1  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt Kommunikációs hálózatok tervezése 20. előadás Izsó Tamás Híradástechnikai tanszék 2000 Budapesti Műszaki Egyetem Villamosmérnöki kar Műszaki informatika szak Kommunikációs hálózatok szakirány V. évf., 9. félév

2  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt Genetikus Algoritmus GA egyszerre több megoldásból indulunk ki iteráció során megpróbáljuk a jobb megoldásokban rejlő előnyt a következő megoldáshalmazba (generációba) átörökíteni a gén egy megoldás reprezentációja, azaz a szabad változók vektora

3  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt GA - operátorok keresztezés: két megoldás ötvözése mutáció: véletlenszerűen új megoldás generálása szelekció : régi megoldásokból a keresztezéshez és a mutációhoz egy-egy egyed kiválasztása az életképesség figyelembe vételével

4  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt GA - algoritmus kezdeti populáció előállítása egyes megoldások jóságának a kiértékelése while a leállási feltétel nem teljesül do for populáció méret / 2 do szelekció (2 egyed) meghatározott valószínűséggel keresztezés vagy mutáció végrehajtása utódok jóságának a kiszámítása utódok beillesztése az új generációba end for régi populáció lecserélése az új populációra konvergencia feltétel kiértékelése end while

5  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt GA - szelekció Életképességgel (fitness) egyenesen arányos valószínűséggel Életképesség által meghatározott sorrend alapján –független az egyedek életképességének az eloszlásától

6  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt GA - rulettkerék szelekció Fitness a:1 b:3 c:5 d:3 e:2 f:2 g:8 a b c d e f g

7  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt GA - keresztezés két szülőből - régi megoldásból - két gyereket - új megoldásokat - hozunk létre N pontos keresztezés –két megoldást N azonos helyen felvágjuk, így N+1 darab szegmens keletkezik –az új megoldáshoz az egyik részt az első szülő szegmenséből a másikat a másik szülőtől vesszük

8  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt GA - 1-pontos keresztezés szülők gyerekek

9  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt GA - 2-pontos keresztezés szülők gyerekek

10  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt GA - egyenletes keresztezés szülők gyerek keresztezési maszk

11  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt GA - egyenletes keresztezés felhasználása utazóügynök problémára szülők gyerek keresztezési maszk

12  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt GA - új megoldások beillesztése N darab új megoldás után lecseréljük a régi populációt az újra mindjárt betesszük az új egyedeket –a legrégebbi, –a legrosszabb, –életképességük alapján a legrosszabbat a legnagyobb valószínűséggel kiválasztott helyére

13  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt GA - leállási feltétel maximális iterációszám adott lépésszám közben nem találtunk jobb megoldást az egyedek halmaza sok hasonló megoldást tartalmaz

14  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt Lineáris programozás Feladat formalizálása: –A m  n-es mátrix –c költségvektor 1  n-es sorvektor –b korlát, m  1-es oszlopvektor

15  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt Példa x1x1 x2x c

16  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt Alapfogalmak Azokat az x-eket, melyre teljesül az Ax  b, x  0 lehetséges megoldásoknak nevezzük. Azt a lehetséges megoldást, melyre cx maximális (minimális) optimális megoldásnak nevezzük.

17  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt Szabályos formára alakítás szabályos alak:

18  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt Bázismegoldás Jelölés: B a bázisban lévő oszlopok, N pedig a nembázis elemek indexének a halmaza.

19  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt Bázisra példa lehetséges bázis nem lehetséges bázis

20  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt Geometriai értelmezés konvex lineáris kombináció: Az a i vektorok konvex lineáris kombinációi konvex halmazt alkotnak. Az Ax=b egyenlet megoldásai konvex halmazt alkotnak. Biz.:

21  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt Konvex halmaz belső pont - létezik  sugarú környezet, melyben az összes pont eleme a halmaznak extrémális pont - nem felezőpontja a konvex halmaz egyetlen szakaszának sem csúcspont - x csúcspont, ha  p hogy  y-ra px<py x,y  F konvex poliéder - véges az extrémális pontjainak a száma

22  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt Konvex halmazra példa x1x belső pont határpont extrémális pont konvex poliéder p1p1 p2p2 p 1 +(1- ) p 2

23  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt Csúcspont x1x nem csúcs px=1.5 px=2 csúcsok

24  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt Egyéb alakzatok végtelen sok extrémális pont nem konvex nem poliéder p1p1 p2p2

