Felosztási tétel Legyen R ekvivalenciareláció: reflexív, azaz tetsz. a-ra aRa, szimmetrikus, azaz tetsz. a, b-re ha aRb, akkor bRa, tranzitív, azaz tetsz.

Az előadások a következő témára: "Felosztási tétel Legyen R ekvivalenciareláció: reflexív, azaz tetsz. a-ra aRa, szimmetrikus, azaz tetsz. a, b-re ha aRb, akkor bRa, tranzitív, azaz tetsz."— Előadás másolata:

1 Felosztási tétel Legyen R ekvivalenciareláció: reflexív, azaz tetsz. a-ra aRa, szimmetrikus, azaz tetsz. a, b-re ha aRb, akkor bRa, tranzitív, azaz tetsz. a, b, c-re, ha aRb és bRc, akkor aRc. R értelmezési tartománya: {x: van olyan y, hogy xRy} Tétel: R felosztja az értelmezési tartományát páronként diszjunkt és kimerítő módon, azaz generál olyan részhalmazokat (ekvivalenciaosztályokat), hogy az értelmezési tartomány minden eleme egy és csak egy osztályba tartozik bele. R a ={x: aRx} Ha aRb, akkor R a =R b. Ha  (aRb), akkor R a -nak és R b -nek nincs közös eleme. Minden elem beletartozik a saját osztályába. Egy osztályon belül bármely két elem R-ben áll egymással, különböző osztályba tartozó elemek között nincsenek relációk.

2 Példák: R: párhuzamosság, értelmezési tartomány: egy sík egyenesei. R: = R: a triviális reláció R: komposszibilitás, értelmezési tartomány: a lehetséges individuális fogalmak. Ekvivalenciaosztályok: a leibnizi lehetséges világok. Következmények: Semmi nincs jelen egyszerre két különböző világban. A lehetséges világok maximálisak (nem bővíthetők).

3 Szükségszerű igazságok: a szereplő fogalmak véges analízisével bizonyíthatók („visszavezethetők azonosságra”). Észigazságok, szemben a tényigazságokkal. Minden lehetséges világban igazak. Individuális (teljes) fogalom: tartalma minden kérdést eldönt. Ha I ilyen, akkor tetszőleges A attribútumra I tartalmazza A-t vagy non-A-t. Characteristica (universalis): olyan nyelv, amelyben a jelölések ki is fejezik ezt a tartalmat.

4 „Ha tudnánk megfelelő karaktereket vagy jeleket találni ahhoz, hogy összes gondolatunkat ugyanolyan tisztán és szigorúan kifejezzék ahogy az aritmetika a számokat vagy az analitikus geometria a vonalakat kifejezi, akkor nyilvánvalóan minden tárgy esetében, hacsak az alá van vetve az értelmes gondolkodásnak, megtehetnénk azt, amit az aritmetikában és a geometriában teszünk. Hiszen minden, az értelmes gondolkodástól függő kutatás megvalósulhatna ezen karakterek átalakítása és bizonyos számítás által … Ezen felül mindenkit meggyőzhetnénk arról, amire rátaláltunk vagy amit kikövetkeztettünk, mivel egyszerű volna megvizsgálni a számítást, akár úgy, hogy néhány olyanféle próbát hajtunk végre, mint az aritmetikában a kilencespróba. És ha valaki kételkedne abban, amit előadtam, azt mondanám neki: „Számoljunk, uram!”, és tollat meg tintát ragadva hamar kikeveredhetnénk a csávából.” (1677)

5 „A számítás [kalkulus]* avagy művelet abban áll, hogy relációkat** állítunk elő, ezt pedig a formulák*** bizonyos előre meghatározott törvényeknek megfelelő átalakításával hajtjuk végre. Minél több törvényt vagy feltételt írunk azonban elő a jövőbeni számolónak, annál összetettebb a kalkulus és kevésbé egyszerű a karakterisztika.**** A formulák (melyek közé a legegyszerűbben magukat a karaktereket is számíthatjuk), a relációk és a műveletek nyilvánvalóan úgy viszonyulnak egymáshoz, mint a fogalmak, kijelentések és szillogizmusok.” * Calculus: a konkrét számítás is, a rendszer is, amelyen belül a számításokat végrehajtjuk. Magyarul „kalkulus” csak az utóbbi. ** Reláció: konkrét állítás, amely terminusok közötti összefüggést, viszonyt állapít meg (pl. egy egyenlet). *** Formula: olyan kifejezés, amely szintaktikailag egy terminus (szubjektum vagy predikátum) szerepét játszhatja. Karakterek az egyszerű, konvencionális terminusok, a (többi) formula összetett. **** Karakterisztika tkp. a nyelv, ami a karaktereken alapul.

6 Az egyetemes karakterisztika célja (négy, egyre gyengébb megfogalmazásban): Legyen 1.minden kijelentés igazsága 2.minden kijelentés észigazság-volta automatikusan, számítással 3.minden következtetés helyessége eldönthető. 4.minden következtetési lépés helyessége 1. Leibniz szerint sem lehetséges, csak Isten lehet rá képes. 2. Leibniz utópiája: egyetemes enciklopédia, amelynek a karakterisztika csak a szerkezetét adja. Minden terminus olyan részletességgel van definiálva benne, ami biztosítja az eldönthetőséget. 3. szintén megvalósíthatatlan, de ezt csak 1936 óta tudjuk (Church-Turing-tétel). (Legalábbis, ha következtetésen a klasszikus elsőrendű logikában megfogalmazott következtetést értünk, számítási módszeren pedig rekurzív függvénnyel, ill. Turing-géppel reprezentálható eljárást. Az elsőrendű logikának vannak olyan töredékei, amelyekhez van eldöntési eljárás, pl. kijelentéslogika, az egyváltozós predikátumok logikája.) 4. alapvető követelmény minden formalizált nyelven kifejezett következményfogalommal szemben, Frege óta.

7 Nyelv és kalkulus, elvben: 1.Elemi terminusok (karakterek) rendszere. 2.Összetett terminusok (formulák) képzési szabályai. 3.Kijelentések (relációk) felállításának szabályai, általában: egy kétargumentumú predikátumot alkalmazunk két terminusra. 4.Kijelentések átalakításának, levezetésének szabályai (műveletek). 5.Igazságfeltételek: az inesse elven alapulnak. Zárójelben mindenütt Leibniz kifejezései. Négy kísérlet a gyakorlati megvalósításra: 1.Az első kettőben a terminusok a természetes számokon alapulnak, a második kettőben absztrakt algebrai entitások, betűkkel jelölve. 2.A képzési szabály eleinte csak a szorzás, később összeadás is, és mindig probléma, hogy mit csináljunk a terminusnegációval. 3.Mindig egyes csak egy kétargumentumú predikátum van, ez az első háromban azonosság, a negyedikben ez is absztrakttá válik. (Tehát egy kijelentés két terminus azonosságát, illetve „kongruenciáját” állítja.) 4.A levezetés mindig az algebrai egyenlet-átalakítás, ill. annak absztraktabb megfelelője. 5.Inesse = oszthatóság.