Informatikai Tudományok Doktori Iskola

Az előadások a következő témára: "Informatikai Tudományok Doktori Iskola"— Előadás másolata:

1 Informatikai Tudományok Doktori Iskola
Regresszióanalízis Informatikai Tudományok Doktori Iskola

2 A regressziószámítás alapproblémája
Regressziószámításkor egy változót egy (vagy több) másik változóval becslünk. Y függőváltozó X1, X2, ... Xp független változók Y f(X1, X2, ... Xp ) becslés fF E(Y- f*(X1, X2, ... Xp ))2 = min E(Y- f(X1, X2, ... Xp ))2 fF

3 Példák 1. A Duna vízállásának előrejelzése Budapesten
2. A paradicsom beérési idejének becslése 3. Műholdkép alapján a búza terméshozamának becslése 4. Műholdkép alapján a Mars vastartalmának becslése 5. Predikciók, trendek idősoroknál 6. Lineáris közgazdasági modellek

4 A regressziószámítás alapproblémája
Ha ismerjük az Y és az X1, X2, ... Xp együttes eloszlását, akkor a probléma elméletileg megoldott: f (X1, X2, ... Xp ) = E ( Y | X1, X2, ... Xp ). Gyakorlatban azonban „csak” egy adatmátrix adott:

5 Feltételes várható érték, folytonos eset I.

6 Feltételes várható érték, folytonos eset II.

7 Feltételes várható érték, folytonos eset III.

8 A regresszió tulajdonságai
Az összes függvény közül a regressziós görbével lehet legpontosabban közelíteni!

9 Normális komponensek esetén a regressziós összefüggés lineáris!
Regresszió normális eloszlás esetén Normális komponensek esetén a regressziós összefüggés lineáris!

10 Elméleti lineáris regresszió

11 Elméleti lineáris regresszió
Láttuk, hogyha X,Y együttes eloszlása normális, akkor a regresszió lineáris lesz!

12  A regressziószámítás alapproblémája
F = {f(x1,x2,…,xp, a,b,c,… | a, b, c, … valós paraméterek} A függvényhalmazból azt az elemet fogjuk kiválasztani, amelynél:  n  min h(a,b,c,...) = (Yi- f(X1i, X2i, ..., Xpi, a,b,c,... ))2 a,b,c,... i=1 Ez a legkisebb négyzetek módszere!

13 A regresszióanalízis fajtái
Lineáris regresszió f(X) = B0 + B1 X Többváltozós lineáris regresszió f(X1 , X2 ,...,Xp ) = B0 + B1 X1 + B2 X Bp Xp Polinomiális regresszió f(X1 , X2 ,...,Xp ) = B0 + B1 X + B2 X BpXp X1=X, X2=X2, , Xp=Xp Kétparaméteres (lineárisra visszavezethető) regresszió pl. Y=f(X) = Bo·e B1 X  lnY = B1 X + ln Bo

14 A regresszióanalízis fajtái
Nemlineáris regressziók két változó között I. f(X ) = B1 + B2 exp(B3 X ) aszimptotikus I. f(X ) = B1 - B2 · (B3 )X aszimptotikus II. sűrűség f(X ) = (B1 + B2 X )-1/B3 f(X ) = B1 · (1- B3 · exp(B2 X 2)) Gauss f(X ) = B1 · exp( - B2 exp( - B3 X 2))) Gompertz f(X ) = B1 · exp( - B2 /(X + B3 )) Johnson-Schumacher

15 A regresszióanalízis fajtái
Nemlineáris regressziók két változó között II. log-módosított f(X) = (B1 + B3 X)B2 log-logisztikus f(X) = B1 - ln(1 + B2 exp( - B3 X ) f(X) = B1 + B2 exp( - B3 X ) Metcherlich f(X) = B1 · X / (X + B2 ) Michaelis Menten f(X) = (B1 B2 +B3 XB4)/(B2 + XB4 ) Morgan-Merczer-Florin f(X) = B1 /(1+B2 exp( - B3 X +B4X2 + B5X3 )) Peal-Reed

16 A regresszióanalízis fajtái
Nemlineáris regressziók két változó között III. f(X) = (B1 + B2 X +B3X2 + B4X3)/ B5X3 köbök aránya f(X) = (B1 + B2 X +B3X2 )/ B4X2 négyzetek aránya Richards f(X) = B1/((1+B3 · exp(B2 X))(1/B4) Verhulst f(X) = B1/((1+B3 · exp(B2 X)) Von Bertalanffy f(X) = (B1 (1-B4) · B2 exp( - B3 X))1/(1-B4) f(X) = B1 - B2 exp( -B3 X B4) Weibull f(X) = 1/(B1 + B2 X +B3X2 ) Yield sűrűség