25  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt Aktív korlát definíció D x1x1 x3x3 x2x2 P={(x 1,x 2,x 3 }| x 1 +x 2 + x 3 =1 x 1, x 2,x 3  0 Aktív korlátnak nevezzük azokat, melyre az a i x*=b i feltétel teljesül. D pontban az aktív korlátok: x 1 + x 2, + x 3 =1 és x 2, =0 E

26  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt Kapcsolat a bázismegoldás és az extrémális pontok között Tétel: A normálrendszer minden bázismegoldása a lehetséges megoldásoknak extrémális pontjai és megfordítva a megengedett megoldások halmazának minden extrémális pontja bázismegoldás. bázismegoldás  extrémális pont

27  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt Csúcspont  extrémális pont legyen: akkor: tehát

28  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt Extrémális pont  bázismegoldás 2Tf.: hogy az extrémális (y (0) ) pont nem bázismegoldás. Ez azt jelenti, hogy több mint m oszlop nem 0. m+1 oszlopot tartalmazó együtthatómátrix lineárisan összefüggő nem extrémális

29  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt Bázismegoldás  csúcspont legyen : x* bázismegoldás, és továbbá: maximalizálási probléma feltétele x* esetén m aktív megszorítás él, ezért a bázismegoldásnak csak egy lehetséges értéke van.

30  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt Célfüggvény optimális helye Lineáris célfüggvény a maximumát (minimumát) az extrémális pontba veszi fel. Adott: konvex poliéder csúcspontja célfüggvény r a legnagyobb költségű csúcs tetszőleges megoldás Bizonyítás:

31  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt Megengedett irány d megengedett irány-ba mutató vektor, ha szomszédos állapot: egy nembázis elemet a bázisba teszünk szomszédos állapotok irányvektora: be akarjuk hozni a bázisba a többi nembázis elem 0 marad kérdés hogy hogy változik

32  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt Irányvektor szemléltetése x1x d A B

33  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt Áttérés másik bázisra I. Tudjuk, hogy

34  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt Áttérés másik bázisra II. rövidítések: legyen: megszorítás: következmény: új bázis:

35  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt Bázisváltás hatása a költségre Nem bázisváltozó redukált költsége Bázis redukált költsége Összköltség változása: -vel nő

36  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt Megjegyzések Maximalizálási problémánál, ha akkor elértük az optimumot Konvex kónuszunk van, a megengedett állapotok tere nem zárt.

37  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt Lineáris programozása visszatekintés matematikai formalizáció (bázismegoldás) geometriai értelmezés (csúcspont, extrémális pont) csúcspont  extrémális pont  bázismegoldás  csúcspont optimális megoldás a csúcspontban van szomszédos megoldások  irányvektor bázismegoldás váltásának a hatása a költségre

38  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt Összefoglalás Szomszédos állapotok, az élek által összekötött csúcspontok. Legjobb megoldást a csúcspontokban kell keresni. A redukált költség megadja, hogy melyik csúcson van jobb megoldás Redukált költség negatív, elértük a maximumot.

39  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt Szimplex algoritmus Lehetséges A B bázismegoldás választás A nembázis elemek redukált költségének a kiszámítása összes akkor optimális megoldáshoz jutottunk, különben választunk egy j-t melyre kiszámítása. Ha minden eleme negatív, akkor konvex kónuszunk van. Nem jó a modell. kiszámítása Áttérés az új bázisra visszalépés a 2 -es pontra

40  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt Szimplex példa 1. Inicializálás:

41  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt Szimplex példa 2. x 5 változó kerül be a bázisba x 4 kerül ki a bázisból

42  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt Degenerált megoldás Több bázisváltozó is kielégíti a feltételt. Az új bázisban egy vagy több 0 értékű bázisvátozó is van. Az eddigi megfontolásokat ez nem érinti,  =0 értékkel lehet áttérni a másik bázisra. A költség értéke nem változik. Végtelen ciklus alakulhat ki a báziscserénél, ezt valahogy el kell kerülni. (Programozási feladat, a már bejárt bázisokat fel kell jegyezni)

43  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt Példa degenerált megoldásra D C

44  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt Szimplex módszer hatékonysága Létezik olyan báziscsere sorrend, hogy 2 n -1 báziscserére van szükség. Minden pivot szabályhoz megadható egy olyan költségfüggvény, hogy minden csúcsot be kell járni.

