Nagy Szilvia 9. Ciklikus kódolás

Az előadások a következő témára: "Nagy Szilvia 9. Ciklikus kódolás"— Előadás másolata:

1 Nagy Szilvia 9. Ciklikus kódolás
Információelmélet Nagy Szilvia 9. Ciklikus kódolás 2005.

2 Ciklikus eltolás Egy c=( c0, c1, …, cn−2, cn−1 ) vektor ciklikus
Információelmélet – Ciklikus kódolás Ciklikus eltolás Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Egy c=( c0, c1, …, cn−2, cn−1 ) vektor ciklikus eltoltján az vektort értjük. Egy K kód ciklikus, ha minden cK-ra ScK: minden kódszó ciklikus eltoltja is kódszó. A ciklikus kódok nem feltétlenül lineárisak: Ha például K={0 0 0, , , }, a kód ciklikus, de a második és harmadik kódszó összege már nem kódszó, így K nem lineáris tér, a kód nem lineáris kód.

3 Matematikai kitérő – Véges testek feletti polinomokról
Információelmélet – Ciklikus kódolás Matematikai kitérő – Véges testek feletti polinomokról Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Legyen p0, p1, p2, …, pm  GF(N), t  GF(N), ekkor a kifejezés a GF(N) véges számtest feletti m-edfokú polinom. A polinom fokszámára a jelölést használjuk. Egy p(t) polinom akkor és csak akkor egyenlő egy p’(t) polinommal, ha minden együtthatójuk azonos, azaz ha pi = p’i i-re.

4 Matematikai kitérő – Véges testek feletti polinomokról
Információelmélet – Ciklikus kódolás Matematikai kitérő – Véges testek feletti polinomokról Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Legyen p( t ) és q( t ) a GF(N) véges számtest feletti polinomok, a két polinom r( t )=p( t )+q( t ) összege az a polinom, amelynek az együtthatói az r i = p i + q i szabály szerint állnak elő minden i-re. Az összeadás természetesen a GF(N)-beli mod N összeadás. Ha deg p( t ) = m, deg q( t ) = n, akkor deg r( t ) ≤ max(m,n).

5 Matematikai kitérő – Véges testek feletti polinomokról
Információelmélet – Ciklikus kódolás Matematikai kitérő – Véges testek feletti polinomokról Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás a két polinom r( t )=p( t )q( t ) szorzata egy olyan polinom, melynek az együtthatói az formula szerintiek minden i-re. A formula úgy keletkezett, hogy a p( t ) polinom minden tagját összeszorozzuk a q( t ) polinom minden tagjával, s az így kapott kifejezés tagjait fokszámuk szerint csoportosítjuk és összevonjuk. Ha deg p( t ) = m, deg q( t ) = n, akkor deg r( t ) ≤ m+n.

6 Matematikai kitérő – Véges testek feletti polinomokról
Információelmélet – Ciklikus kódolás Matematikai kitérő – Véges testek feletti polinomokról Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Legyen p( t ) és q( t ) a GF(N) véges szám-test feletti polinomok, deg p( t ) > deg q( t ). Ekkor p( t )-t q( t )-vel a következőképpen kell maradékosan elosztani: Ha deg p( t ) = m és p( t ) m-edfokú tagjának együtthatója pm , ill. deg q( t ) = n és q( t ) n-edfokú tagjának együtthatója qn , szorozzuk meg q( t )-t

7 Matematikai kitérő – Véges testek feletti polinomokról
Információelmélet – Ciklikus kódolás Matematikai kitérő – Véges testek feletti polinomokról Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Vonjuk ki az így kapott polinomot p( t )-ből, a maradék s(m−1)( t ) fokszáma legfeljebb m−1. Az 1.—2. lépést ismételjük úgy, hogy az 1. lépésben p( t ) helyére mindig az előző körből származó s(m)( t )-t írjunk. Ha a 2. lépés végén kapott s(m−1)( t ) maradék fokszáma kisebb, mint q( t ) fokszáma, n, megállunk. A végeredmény:

8 Matematikai kitérő – Véges testek feletti polinomokról
Információelmélet – Ciklikus kódolás Matematikai kitérő – Véges testek feletti polinomokról Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás A végeredmény: A számok maradékos osztásának mintájára bevezetjük a jelölést.