17 Szakaszonkénti lineáris regresszió
A regresszióanalízis fajtái Szakaszonkénti lineáris regresszió

18 Poligoniális regresszió
A regresszióanalízis fajtái Poligoniális regresszió

19 Többváltozós lineáris regresszió kategória-változóval
A regresszióanalízis fajtái Többváltozós lineáris regresszió kategória-változóval

20 Logisztikus regresszió
A regresszióanalízis fajtái Logisztikus regresszió { Y= 1, ha az A esemény bekövetkezik 0, ha az A esemény nem következik be Y dichotóm A választó fog szavazni A páciensnek szívinfarktusa lesz Az üzletet meg fogják kötni A esemény X1 , X2 ,...,Xp ordinális szintű független változók eddig hányszor ment el, kor, iskola, jövedelem napi cigi, napi pohár, kor, stressz ár, mennyiség, piaci forgalom, raktárkészlet

21 Logisztikus regresszió
A regresszióanalízis fajtái Logisztikus regresszió P(Y=1) = P(A)  ————— 1 1 - e-Z Z = B0 + B1 X1 + B2 X Bp Xp 1 - P(A) ODDS = ————— P(A)  e Z  log (ODDS) =

22 Logisztikus regresszió
A regresszióanalízis fajtái Logisztikus regresszió A legnagyobb valószínűség elve L(1,2,...,n) = P(Y1= 1, Y2= 2, ... , Yn= n) = = P(Y1= 1) P(Y2= 2)  P(Yn= n)  ———— 1 1 - e-Z1 1 - e-Z2 1 - e-Zn   ln L(1,2,...,n) =  ln ( ) —————————————— 1 - exp (B0 + B1 X1 + B2 X Bp Xp)

23 Lineáris regresszió A lineáris kapcsolat kitüntetett:
(1) a legegyszerűbb és leggyakoribb, könnyű a két paramétert értelmezni (2) két dimenziós normális eloszlás esetén a kapcsolat nem is lehet más (vagy lineáris vagy egyáltalán nincs)

24 Lineáris regresszió Az empirikus lineáris regresszió együtthatóit a legkisebb négyzetek módszerével kaphatjuk meg: Az empirikus lineáris regresszió együtthatói az elméleti regressziós egyenes együtthatóitól annyiban különböznek, hogy a képletekben az elméleti momentumok helyett a mintából számolt megfelelő empirikus momentumok állnak:

25 Lineáris regresszió A teljes négyzetösszeg A maradékösszeg
A regressziós összeg

26 A lineáris regresszió (xi, yi ) (xi, ) ( x, ) y = b + a xi x
Q = Qres + Qreg (xi, yi ) y res (xi, ) reg ( x, ) = b + a xi x

27 mindössze 1, mert az átlag konstans
A lineáris regresszió A teljes négyzetösszeg felbontása: Q = Qres + Qreg fres szabadsági foka mindössze 1, mert az átlag konstans freg szabadsági foka n-2, mert n tagú az összeg, de ezek között két összefüggés van. Ha nincs lineáris regresszió, a varianciák hányadosa (1, n-2) szabadsági fokú F eloszlást követ.

28 A lineáris regresszió y = b + a xi (x1, y1) (x2, y2) (x3, y3)
A legkisebb négyzetek módszere alapelve: y = b + a xi (x1, y1) (x2, y2) (x3, y3) (x4, y4) (x5, y5) e1 e2 e3 e4 e5 (x5, y5) e2 e1 e3 e4 e5 (x3, y3) (x1, y1) (x4, y4) (x2, y2) x

29 A lineáris regresszió Megjegyzések: 1. 2.

30 A lineáris regresszió Tervezett (determinisztikus) megfigyelés
Főleg műszaki alkalmazasokban gyakori, hogy a méréseket Y -ra előírt x beálltásoknál végzik el, és így keresik az ismeretlen Y~f(x) függvénykapcsolatot. A modell ilyenkor az, hogy Y = f(x) +, ahol  a mérési hibát jelentő valószínűségi változó, melyre E  = 0 és 2 véges.

