10 gramm. A súly szerinti eloszlás normálisnak tekinthető. A gyár az egyik szállítmányból 25 elemű mintát vett, a mintában a dobozok átlagos súlya 446 gramm volt, a szórás pedig 11 gramm. Ellenőrizze 5%-os szignifikancia szinten, hogy a töltősúly szórása lehet-e 10 gramm! Ellenőrizze a névleges töltősúlyra vonatkozó hipotézist 3%-os szignifikancia szinten! Ellenőrizze a névleges töltősúlyra vonatkozó hipotézist 5%-os szignifikancia szinten feltéve, hogy a sokasági szórásról nem áll rendelkezésre információ!

Sokasági arányra irányuló nagymintás próba Legyen a sokaság bizonyos tulajdonságú egységeinek aránya, illetve előfordulási valószínűsége P, és az arra vonatkozó nullhipotézis: H 0 : P=P 0. Ha a sokaságból vett minta olyan nagy, hogy akkor a próbafüggvény:

Példa Egy olvadó biztosítékokat gyártó cég feltételezi, hogy a működésképtelen biztosítékok aránya legfeljebb 0,1. Ezt a feltevést kell egy 144 elemű minta alapján megvizsgálnunk 5%-os szignifikancia szinten. A mintában a selejtes termékek száma 25. A nullhipotézis és az ellenhipotézis: H 0 : P=0,1 és H 1 : P>0,1

Példa Mivel 144·0,1=14>10 és 144·(1–0,1)=129,6>10, a nagymintás eljárás alkalmazható. A próba jobboldali kritikus tartománnyal hajtandó végre.  =0,05, z α =1,64. Az egyoldali alternatív hipotézis alapján meghatározott elfogadási tartomány: z sz <1,64 A próbafüggvény adott mintára vonatkozó értéke: Mivel a z sz >1,64, ezért a nullhipotézist, vagyis a gyártó cég feltételezését elvetjük, a selejtarány 5%-os szignifikancia szinten meghaladja a 10%-ot.

Gyakorló példa Valamely felsőoktatási intézmény hallgatóinak legfeljebb 10%-a balkezes a feltételezésünk szerint. Egy írásbeli vizsgán 100 hallgató közül 12-en bal kézzel írtak. Ellenőrizze 5%-os szignifikancia szinten, hogy elfogadható-e a balkezesek arányára vonatkozó hipotézis!

Annak a kérdésnek a vizsgálatára használhatók, hogy két vagy több sokaság különbözik-e egymástól valamely adat tekintetében. A két-, ill. többmintás próbák két vagy több sokaság összehasonlítását szolgálják. A sokaságok időben, térben vagy bármilyen más tekintetben különbözhetnek egymástól. – Két, független mintás, várható értékek egyezésére irányuló z-, ill. t- próba, Welch- próba – Páros mintás, a várható értékek különbségére irányuló próba – Kétmintás, a sokasági varianciák egyezésére irányuló próba – Kétmintás, a sokasági arányok egyezésére irányuló próba – Többmintás, a szórások egyezésére irányuló próba (Cochran próba) – Többmintás, a várható értékek egyezésére irányuló próba (varianciaanalízis) Két- és többmintás próbák

Páros mintás próba Páros minta fogalma: a két minta elemei nem függetlenek egymástól (pl. ugyanaz a mérőeszköz, ugyanaz az alkatrész, ember stb.), vagyis az egyik minta elemeinek kiválasztása maga után vonja a másik minta elemeinek kiválasztását  a két minta nagysága egyforma. Az egymásnak megfeleltethető elemeik különbségét képezzük, és e különbségeket már egyetlen minta adatainak tekintjük. Az összetartozó elemek különbsége: d i =y i -x i, ha e különbségek eloszlása az elempárokból álló sokaságban normális, vagy mindkét minta nagy, akkor a nullhipotézis helyessége a megfelelő bal, két- vagy jobb oldali alternatív hipotézissel szemben az egymintás várható érték próbákkal vizsgálható. H 0 : μ d =δ 0 μ d az elempárokhoz tartozó különbségek feltételezett várható értéke