9 Matematikai kitérő – Véges testek feletti polinomokról
Információelmélet – Ciklikus kódolás Matematikai kitérő – Véges testek feletti polinomokról Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Legyen p( t )=3t4+t3+4t2+5 és q( t )=t+3, osszuk el p-t q-val a teljes számegyenes felett:

10 Matematikai kitérő – Véges testek feletti polinomokról
Információelmélet – Ciklikus kódolás Matematikai kitérő – Véges testek feletti polinomokról Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Legyen p( t )=3t4+t3+4t2+5 és q( t )=t+3, osszuk el p-t q-val a GF(11) véges számtest felett:

11 Matematikai kitérő – Véges testek feletti polinomokról
Információelmélet – Ciklikus kódolás Matematikai kitérő – Véges testek feletti polinomokról Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Legyen p( t )=3t4+t3+4t2+5 és q( t )=2t2+t+3, osszuk el p-t q-val a GF(7) véges számtest felett:

12 Matematikai kitérő – Véges testek feletti polinomokról
Információelmélet – Ciklikus kódolás Matematikai kitérő – Véges testek feletti polinomokról Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás A p( t ) GF(N) véges számtest feletti polinom gyökei, vagy zérushelyei azok a t i  GF(N) számok, amelyekre Egy polinom gyökeinek a száma nem nagyobb, mint a fokszáma. Ha t i gyöke p( t )-nek, akkor Egy p( t ) GF(N) véges számtest feletti polinom gyöktényezős alakja

13 Matematikai kitérő – Véges testek feletti polinomokról
Információelmélet – Ciklikus kódolás Matematikai kitérő – Véges testek feletti polinomokról Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Egy p( t ) GF(N) véges számtest feletti polinom irreducíbilis, ha nincsenek olyan q( t ) és r( t ) ugyanazon GF(N) Galois-test feletti polinomok, amelyeknek kisebb a fokszáma, mint p( t )-nek és amelyek teljesítik a feltételt. Megjegyzés: az egységpolinom természetesen minden polinomnak osztója, de ha q(t) vagy r(t) egységelem, akkor a másik a p(t), amelynek nem kisebb a fokszáma, mint p(t)-nek.

14 Matematikai kitérő – Véges testek feletti polinomokról
Információelmélet – Ciklikus kódolás Matematikai kitérő – Véges testek feletti polinomokról Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Analógia – prímszámok: N prím, ha nincsenek olyan nála kisebb M és K természetes számok, amelyekre N=MK . N prímszám GF(N) véges test P( t ) irreducíbilis GF(P( t )) véges test polinom (GF(NM) véges test)

15 Matematikai kitérő – Polinom-Galois-testekről
Információelmélet – Ciklikus kódolás Matematikai kitérő – Polinom-Galois-testekről Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Legyen P( t ) egy a GF(N) véges számtest feletti M-edfokú irreducíbilis polinom. Értelmezhető egy GF(P( t )) polinom-Galois-test melynek az elemei legfeljebb M1-edfokú polinomok, és az elemek közötti összeadás és szorzás a következőképpen zajlik: Egy p( t ) és egy q( t ) GF(N) feletti, legfeljebb M1-edfokú polinomok összege az az r( t ) szintén GF(N) feletti, legfeljebb M1-edfokú polinom, amelyre

16 Matematikai kitérő – Polinom-Galois-testekről
Információelmélet – Ciklikus kódolás Matematikai kitérő – Polinom-Galois-testekről Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Legyen P( t ) egy a GF(N) véges számtest feletti M-edfokú irreducíbilis polinom. Értelmezhető egy GF(P( t )) polinom-Galois-test melynek az elemei legfeljebb M1-edfokú polinomok, és az elemek közötti összeadás és szorzás a következőképpen zajlik: Egy p( t ) és egy q( t ) GF(N) feletti, legfeljebb M1-edfokú polinomok szorzata az az r( t ) GF(P( t )) polinom, amelyre