31 Gauss-Markov-tétel

32 Lineárisra visszavezethető kétparaméteres regresszió
Amennyiben találhatók olyan alkalmas függvények, amivel a probléma linearizálható: A trükkel nem az eredeti minimalizálási feladat megoldását kapjuk meg, csak attól nem túl messze eső közelítéseket!

33 Lineárisra visszavezethető kétparaméteres regresszió
exponenciális függvénykapcsolat: „growth” függvény: „compoud” függvény:

34 Lineárisra visszavezethető kétparaméteres regresszió
hatványfüggvény: Arrhenius:

35 Lineárisra visszavezethető kétparaméteres regresszió
reciprok: racionális:

36 Lineárisra visszavezethető kétparaméteres regresszió
homogén kvadratikus: logaritmikus: hiperbolikus:

37 Linearizálás, pl.

38 Polinomiális regresszió
A polinomiális regressziós feladatot többváltozós lineáris regresszióval oldhatjuk meg, a prediktor változók ilyenkor az X változó hatványai: Xi=X i !

39 Polinomiális regresszió

40 Polinomiális regresszió

41 A regresszió közelítése Nadaraja módszerével
Az X és Y változók között a „tökéletes” függvénykapcsolatot az r(x)=E(YX=x) regressziós görbe adja meg. Nadaraja nemparaméteres módszere a sűrűségfüggvény Parzen-Rosenblatt becslését használja. A sűrűségfüggvény becslését felhasználva a regressziós görbét „közvetlenül” becsli.

42 Pl. k(x)=(x) és hn=n-1/3 jó választás,
A regresszió közelítése Nadaraja módszerével Tétel: Legyen az (X1, Y1), (X2, Y2), …, (Xn, Yn) minta együttes sűrűségfüggvénye f(x,y). Legyen továbbá k(x) olyan páros sűrűség- függvény, amelyre igazak a következők: (i) k(x) korlátos függvény (ii) xk(x)0 ha x (iii) k(x) második momentuma véges Legyen a hn>0 számsorozat olyan, hogy (iv) hn nullsorozat (v) nhn Akkor az Pl. k(x)=(x) és hn=n-1/3 jó választás, az r(x) regressiós görbe konzisztens becslése.

43 A regresszió közelítése Nadaraja módszerével
Mivel minden esetben bár nagy, de mégiscsak véges mintával végezzük a becslést, a hn sorozat megadása helyett a kifejezésben a h paraméterrel minimalizálunk.

44 Egy példa az alkalmazásra
Egy meteorológiai mérőballon segítségével különböző magas- ságokban megmérték a levegő napi ózon szintjét. Az összesen n=330 napon mértek:

45 Egy példa az alkalmazásra
A két változó szóródásábrája:

46 Egy példa az alkalmazásra
Gaussi magfüggvényt használva:

47 Egy példa az alkalmazásra
A regresszió Nadaraja becslése:

48 A többváltozós lineáris regresszió
A független változók azon lineáris kombinációját keressük, amelynél a függőváltozót legkisebb négyzetes hibával tudjuk közelíteni:

49 A többváltozós lineáris regresszió
Az együtthatók meghatározása a legkisebb négyzetek módszerével:

50 A többváltozós lineáris regresszió

51 A többváltozós lineáris regresszió
Szórásanalízis (ANOVA) a modell érvényességének eldöntésére A nullhipotézis az, hogy a független változók mindegyike 0, vagyis egyik prediktor változó sem magyarázza a célváltozót! F-próbával dönthetünk a nullhipotézisről.

52 A többváltozós lineáris regresszió
Béta-együtthatók A béta-együtthatók egyfajta szempontból minősítik a változók fontosságát a lineáris összefüggésben. Ha egy változónak nagy az együtthatója abszolút értékben, akkor fontos, ha kicsi, kevésbé fontos . az i-edik regressziós együttható, az i-edik változó standard szórása, a célváltozó standard szórása.

