PPKE ITK 2009/10 tanév 8. félév (tavaszi) Távközlő rendszerek forgalmi elemzése Tájékoztatás 13-2.

Az előadások a következő témára: "PPKE ITK 2009/10 tanév 8. félév (tavaszi) Távközlő rendszerek forgalmi elemzése Tájékoztatás 13-2."— Előadás másolata:

1 PPKE ITK 2009/10 tanév 8. félév (tavaszi) Távközlő rendszerek forgalmi elemzése Tájékoztatás http://digitus.itk.ppke.hu/~gosztony/ 13-2.

2 Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-2 – 2010. 05. 03. 2 1.Markovian queuing systems 2.Applied Queuing theory 3.Network of Queues Várakozásos rendszerek TPV rendszerekben, számítógépes hálózatokban, Internetben, IP rendeszerekben … ez a szokásos üzemmód.

3 Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-2 – 2010. 05. 03. 3 Applied Queuing Theory Rendszerek egyetlen kiszolgáló szervvel. Már volt ! 1.Osztályozás 2.Általános eredmények 3.Pollaczek-Hincsin képlet – M/G/1 4.Állandó tartásidő 5.GI/G/1 6.Prioritásos rendszerek 7.Round Robin és processor megosztás

4 Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-2 – 2010. 05. 03. 4 GI|G|1 – 1. Átlagos várakozási idő M/G/1 esetében (emlékeztetésként)Pollaczek-Hincsin: M/M/1: M/M/1: M/D/1: M/D/1: A várakozási idő csökken, ha a tartásidő „szabályosabb”.

5 Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-2 – 2010. 05. 03. 5 GI|G|1 – 2. Átlagos várakozási idő GI/G/n esetében Nincs pontos képlet Átlagos várakozási idő GI/G/1 esetében Szerepet kapnak további momentumok Felső határ: ahol v = szórásnégyzet (б 2 ) v a = beérkezések közötti időre v a = beérkezések közötti időre v d = tartásidőre v d = tartásidőre Használható becslés: ahol a a beérkezések közötti átlagos idő (A=s/a, s=1 /μ, a=1/ λ ) Kingmanegyenlőtlenség Marchal közelítés

6 Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-2 – 2010. 05. 03. 6 GI|G|1 – 3. Állapotegyenletek GI/M/1 esetében GI-hez az f(t) sűrűségfüggvény tartozik. M megszűnési intenzitása μ. A rendszert tetszőleges időpontban vizsgálva nem Markov folyamat van, mert a beérkezés nem véletlen, függ az előző beérkezés időpontjától. PASTA nem érvényes. De közvetlenül a beérkezés előtt (vagy után) (equilibrium point) van, beágyazott Markov lánc (embedded Markov chain) található. Egy ilyen pontban π (i) a i állapot valószínűsége és egyenletet kielégítő pozitív valós gyök

7 Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-2 – 2010. 05. 03. 7 GI|G|1 – 4. Az igények távozása Poisson folyamat. Ha p(j) annak valószínűsége, hogy két regenerációs pont között j igény távozik, akkor felírható és π (i) nem annak valószínűsé- ge, hogy a rendszer egy tetszőleges időpontban a i állapotban van (time average), hanem, hogy köz- vetlenül egy igény érkezése előtt van az i állapotban (call average). ! a normálási feltétel GI/M/1

8 Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-2 – 2010. 05. 03. 8 GI|G|1 – 5. Jellemző mennyiségek: Várakozók átlagos száma közvetlenül egy igény érkezése előtt: A rendszerben lévők száma közvetlenül egy igény érkezése előtt: Egy igényt éppen kiszolgál a rendszer várhatóértékek GI/M/1

9 Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-2 – 2010. 05. 03. 9 GI|G|1 – 6. Jellemző mennyiségek (folytatás ): Átlagos várakozási idő az összes igény számára: Átlagos sorhosszúság a teljes időtengelyre vetítve (Little tétel !): Átlagos várakozási idő a tényleg várakozókra: GI/M/1

10 Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-2 – 2010. 05. 03. 10 GI|G|1 – 7. Várakozási idő eloszlása - FCFS Exponenciális eloszlású várakozási idő paraméterrel. A rendszerbe beérkező igény azt találja, hogy az ott tartózkodó igények száma geometriai eloszlású. Ha egyáltalán várakoznia kell, akkor geometriai eloszlású exponenciális időtartamokat kell kivárnia. Ebből adódik az alábbi. GI/M/1

11 Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-2 – 2010. 05. 03. 11 GI|G|1 – 8. ε M = 2 ε D = 1

12 Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-2 – 2010. 05. 03. 12 Forgalom folyamok együttese – 1. Feltételek: N Poisson forgalom folyam i bemeneti intenzitás, s i átlagos tartásidő, m 2i második momentum, A i = i s i felajánlott forgalom. A teljes bementi folyamatra: Intenzitás: Átlagos tartásidő: Második momentum: Felajánlott forgalom: Súlyozott átlagok

13 Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-2 – 2010. 05. 03. 13 Forgalom folyamok együttese – 2. Hátralévő kiszolgálási idő egy véletlen időpillanatban: Minden tényező megvan a Polllaczek-Hincsin képlethez !

