Függvények aszimptotikus viselkedése: A Θ jelölés

Az előadások a következő témára: "Függvények aszimptotikus viselkedése: A Θ jelölés"— Előadás másolata:

1 Függvények aszimptotikus viselkedése: A Θ jelölés
Hatékonyságfüggvények értékkészlete/értelmezési tartománya: egész számok Függvényhalmazt határoz meg: „=„ itt halmazhoz tartozás Adott f(n) függvényhez akkor mondjuk, hogy Θ(g(n)) = f(n), ha Léteznek n0, c1, c2 állandók, hogy n>n0 esetén 0<=c1*g(n)<=f(n)<=c2*g(n) (aszimptotikusan korlátok közé szorítható)

2 Az alacsonyabb rendű tagok elhagyhatók
A legmagasabb rendű tag együtthatója elhagyható Bizonyítás gondolatmenete: az ilyen módon leegyszerűsített függvényhez meghatározható a n0 küszöbérték, és a c1, c2 aszimptotikus alsó és felső korlátok úgy, hogy 0<= c1*g(n)<=f(n)<=c2*g(n) teljesüljön

3 Pl: n2/2-3n = Θ(n2) Azaz: 0<=c1*n2<=n2/2-3n<=c2*n2 | /n2 0<=c1<=1/2-3/n<=c2 Válasszuk n-t szabadon meg… 0<=1/2-3/n n>n0=7 c2>=1/2-3/7=1/14 c1<=1/14

4 O jelölés Aszimptotikus felső korlát
Adott f(n) függvényhez akkor mondjuk, hogy O(g(n)) = f(n), ha Léteznek n0, c állandók, hogy n>n0 esetén 0<=f(n)<=c*g(n) (aszimptotikusan felső korlát alá szorítható) Legrosszabb érték becslésére használják

5 Ω jelölés Aszimptotikus alsó korlát
Adott f(n) függvényhez akkor mondjuk, hogy Ω(g(n)) = f(n), ha Léteznek n0, c állandók, hogy n>n0 esetén 0<=c*g(n) <=f(n)

6 Tétel f(n) és g(n)-re: f(n) = Θ(g(n)) akkor és csak akkor, ha
f(n) = O(g(n)) és f(n) = Ω(g(n)) Bizonyítás: házifeladat

7 o jelölés (kis ordó) Aszimptotikus éles!! felső korlát
Adott f(n) függvényhez akkor mondjuk, hogy o(g(n)) = f(n), ha Bármely c állandóra Létezik n0 állandó, hogy n>n0 esetén 0<=f(n)<=c*g(n) Másik definíció: az f(n) a g(n)-hez képest jelentéktelenné válik, vagyis lim(n∞)f(n)/g(n) = 0

8 ω jelölés Aszimptotikus éles!! alsó korlát
Adott f(n) függvényhez akkor mondjuk, hogy ω(g(n)) = f(n), ha Bármely c állandóra Létezik n0 állandó, hogy n>n0 esetén 0<=c*g(n) <=f(n) Másik definíció: f(n) a g(n)-hez képest tetszőlegesen nagy lehet, vagyis lim(n∞)f(n)/g(n) = ∞

9 Tulajdonságok (bizonyítás nélkül)
Tranzitivitás, vagyis (O-ra, o-ra, Ω-ra, és ω-ra is!!): f(n) = Θ(g(n)) és g(n) = Θ(h(n)) akkor f(n) = Θ(h(n)) Reflexivitás: (O-ra és Ω-ra is!) f(n) = Θ(f(n)) Szimmetria: f(n) = Θ(g(n)) akkor és csak akkor, ha g(n) = Θ(f(n)) Felcserélt szimmetria: f(n) = O(g(n)) akkor és csak akkor, ha g(n) = Ω(f(n)) f(n) = o(g(n)) akkor és csak akkor, ha g(n) = ω(f(n))

10 Vigyázat! Párhuzam! f(n) = O(g(n)) ≈ a<=b f(n) = Ω(g(n)) ≈ a>=b f(n) = Θ(g(n)) ≈ a=b f(n) = o(g(n)) ≈ a<b f(n) = ω(g(n)) ≈ a>b Bár hasonlít a valós számok fölött értelmezett függvényekre, a Trichotómia NEM IGAZ!! Vagyis előfordulhat, hogy két függvényre. f(n)-re és g(n)-re sem f(n) = Θ(g(n)) sem f(n) = o(g(n)) sem f(n) = ω(g(n)) nem teljesül….