53 A többváltozós lineáris regresszió
R2 (coefficient of determination) meghatározottsági együttható Ha csak egy magyarázó változó van, akkor R2 éppen a korrelációs együttható négyzete! Megmutatja, hogy a lineáris regresszióval a célváltozó varianciájának mekkora hányadát lehet magyarázni

54 A többváltozós lineáris regresszió
Az R2 érték megmutatja a lineáris kapcsolat mértékét

55 A többváltozós lineáris regresszió
Korrigált (adjusztált) meghatározottsági mutató A korrekció azért szükséges, mert újabb változók bevonásával R2 automatikusan nő, és túl optimista képet mutat a modell illeszkedéséről. Az adjusztált változatban „büntetjük” a túl sok változó bevonását a modellbe. p=1 esetben nem korrigálunk. p a független változók száma

56 A többváltozós lineáris regresszió
Modell-építési technikák Egy tipikus többváltozós lineáris regressziós problémánál adott az Y célváltozó és nagy számú X1, X2,…, Xp magyarázó változó. Az elemzés kezdetekor azt sem tudjuk, melyek azok a változók, amik bekerülnek, és melyek azok, amik nem kerülnek majd be a modellbe. Ha minden lehetséges kombinációt ki akarnánk próbálni, akkor összesen Már 4 változó esetén 15 modellt kellene illesztenünk! modellillesztést kellene elvégeznünk!

57 A többváltozós lineáris regresszió
Modell-építési technikák Nyilván szűkítenünk kell kell az illesztendő modellek számát! Alkalmazhatjuk az ENTER eljárást, amelyben azokat a magyarázó változókat vesszük be a változólistából a modellbe, amely változókat szeretnénk, hogy benne legyenek. Ezeket a modelleket utólag értékelni kell a meghatározottsági együttható nagysága, és a regressziós együtthatók szignifikancia szintje alapján. A módosításokkal újra el kell végezni az illesztést.

58 A többváltozós lineáris regresszió
Modell-építési technikák Automatikus modellépítési technikák: STEPWISE FOREWARD BACKWARD REMOVE A felhasználónak csak az indulási magyarázó változó listát kell specifikálnia, az SPSS program ebből választva állít elő „jó” modelleket, amik közül választhatunk „végső” megoldást.

59 A többváltozós lineáris regresszió
A parciális F-próba Tegyük fel, hogy bevontuk a p-edik magyarázó változót a modellbe. Ha az új változó magyarázó ereje elhanyagolható, akkor az alábbi statisztika 1, n-p-1 szabadságfokú Fisher-eloszlást követ: az új p változós modell meghatározottsági együtthatója, a régi p-1 változós modell meghatározottsági együtthatója,

60 A többváltozós lineáris regresszió
A parciális F-próba A p-edik változót akkor vonjuk be a modellbe, ha ahol olyan kritikus érték, hogy:

61 A többváltozós lineáris regresszió
FOREWARD modell-építés Alulról építkező modellépítési eljárás. Minden modellépítési lépésben a listából azt a változót vonjuk be, amely F-tesztjéhez a legkisebb  szint tartozik. A bevonási folyamat addig tart, amíg ez a legkisebb  szint egy beállított PIN korlát alatt marad. Előnye, hogy viszonylag kevés magyarázó változó lesz a modellben, így könnyebb a modellt értelmezni.

62 A többváltozós lineáris regresszió
BACKWARD modell-építés Felülről lebontó eljárás. Kezdetben az összes változót berakjuk a modellbe. Minden lépésben azt a változót hagyjuk el a modellből, amelynél parciális F-próbánál a legnagyobb  érték tartozik. Akkor állunk meg, ha az előre beállított POUT küszöbérték alá megy ez az . A BACKWARD modellépítéssel viszonylag sok magyarázó változó marad benn a modellben.

63 A többváltozós lineáris regresszió
STEPWISE modell-építés A FOREWARD eljárást úgy módosítjuk, hogy minden lépésben ellenőrizzük a modellbe korábban már bevont változókhoz tartozó  szignifikancia-szintet, és azt elhagyjuk, ahol ez a szint nagyobb mint POUT. Nem kerülünk végtelen ciklusba, ha PIN<POUT. (Szokásos beállítás: PIN=0,05 és POUT=0,10.

64 A többváltozós lineáris regresszió
REMOVE modell-építés A REMOVE eljárás az ENTER beállításából indul ki, egyszerre hagy el változókat a modellből, összehasonlításként csak a konstans tagot tartalmazó modell eredményeit közli.