17 Matematikai kitérő – Polinom-Galois-testekről
Információelmélet – Ciklikus kódolás Matematikai kitérő – Polinom-Galois-testekről Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás A GF(P( t )) polinom-Galois-test elemei között ugyanúgy definiálható nullelem és egységelem, mint a véges számtestekben A nullelem egy olyam polinom, amelynek minden együtthatója 0, azaz olyan z( t )=z 0 + z 1 t +z 2 t 2+…+z M1 t M1, amelyre z i=0 minden i-re.

18 Matematikai kitérő – Polinom-Galois-testekről
Információelmélet – Ciklikus kódolás Matematikai kitérő – Polinom-Galois-testekről Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Az egységelem egy olyam polinom, amelynek az első (nulladfokú) együtthatója 1, a többi együtthatója 0, azaz olyan e( t )=e 0 + e 1 t +e 2 t 2+…+e M1 t M1, amelyre e0=1, és e i=0 minden i ≥ 1-re. A szorzó- és összeadótábla a számtestekkel analóg módon elkészíthető és belőlük az ellentett- és inverz polinompárok leolvashatók.

19 Ciklikus kódok – ciklikus eltolás
Információelmélet – Ciklikus kódolás Ciklikus kódok – ciklikus eltolás Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Egy c=( c0, c1, …, cn−2, cn−1 ) vektor ciklikus eltoltján az vektort értjük. Egy K kód ciklikus, ha minden cK-ra ScK: minden kódszó ciklikus eltoltja is kódszó. Rendeljünk az egyes kódszavakhoz polinomokat a következő szabály szerint. Ebben a reprezentációban a ciklikus eltolás t-vel való modulo (t n 1) szorzás.

20 Ciklikus kódok – ciklikus eltolás
Információelmélet – Ciklikus kódolás Ciklikus kódok – ciklikus eltolás Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Ciklikus eltolás: t-vel való szorzás: A c’( t ) polinom fokszáma n1, kisebb, mint t n 1 fokszáma, így c”( t )-nek csak a második tagját lehet elosztani ( t n 1)-nel, a maradéka pedig 0, így a ciklikus eltolás polinom reprezentációban valóban t-vel való modulo ( t n 1) szorzásnak felel meg.

21 Információelmélet – Ciklikus kódolás
Generátorpolinom Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Polinomos reprezentációban egy lineáris ciklikus kód kódszavai között van egy minimális fokszámú, de nem nulladrendű, amelynek a legmagasabb fokú kitaevője 1. Ez a polinom a kód generátorpolinomja, fokszáma nk. A generátorpolinom jele g( t ) Egy c i ( t ) polinom akkor és csak akkor kódszópolinom, ha a g( t ) maradék nélküli osztója c i ( t )-nek, így

22 Információelmélet – Ciklikus kódolás
Generátorpolinom Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Egy c i ( t ) polinom akkor és csak akkor kódszópolinom, ha a g( t ) maradék nélküli osztója c i ( t )-nek, így Tehát minden kódszó ebből a generátor-polinomból áll elő ciklikus eltolással (t-vel való mod t n 1 szorzással), illetve a ciklikus eltoltak lineáris kombinációjaként. Emlékeztető: a vektoros tárgyalásnál volt, most is a i ( t ) a fenti vektornak megfeleltetett polinom.

23 Információelmélet – Ciklikus kódolás
Generátormátrix Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás A generátormátrix előáll a generátorpolinom együtthatóiból, minden sora a generá-torpolinom egy-egy ciklikus eltoltja: k db nulla A generátormátrix polinom-megfelelője után megkeressük a paritásellenőrző mátrix polinom párját.