Szükség van a két minta megfeleltetett elemeiből képzett különbségek varianciájára, vagy annak mintából számított torzítatlan becslésére: A próbafüggvény n-1 szabadságfokú Student t-eloszlást követ: DF = n-1 Páros minták várható értékének összehasonlítása H 0 :  A =  B (vagy  A ˗  B =  d =0) H 1 :  A ≠  B (  d ≠0);  A >  B (  d >0);  A <  B (  d <0);

Példa Egy sportcipőket gyártó cég szeretné meghatározni, hogy egy új típusú cipő („A”) élettartama nagyobb-e az előzőtől („B”)? Felkértek tíz kocogót, hogy teszteljék a termékeket. Az eredményeket [az élettartamokat hetekben mérve] a következő táblázat mutatja (az élettartamok normális eloszlást követnek). Kocogó Minta A cipő B cipő %-os megbízhatósági szinten feltehető-e az élettartamok különbözősége?

Példa megoldása H 0 :  A =  B H 1 :  A >  B (jobb oldali) n = didi Az eltérések átlaga: Az elfogadási tartomány: 1,83 > t sz Mivel t sz az elutasítási tartományba esik, H 0 -t 5%-os szignifikancia szinten nem fogadjuk el, azaz az új cipők élettartama valóban nagyobb, mint a régieké. A különbségek korrigált tapasztalati szórása:  = 0,05DF = n-1 = 10-1 = 9  t  = 1,83

Gyakorló példa Két fájdalomcsillapító (A és B) hatását vizsgáljuk 8 betegen mérve a fájdalom megszűnéséig eltelt időt. 5%-os szignifikancia szinten van-e különbség a két fájdalomcsillapító között? BetegAB 13,23,8 21,61 35,78,4 42,83,6 55,55 61,23,5 76,17,3 82,94,8

F-próba Alkalmazási feltétele: független normális eloszlású alapsokaságok Az F-eloszlás két egymástól független χ 2 eloszlású valószínűségi változó hányadosának az eloszlása. Sűrűségfüggvénye a χ 2 eloszláséhoz hasonlóan nem szimmetrikus. H 0 :  Y 2 =  X 2 H 1 :  Y 2 >  X 2 H 0 helyessége esetén a próbafüggvény DF 1 =n 1 -1 és DF 2 =n 2 -1 szabadságfokú F-eloszlást követ. DF 1 a számláló, DF 2 pedig a nevező szabadságfoka

F-próba ellenhipotézise H 1 :  Y >  X Jobb oldali Elfogadási tartomány KritikusElfogadási α 1-α

Példa Egy bizonyos szerelési művelet elvégzésére egy üzem munkatársait két eltérő módszerrel tanították be. Egy idő után a kétféle módszerrel betanított munkások közül egymástól függetlenül egy- egy mintát vettek, s egy adott 8 órás műszakban minden munkásnak feljegyezték a teljesítményét. A két mintán belül a munkások átlagos teljesítménye és a teljesítmények szórása az alábbi módon alakult. Ellenőrizzük annak a hipotézisnek a helyességét 1%-os szignifikancia szinten, hogy az Y és X módon betanított munkások teljesítményének szórása egyforma! A betanítás módszere MintanagyságAz egy műszak alatt összeszerelt darabok ÁtlagaSzórása Y X

Példa A számláló DF 1 = 11-1=10, a nevező DF 2 = 16-1=15. A kritikus érték: 3,8 A nullhipotézis 1%-os szignifikancia szinten elfogadható. H 0 :  X =  Y H 1 :  x >  Y

Gyakorló példa Egy gyümölcs-nagykereskedő olasz narancsot (A) szállít, mely a csekély méretkülönbségek miatt normál csomagolásban árusítható. Ajánlatot kap olcsóbb, spanyol narancsra (B). Az A és a B varianciájának a szállító adatai szerint azonosnak kell lennie. 31 elemű mintákat vettek, az olasz narancsok átmérőjének szórása 0,9, a spanyolé 1,0. 1%-os szignifikancia szinten vizsgáljuk meg, hogy van-e eltérés a kétfajta narancsok átmérőjének szórása között!