14 Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-2 – 2010. 05. 03. 14 Kleinrock megmaradási tétel – 1. Feltételezzük, hogy a kiszolgálási idő nem változik a kiszolgálási szabály miatt, és így érvényes a munkamegmaradás. (Megszakításos prioritás esetében ez nem mindig teljesül.) V a hátralévő kiszolgálási idő, L i az i típusú igények sorának hosszúsága Little tételét alkalmazva: Az átlagos várakozási idő: A forgalmi folyamokat egyesíteni lehet és alkalmazható a Pollaczek-Hincsin képlet, hogy az átlagos várakozási időt ki lehessen számítani.

15 Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-2 – 2010. 05. 03. 15 Kleinrock megmaradási tétel – 2. Kleinrock tétel: Kleinrock conservation law: The average waiting time for all classes weighted by the traffic (load) of the mentioned class, is independent of the queue discipline. A tétel csak non-preemptive queuing discipline esetén érvényes !! mindkettőkonstans We may thus give a small proportion of the traffic a very low mean waiting time, without increasing the average waiting time of the remaining time, without increasing the average waiting time of the remaining customers very much. By various strategies we may allocate waiting times to individual customers according to our preferences.

16 Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-2 – 2010. 05. 03. 16 Prioritásos M|G|1 rendszerek – 1. Non-preemptive priority N prioritási osztály van, a p osztály nagyobb prioritású mint p+1, p intenzitás, s p átlagos tartásidő. A teljes átlagos várakozási idő W p számítása: a várakozási idő alatt beérkező igények száma Több „véletlenszerű” (M) forgalomfolyam van!!

17 Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-2 – 2010. 05. 03. 17 Prioritásos M|G|1 rendszerek – 2. Levezetés: Tankönyv p. 282-283 a) + b) + c) A végeredmény függ a folyamatban lévő igény hátralévő kiszolgálási idejétől, az azonos vagy magasabb prioritású már ott lévő igényektől és az időközben beérkező magasabb prioritású igényektől.

18 Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-2 – 2010. 05. 03. 18 SJF queuing discipline (ez is non-preemptive priority) A t kiszolgálási idejű igény átlagos várakozási ideje W t : A t a t-nél kisebb vagy azzal megegyező kiszolgálási idejű igények által felajánlott forgalom. If these different priority classes have different costs per time unit when they wait, so that class j customers have the mean service time s j and pay c j per time unit when they wait, then the optimal strategy (minimum cost) is to assign priorities 1, 2,... according to increasing ratio s j /c j. Prioritásos M|G|1 rendszerek – 3. Az SJF eredményezi a lehetséges legkisebb teljes várakozási időt. (A levezetéshez végtelen számú prioritási osztályt kell feltételezni)

19 Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-2 – 2010. 05. 03. 19 Prioritásos M|G|1 rendszerek – 4. M|M|1 rendszer FCFS és SJF kiszolgálással Ha a kiszolgálási idő < 2.747 átlagos tartásidő, akkor az SJF kiszolgálás kisebb átlagos várakozási időt ad, mint az FCFS. Ez érinti a hívások 93.6 %-át. W FCFS = FCFS ellenőrzés: 13.4.2 példa időegység= s (átl. tartásidő)

20 Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-2 – 2010. 05. 03. 20 Nem megszakításos prioritású M/M/n M|M|n, non-preemptive priority (Erlang eredményének általánosítása) i intenzitás, minden osztályban s=1/ μ átlagos tartásidő. i intenzitás, minden osztályban s=1/ μ átlagos tartásidő. Erlang C képlete. Erlang C képlete. A az összes prioritási osztály által felajánlott forgalom. Az igények s/n átlagos távozás-közti idővel hagyják el a rendszert, ha minden kiszolgáló szerv foglalt. Levezetés i=1,2 esetére: Tankönyv p.2 86-287 A teljes átlagos várakozási idő W p számítása: Általános képlet:

21 Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-2 – 2010. 05. 03. 21 Preemptive resume queuing discipline -1 A p prioritási osztályú igény W p átlagos várakozási ideje:

22 Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-2 – 2010. 05. 03. 22 Preemptive resume queuing discipline -2 SJF preemptive resume esetében a teljes válaszidő: Tankönyv: 287-288 A p prioritási osztályú igény W p átlagos várakozási ideje: A legmagasabb prioritási osztályt a többi nem zavarja, így érvényes a Polaczek-Hincsin képlet

23 Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-2 – 2010. 05. 03. 23 Round Robin and Processor Sharing – 1. Ha Δs  0, akkor PS (Processor Sharing – fair queuing) Ha Δs  ∞, akkor M/G/1, FCFS Végtelen sor. M beérkezési folyamat intenzitással. G kiszolgálási folyamat s átlagértékkel Matematikailag jól kezelhető (Kleinrock 1967, 1976)

24 Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-2 – 2010. 05. 03. 24 Round Robin and Processor Sharing – 2. Értelmezés: Ha a rendszerben i igény van, akkor mindegyik a kapacitás 1/i részét veszi igénybe. A sor kiszolgálási stratégia elveszíti jelentését. Ha <1, akkor kimutatható, hogy: geometriai eloszlás A/(1-A) várható értékkel. A t idejű igények (jobok) átlagos tartozkodási ideje (átlagos válaszideje): Ha A  0, akkor R t  t Mivel nincs hagyományos értelemben vett sor: Egy véletlenszerű job-ra: Ugyanaz mint M|M|1-re (E 2,1 (A)=A !)

25 Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-2 – 2010. 05. 03. 25 Processor Sharing – 3. W Pollaczek-Hincsin: GI|G|1 Round- Robin ill. M|M|1

26 Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-2 – 2010. 05. 03. 26 Round Robin and Processor Sharing – 2a.