24 Generátorpolinom A generátorpolinom mindig osztója t n 1-nek.
Információelmélet – Ciklikus kódolás Generátorpolinom Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás A generátorpolinom mindig osztója t n 1-nek. Bizonyítás: a generátorpolinom n−k-adfokú: k−1-edik és k-adik ciklikus eltoltja: illetve a k-adik:

25 Generátorpolinom illetve a k-adik eltolt
Információelmélet – Ciklikus kódolás Generátorpolinom Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás illetve a k-adik eltolt amely kifejezhető a k−1-edik ciklikus eltolttal: Mivel ciklikus kód, minden kódszó minden ciklikus eltoltja is kódszó, a generátorpolinom k−1-edik és k-adik ciklikus eltoltja is kódszópolinom.

26 Információelmélet – Ciklikus kódolás
Generátorpolinom Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Mivel ciklikus kód, minden kódszó minden ciklikus eltoltja is kódszó, a generátor-polinom k−1-edik és k-adik ciklikus eltoltja is kódszópolinom. A kódszópolinomoknak osztója g(t), így g’( t )-nek és g’’( t )-nek is osztója, így az első tagnak, (t n −1)-nek is osztója g(t). A (t n −1)-nek minden irreducíbilis osztópolinomja egy-egy ciklikus kód generátorpolinomja.

27 Paritásellenőrző polinom
Információelmélet – Ciklikus kódolás Paritásellenőrző polinom Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás A g( t ) generátorpolinomú ciklikus kódok paritásellenőrző polinomja Ezzel a polinommal megszorozva minden érvényes kódszó 0-t ad (moduló t n −1), mivel a kódszavak felírhatók alakban, a generátor- és paritásellenőrző polinom szorzata pedig így

28 Paritásellenőrző polinom
Információelmélet – Ciklikus kódolás Paritásellenőrző polinom Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás A szabványokban a ciklikus kódokat generátorpolinomukkal vagy paritásellenőrző polinomukkal szokták megadni.

29 Paritásellenőrző polinom
Információelmélet – Ciklikus kódolás Paritásellenőrző polinom Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Példa: Legyen n=7, N=2 (azaz bináris kód), a polinom osztópolinomjai: a t 1 minden t n 1 alakú polinom osztója: és bináris esetben a maradék mindig ilyen alakú lesz

30 Paritásellenőrző polinom
Információelmélet – Ciklikus kódolás Paritásellenőrző polinom Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás A második tényező nem osztható t -vel, t +1 -gyel, t 2 + t +1 -gyel (a t a t +1 négyzete, a t 2 + t pedig a t-vel vett szorzata, nem irreducíbilisek), így a harmadfokú polinomok között érdemes keresgélni irreducíbilis osztót a második tényezőhöz. (Negyedfokú osztóval nem kell foglalkozni, mert annak a párja másodfokú lenne ahhoz, hogy a hatodfokú polinomot megkapjuk.)

31 Paritásellenőrző polinom
Információelmélet – Ciklikus kódolás Paritásellenőrző polinom Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás A t 3 + t 2 + t +1 nem osztó, próbáljuk a t 3 + t 2 +1-et: Ez a két harmadfokú polinom irreducíbilis, sem t, sem t +1, sem pedig t 2 + t +1 nem osztójuk, más bináris, háromnál kisebb fokú irreducíbilis polinom pedig nincs.

32 Paritásellenőrző polinom
Információelmélet – Ciklikus kódolás Paritásellenőrző polinom Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Példa: Legyen n=7, N=2 Legyen ezek közül a generátorpolinomunk a t 3 + t harmadfokú polinom. Ekkor 3 a paritásszegmens hossza, 73=4 az üzenetszegmens hossza. A generátormátrix:

33 Paritásellenőrző polinom
Információelmélet – Ciklikus kódolás Paritásellenőrző polinom Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Példa: Legyen n=7, N=2 a generátorpolinom pedig: Legyen a 4 hosszúságú kódolandó üzenetünk b=( ). A generátormátrixszal vett szorzata, azaz a hozzá rendelt kódszó:

34 Paritásellenőrző polinom
Információelmélet – Ciklikus kódolás Paritásellenőrző polinom Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Példa: Legyen n=7, N=2 a generátorpolinom pedig: Legyen a 4 hosszúságú kódolandó üzenetünk b=( ). Az üzenethez rendelt b(t) polinom: b( t ) = t A kapott kódszópolinom: Ebből a kapott kódszó: A két módszer azonos eredményre vezet.