Várható értékre irányuló próbák Két sokaságból külön-külön, egymástól függetlenül vett minta! A nullhipotézis helyessége most is attól függően vizsgálható, hogy milyen információkkal rendelkezünk a sokaságról: kétmintás z-próba, kétmintás t-próba, Welch- próba

Két független minta várható értékének az összehasonlítása Nullhipotézisünk minden esetben: H 0 : μ 1 = μ 2 Kétmintás z-próba alkalmazási feltétele: ha ismerjük az alapsokasági szórásokat (σ 1,σ 2 ), vagy ha nem ismerjük, de nagy mintával dolgozunk (n 1 >30 és n 2 >30, és az elméleti szórásokat s * -gal becsüljük) A próbafüggvény H 0 helyessége esetén N(0,1) eloszlást követ:

Gyakorló példa Kétféle (A és B) márkájú autógumi élettartamát (a megtett km- ben mérve) kell összehasonlítanunk. A vizsgálathoz mintavételt hajtunk végre, mely a következő adatokat adja: „A” esetében: n=100, átlag km, szórás 4000 km „B” esetében: n=45, átlag km, szórás 3000 km. 5%-os szignifikancia szinten vizsgáljuk meg, hogy van-e különbség a kétfajta gumi élettartama között!

Kétmintás t-próba alkalmazási feltétele: ha nem ismerjük az alapsokasági szórást, de feltehető a szórások egyezése kis minták esetében akkor kezelhető, ha az ismeretlen szórásokról tudjuk, hogy azok egyformák (F-próba!!!!). A próbafüggvény H 0 helyessége esetén DF=n Y +n X -2 szabadságfokú Student-eloszlást követ: Két független minta várható értékének az összehasonlítása DF=n Y +n X -2 A két sokaság egyforma varianciájának a két minta együttes felhasználásával nyert kombinált becslése.

z-próbat-próba egyoldalikétoldaliegyoldalikétoldali H0H0  1 =  2 H1H1  1 >  2 ( 1 <  2 ) 1  21  2  1 >  2 ( 1 <  2 ) 1  21  2 próba- statisz- tika Eluta- sítási tarto- mány z sz > z  (z sz < -z  ) z sz z /2 t sz > t  (tsz < -t  ) t sz t /2 Feltéte- lek  1 és  2 ismert v. n 1 és n 2 > 30 1 =  2 DF=n 1 +n 2 -2 F-próba!

Példa Egy bizonyos szerelési művelet elvégzésére egy üzem munkatársait két eltérő módszerrel tanították be. Egy idő után a kétféle módszerrel betanított munkások közül egymástól függetlenül egy-egy mintát vettek, s egy adott 8 órás műszakban minden munkásnak feljegyezték a teljesítményét. A két mintán belül a munkások átlagos teljesítménye és a teljesítmények szórása az alábbi módon alakult. Ellenőrizzük annak a hipotézisnek a helyességét 1%-os szignifikancia szinten az Y betanítási mód jobb az X-nél! A betanítás módszere Minta- nagyság Az egy műszak alatt összeszerelt darabok ÁtlagaSzórása Y X

Példa DF= =25  t α =2,485  t sz <t α  1,519<2,485 A nullhipotézis 1%-os szignifikancia szinten elfogadható, nincs eltérés a két betanítási mód között.

Welch-próba Amikor a két szórás egyezése nem tehető fel (vagyis F sz >F krit ):

Aránypróba H 0 : P 1 =P 2, A próbafüggvény nagy minták és H 0 helyessége esetén standard normális eloszlást követ, ahol a vizsgált eseménynek a két minta egyesítésével nyert mintából számított relatív gyakorisága..