45  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt Konvex poliéder átmérője Két legtávolabbi pont közt lévő lépések számát  jelöljük. Két dimenziós és m oldalú poliéder átmérője: Kalai és Kleitman becslése:

46  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt Kapcsolat a változók száma és a megkötések között Normál alak x 3,x 4,x 5 slack változó

47  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt Egyszerű folyamprobléma gráf csomópontok élek folyammegmaradás kapacitáskorlát a rendszerbe befolyó folyam egyenlő a rendszerből kifolyó folyam nagyságával célfüggvény

48  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt Egyszerű folyamra példa I. c 24 = b 1 =2 b 5 =2 c 12 =1 c 34 =1 c 13 =5 c 35 =1 c 45 =1

49  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt Egyszerű folyamra példa II. sorok lineárisan nem függetlenek

50  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt Egyszerű folyamra példa III a. ábra b. ábra c ábra Megjegyzések: báziscsere  új él a fába degenerált megoldás Folyamproblémákra léteznek más hatékonyabb algoritmusok: network simplex, egyéb

51  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt Többtermékes folyamprobléma I. Jelöljük -lel azt a folyam nagyságát az (i,j) élen, amely a k csomópontból ered, és az l csomópontba végződik. A az élek halmaza. Belépő, kilépő folyam (igény)

52  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt Többtermékes folyamprobléma II. Korlátok: kapacitáskorlát

53  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt Nincs kapacitáskorlát, akkor az igényeket egyenként el lehet vezetni. Megoldás minimálút kereső algoritmussal, pl. Dijkstra algoritmus felhasználásával. Nevezzük az 1 és 3 megkötéseket egyszerűnek, a 2-est bonyolultnak. Többtermékes folyamprobléma (megjegyzés)

54  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt Lagrange relaxáció Feladat: bonyolult megszorítás egyszerű megszorítás Lagrange relaxáció

55  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt Lagrange relaxációhoz megjegyzés a büntetőfüggvény Ha a bonyolult korlátot megsértjük, akkor csökken z LR értéke Ha a korlát teljesül nő z LR értéke =0 esetén az eredeti költségfüggvényt kapjuk vissza.

56  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt Lagrange példa Z LR ( ) megsérül a feltétel teljesül a feltétel 0 max Z

57  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt Lagrange megoldása változóra nézve ez egy iteratív módszer

58  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt Dualitás - motiváció

59  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt Dualitás I.

60  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt Duális probléma g(p) p megsérül a feltétel teljesül a feltétel 0 max g

61  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt Duális II

62  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt Duális III. A g(p) minimalizálásánál minket a  megoldás nem érdekel! Duális probléma például: max folyam - minimális vágat

63  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt Gyenge dualitás tétele Ha x * egy primál lehetséges megoldás, és u * egy lehetséges duális megoldás, akkor Bizonyítás Erős dualitás tétele:

64  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt Késleltetett oszlop generálás A m x n-es mátrix n nagyon nagy! Egy lehetséges bázismegoldáshoz csak m oszlopra van szükség. Gyakorlati problémánál sok oszlop sohasem kerül a bázisba.

65  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt Színezési probléma Adott G=(V,E) H független halmaz: i,j  H, i,j  V-nek, de (i,j)  A-nak H maximálisan független halmaz, ha egy ilyen halmaznak sem részhalmaza.

66  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt Színezési probléma formalizáció X ik értéke legyen 1, ha az i  V csomópont k színű, egyébként 0 Sok megszorítás.

67  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt Színezési probléma maximális független halmazzal s  S, x s =1ha s-et kiválasztottuk, egyébként 0 Az összes maximális független halmazt nem lehet előállítani.

68  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt IS megoldása Induljunk ki az S  S részhalmazából, ahol a feltételek teljesíthetők. Oldjuk meg az IS problémát lineáris valós értékűre. Keressünk egy s’  S halmazt, amivel jobb eredményt érhetünk el, és vegyük be S -be.

69  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt IS megoldás MWIS Legyen  i a lineáris megoldásból adódó korlát. Ez legyen a csomópontok súlya. Oldjuk meg a valósértékű megoldás duális problémáját. Ha a megoldás 1-nél nagyobb, akkor az így kapott maximálisan független halmaz javít az eredeti probléma megoldásán. Ha 1-nél kisebb, akkor megtaláltuk a legjobb megoldást.

70  BME Híradástechnikai Tsz komhal20.ppt MWIS formalizációja MWIS-t ebben a formában továbbra is nehéz megoldani. Jó SA, B&B és egyéb hatékony heurisztikus megoldások léteznek.