65 A többváltozós lineáris regresszió
Multikollinearitás Multikollinearitáson a magyarázó változók között fellépő lineáris kapcsolat meglétét értjük. A multkollinearitás jelenléte rontja a modell értékelhetőségét. A multikollinearitás mérőszámai: tolerancia variancia infláló faktor (VIF) kondíciós index (CI) variancia hányad

66 A többváltozós lineáris regresszió
A multikollinearitás mérőszámai 1. tolerancia azt méri, hogy az i-edik magyarázó változót az összes többi milyen szorosan határozza meg. A nullához közeli tolerancia jelenti azt, hogy közel függvényszerű kapcsolat van a magyarázó változók között. Értéke 1-Ri2, ahol Ri az i-edik változónak a többivel vett lineáris regressziójának a korrelációs együtthatója, a többszörös korrelációs együttható. A variancia infláló faktor (VIF) a tolerancia reciproka: VIF=1/(1-Ri2). Ezért, ha a magyarázó változók között szoros a kapcsolat, VIF végtelen nagy is lehet. Ha a magyarázó változók korrelálatlanok, a VIF értéke 1.

67 A többváltozós lineáris regresszió
A multikollinearitás mérőszámai 2. A kondíciós index (CI) a magyarázó változók korrelációs mátrixának sajátértékeiből számolt statisztika. A legnagyobb és legkisebb sajátértékek hányadosának négyzetgyöke. A CI>15 esetében megállapítható az erős kollinearitás. Variancia hányad is utalhat multikollinearitásra. Ha egy-egy nagy kondíciós index sorában több regressziós együtthatónak van magas variancia hányada. A regressziós együtthatók varianciáit a sajátértékek között szétosztjuk.

68 A többváltozós lineáris regresszió
A becslést befolyásoló pontok feltárása A lineáris regressziós modell értékelésének fontos lépése az egyes adatpontok fontosságának feltárása. Melyek azok az adatpontok, amelyek a végleges összefüggést legerősebben mutatják, erősítik, és melyek azok az ún. outlier pontok, melyek legkevésbé illeszkednek az adott regressziós összefüggésbe.

69 A többváltozós lineáris regresszió
A becslést befolyásoló pontok feltárása A Y célváltozó és a lineáris becslés közötti kapcsolat: A becslés hibavektora, maradékösszeg, regressziós összeg:

70 A többváltozós lineáris regresszió
A becslést befolyásoló pontok feltárása a leverage (hatalom) vagy hat mátrix A mátrix szimmetrikus, hii diagonális elemei azt mutatják, hogy az i-edik eset mekkora hatást fejt ki a regressziós becslésre. , ahol az i-edik esetvektor

71 A többváltozós lineáris regresszió
A becslést befolyásoló pontok feltárása Az i-edik eset befolyása átlagos, ha ezek a tipikus esetek! Az i-edik eset befolyása jelentős, ha Ha az i-edik eset bevonható az elemzésbe Ha kockázatos az i-edik eset bevonása az i-edik esetet ki kell hagyni, „outlier” pont

72 A többváltozós lineáris regresszió
A maradéktagok (reziduálisok) elemzése A lineáris becslés elkészítésekor nem számolunk az i-edik esettel, „töröljük”. Közönséges reziduális: Törölt reziduális: Standardizált reziduális: Belsőleg studentizált reziduális:

73 A többváltozós lineáris regresszió
A maradéktagok (reziduálisok) elemzése Heteroszkedaszticitás: A maradéktagok nulla szint körüli szóródásának lehetséges típusai a.) a szóródás megfelel a lineáris modellnek, b.) nem a lineáris modellhez tartoznak a maradéktagok, c.) a szóródások nem azonosak, d.) a hibatagok nem függetlenek egymástól.

74 Példa kétváltozós lineáris regresszióra
Keressünk lineáris összefüggést az employee data állományban a kezdőfizetés és a jelenlegi fizetés között!

75 Példa kétváltozós lineáris regresszióra

76 Példa kétváltozós lineáris regresszióra

77 Példa kétváltozós lineáris regresszióra
a maradéktagok Heteroszkedaszticitás jelensége megfigyelhető: nagyobb X-hez nagyobb szórás tartozik!

78 Példa kétparaméteres nemlineáris regresszióra
Keressünk nemlineáris kapcsolatot Cars állományban a lóerő és a fogyasztás között!

79 Példa kétparaméteres nemlineáris regresszióra

80 Példa kétparaméteres nemlineáris regresszióra

81 Példa kétparaméteres nemlineáris regresszióra

82 Példa kétparaméteres nemlineáris regresszióra

83 Példa többváltozós lineáris regresszióra
Végezzünk lineáris elemzést az employee data állományon! A jelenlegi fizetés legyen a célváltozó, a magyarázó változók a kezdőfizetés, alkalmazás ideje (jobtime) és a dolgozó kora legyen!

84 Példa többváltozós lineáris regresszióra
A konstans szerepe elhanyagolható a modellben.