Példa Egy közvélemény-kutató cég 1000 elemű, állítása szerint az ország teljes felnőtt lakosságát reprezentáló FAE mintákkal dolgozik. Két – időben egymást két hónappal követő – közvélemény-kutatás eredménye szerint az egyik politikust a lakosság 62, ill. 68%-a tartotta rokonszenvesnek. 5%-os szignifikancia szinten állítható-e, hogy a lakosság rokonszenve növekedett az adott politikus iránt? H 0 : P 1 =P 2 H 1 : P 1 <P 2

H 0 : P 1 =P 2 H 1 : P 1 <P 2  =0,05  z  = –1,645 Elfogadási tartomány: z sz > –1,645 A próbastatisztika értéke:Példa Mivel z sz <–1,645, ezért a H 0 hipotézist 5%-os szignifikancia szinten elutasítjuk, vagyis a lakosság rokonszenve az adott politikus iránt nem növekedett.

Gyakorló példa Valamely bűncselekmény-típus áldozataira vonatkozó rendőrségi feljegyzésekből vett elemű minta adatai két egymást követő évben: Év60 évnél fiatalabbak aránya (%) Az életkor (év) ÁtlagaSzórása A sokaságok normális eloszlása feltételezhető. Ellenőrizze 5%-os szignifikancia szinten, hogy Változott-e a 60 éven aluli áldozatok aránya? (aránypróba) Csökkent-e az életkor szórása? (F-próba) Nőtt-e az áldozatok átlagos életkora? (kétmintás z-próba)

Több szórás összehasonlítása Kettőnél több, normális eloszlást követő valószínűségi változó szórásainak összehasonlítására. Ha a minták elemszáma az egyes mintákban nem azonos, akkor Bartlett-próbát alkalmazhatunk. Ha a minták elemszáma minden mintában azonos, akkor Cochran-próbát alkalmazhatunk. n 1 = n 2 = n 3 =…..= n r = n

Cochran-próba A szórások között talált legnagyobb érték tekinthető-e a többivel azonos eloszlásból származónak. Feltétel: az alapeloszlás normális, azonos elemszámú minták. A mintaelemszám „n” (DF = n-1), r darab különböző minta korrigált szórásnégyzetét pedig s 1 *2, s 2 *2, …s r *2 - tel, utóbbiak közül a legnagyobb legyen s max *2. g krit

Példa Műselyem szakítóerő vizsgálatánál (n=10) kapott r=20 vizsgálat adataiból számolt korrigált tapasztalati szórások között található-e kiugró érték? Az adatokat az alábbi táblázat tartalmazza: i s i *2 24,98,421,28,08,46,026,326,76,812,5 i s i *2 12,511,44,822,222,616,110,99,660,510,9 H 0 : a szórások nem különböznek H 1 : a legnagyobb szórás különbözik a többitől

Példa megoldása n = 10; r = 20 i s i *2 24,98,421,28,08,46,026,326,76,812,5 i s i *2 12,511,44,822,222,616,110,99,660,510,9  = 5% g kr =0,136DF = n-1= 10-1=9 Mivel g sz >g krit, ezért a H o t 5%-os szignifikancia szinten elutasítjuk. a legnagyobb szórás (19.) szignifikánsan eltér a többitől.

Példa folytatása A 19. mintát kivéve, ismételjük meg a próbát! n = 10r = 19 DF(f) = n-1= 10-1= 9  = 5% g 95 =0,140 A H 0 nullhipotézist elfogadjuk, az i=8-as minta szórása (5 ill. 1%-os szinten) szignifikánsan nem tér el a többi szórástól.