35 Paritásellenőrző polinom
Információelmélet – Ciklikus kódolás Paritásellenőrző polinom A kapott kódszó: A paritásellenőrző polinom A kódszó szindrómája valóban nulla: Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás

36 Paritásellenőrző polinom
Információelmélet – Ciklikus kódolás Paritásellenőrző polinom Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás A nem nulla szindrómájú vektorokat táblázat alapján szokták javítani a legkisebb súlyú, velük azonos szindrómát adó hibapolinomokkal. A táblázat a következőképpen épül fel: Meghatározzák az összes lehetséges hibapolinom szindrómáját Csoportosítják az azonos szindrómájú hibamintázatokat (mellékosztályok). Kiválasztják közülük a minimális súlyút, ezt a szindrómák szerint táblázatba foglalják. Az adott szindróma esetén mindig a szindróma hibamintázatai közül a minimális súlyúval javítanak.

37 Polinomszorzás áramkörökkel:
Információelmélet – Ciklikus kódolás Polinomszorzás áramkörökkel: Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Egy tetszőleges q( t ) Q-adfokú polinomnak egy adott p( t ) P-edfokú polinommal vett szorzata, s( t )= p( t ) q( t ) előállítható a következő léptetőregiszteres áramkörrel:

38 Polinomszorzás áramkörökkel:
Információelmélet – Ciklikus kódolás Polinomszorzás áramkörökkel: Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Példa: Legyen q(t)=t 2 + 2t +3 , p(t)=5t 4 +2t 3 +3t +1 : Kiinduláskor minden tároló üres, majd a bementre rábocsátjuk a q( t ) polinom együtthatóit, a nulladfokútól kezdve fokszám szerint növekvő sorrenden

39 Polinomszorzás áramkörökkel:
Információelmélet – Ciklikus kódolás Polinomszorzás áramkörökkel: Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Példa: Legyen q(t)=t 2 + 2t +3 , p(t)=5t 4 +2t 3 +3t +1 : s( t ) nulladfokú együtthatója 3

40 Polinomszorzás áramkörökkel:
Információelmélet – Ciklikus kódolás Polinomszorzás áramkörökkel: Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Példa: Legyen q(t)=t 2 + 2t +3 , p(t)=5t 4 +2t 3 +3t +1 : s( t ) elsőfokú együtthatója 11: 2t ∙1+3 ∙3t tagokból is 11t jön ki

41 Polinomszorzás áramkörökkel:
Információelmélet – Ciklikus kódolás Polinomszorzás áramkörökkel: Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Példa: Legyen q(t)=t 2 + 2t +3 , p(t)=5t 4 +2t 3 +3t +1 : s( t ) másodfokú együtthatója 7: t 2 ∙1+2t ∙3t tagokból is 7t 2 jön ki

42 Polinomszorzás áramkörökkel:
Információelmélet – Ciklikus kódolás Polinomszorzás áramkörökkel: Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Példa: Legyen q(t)=t 2 + 2t +3 , p(t)=5t 4 +2t 3 +3t +1 : s( t ) harmadfokú együtthatója 9 : t 2 ∙3t+3 ∙2t tagokból is 9t 3 jön ki

43 Polinomszorzás áramkörökkel:
Információelmélet – Ciklikus kódolás Polinomszorzás áramkörökkel: Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Példa: Legyen q(t)=t 2 + 2t +3 , p(t)=5t 4 +2t 3 +3t +1 : s( t ) negyedfokú együtthatója 19: 2t ∙2t 3 +3 ∙5t tagokból is 19t 4 jön ki

44 Polinomszorzás áramkörökkel:
Információelmélet – Ciklikus kódolás Polinomszorzás áramkörökkel: Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Példa: Legyen q(t)=t 2 + 2t +3 , p(t)=5t 4 +2t 3 +3t +1 : s( t ) ötödfokú együtthatója 12 t 2 ∙2t 3 +2t ∙5t tagokból is 12t 5 jön ki