Varianciaanalízis H 0 :  1 =  2 =  3 =…. =  r H 1 : nem minden várható érték egyforma Egyszeres osztályozású varianciaanalízis Feltételek: normális eloszlású alapsokaságokból egymástól függetlenül vett minták, alapsokasági szórások egyezése H 0 fennállása azt jelenti, hogy nincs kapcsolat x és a sokaságokat megkülönböztető (minőségi) ismérv között. H 1 fennállása azt jelenti, hogy a két ismérv között van kapcsolat. H 0 elvetése azt is jelenti, hogy a sokaságban x és a csoportképző ismérv között vegyes kapcsolat áll fenn.

Varianciaanalízis Képezzük az összes megfigyelés számtani átlagát! Teljes négyzetösszeg: Csoportok közötti négyzetösszeg: Csoportokon belüli négyzetösszeg: H 0 :  1 =  =…=  r H 1 : nem minden várható érték egyforma

Négyzetösszeg neve Négyzet- összegek SzabadságfokSzórás becslése F értékp-érték csoportok közötti (SSK) r-1sk2sk2 s k 2 /s b 2 p csoporton belüli (SSB) n-rsb2sb2 -- Teljes (SST) n Anova tábla H 0 helyességére támaszkodva belátható, hogy az próbafüggvény F(r-1;n-r) eloszlást követ. A próba jobboldali kritikus tartománnyal hajtandó végre. Átlagos külső (eltérés)négyzetösszeg Átlagos belső (eltérés)négyzetösszeg

Példa Egy áruházláncnál megvizsgálták, hogy 3 boltjukban azonos-e az egy vásárlásnál fizetett összeg. Minden boltban kiválasztottak 6 véletlen mintát. A vásárláskor fizetett összegeket az alábbi táblázat mutatja [dollárban]: 1. bolt2. bolt3. bolt 12,0515,179,48 23,9418,526,92 14,6319,5710,47 25,7821,47,63 17,5213,5911,90 18,4520,575,92 Feltételezve, hogy a kifizetések normális eloszlásúak, s szórásuk egyenlő, van-e különbség a 3 üzlet között?

Példa megoldása H 0 :  1 =  2 =  3 H 1 : legalább az egyik várható érték eltér a többitől n 1 = n 2 = n 3 = 6r = 3 (minták száma) Az átlagok boltonként: $18,73 $18,14 $8,72 az összes adat átlaga: $15,2.

Anova tábla Négyzet- összegek DFSzórásF értékp érték Csoportok közötti 378,42189,213,260,0005 Csoporton belüli 214,11514,3-- Teljes 592,517---

Példa megoldása Az F sz számított értéke tehát 13,26.  = 0,05a számláló szabadságfoka: 2 a nevező szabadságfoka: 15 A kritikus érték: F kr = 3,68 Mivel F sz >>F kr a H 0 hipotézist 5 %-os szignifikancia szinten elutasítjuk, azaz az átlagok ill. legalább egy átlag szignifikánsan különbözik a többitől. Esetünkben ez értelemszerűen a 3. bolt, ahol az egy vásárlásnál kifizetett összeg nagysága átlagosan kevesebb, mint a fele a másik két bolt átlagának.

Gyakorló példa Egy gyártó cég három gumiabroncs típus tartósságát az egy mm kopásra jutó megtett út alapján méri. Az 5-5 elemű véletlen minta adatai: TípusMérési eredmény (ezer km) A43724 B85386 C Vizsgáljuk meg 5%-os szignifikancia szint mellett, hogy a három típus azonos tartósságú-e!

Gyakorló példa Egy nagyvárosban a mackósajt áralakulását vizsgálták különböző típusú véletlenszerűen kiválasztott helyeken. Az áradatok eloszlásának normalitása, ill. a szórások egyezősége feltételezhető. Az eredmények: Vizsgáljuk meg 5%-os szignifikancia szint mellett, hogy van-e különbség az egyes bolttípusok átlagáraiban! BolttípusMegfigyelt boltok száma Megfigyelt árak (Ft/db) Hipermarket435,37,37,38 Szupermarket438,40,45,50 Kisbolt734,45,47,47,50,51,55 Összesen15