45 Polinomszorzás áramkörökkel:
Információelmélet – Ciklikus kódolás Polinomszorzás áramkörökkel: Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Példa: Legyen q(t)=t 2 + 2t +3 , p(t)=5t 4 +2t 3 +3t +1 : s( t ) hatodfokú együtthatója 5. Magasabb fokszámú együtthatója nincs, a következő lépésben minden tároló kiürül, a kimeneten nulla van.

46 Ciklikus kódok – polinomszorzóval
Információelmélet – Ciklikus kódolás Ciklikus kódok – polinomszorzóval Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás A kódszavak generálása áramkörökkel: A generártorpolinom segítségével: a b( t ) tömörített együtthatóiból a következő áramkörrel lehet a kódszópolinom együtthatóit megkapni:

47 Polinomosztás áramkörökkel:
Információelmélet – Ciklikus kódolás Polinomosztás áramkörökkel: Egy tetszőleges s( t ) polinomot egy olyan adott p( t ) P-edfokú polinommal elosztva, melynek a főegyütthatója 1, a hányados és a maradék, az s( t )= p( t ) q( t ) + r( t ) formulát használva elő-állítható a következő visszacsatolt léptetőregiszteres áramkörrel: Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás

48 Polinomosztás áramkörökkel:
Információelmélet – Ciklikus kódolás Polinomosztás áramkörökkel: Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás A bemenetre s(t) együtthatóit fokszám szerint csökkenő sorrendbe kell beadni, az összes együttható beadása után a tárolókban a maradékpolinom együtthatói lesznek.

49 Polinomosztás áramkörökkel:
Információelmélet – Ciklikus kódolás Polinomosztás áramkörökkel: Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Megjegyzés: Egy tetszőleges s( t ) polinomot egy olyan adott p( t ) P-edfokú polinommal elosztva, melynek a főegyütthatója pP , az s( t )= p( t ) q( t ) + r( t ) formulát használva a következő léptetőregiszteres áramkörrel állítható elő: A bemenetre s(t) együtthatóit fokszám szerint csök-kenő sorrendben; végül a tárolókban a maradék.

50 Polinomosztás áramkörökkel:
Információelmélet – Ciklikus kódolás Polinomosztás áramkörökkel: Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Példa: Legyen s( t )= 3t 5 + 3t 4 + t 3 +4t 2 +2 , p( t )= t 3+2t 2 + t +3

51 Polinomosztás áramkörökkel:
Információelmélet – Ciklikus kódolás Polinomosztás áramkörökkel: Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Példa: Legyen s( t )= 3t 5 + 3t 4 + t 3 +4t 2 +2 , p( t )= t 3+2t 2 + t +3

52 Polinomosztás áramkörökkel:
Információelmélet – Ciklikus kódolás Polinomosztás áramkörökkel: Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Példa: Legyen s( t )= 3t 5 + 3t 4 + t 3 +4t 2 +2 , p( t )= t 3+2t 2 + t +3

53 Polinomosztás áramkörökkel:
Információelmélet – Ciklikus kódolás Polinomosztás áramkörökkel: Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Példa: Legyen s( t )= 3t 5 + 3t 4 + t 3 +4t 2 +2 , p( t )= t 3+2t 2 + t +3 q( t ) másodfokú együtthatója 3 : t 2 ∙p( t ) = 3t 5+6t 4+3t 3 +9t 2 levonva s( t )-ből a maradék: s (3) ( t ) = 3t 4 2t 3  5t 2 +2

54 Polinomosztás áramkörökkel:
Információelmélet – Ciklikus kódolás Polinomosztás áramkörökkel: Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Példa: Legyen s( t )= 3t 5 + 3t 4 + t 3 +4t 2 +2 , p( t )= t 3+2t 2 + t +3 q( t ) elsőfokú együtthatója 3 : 3t ∙p( t ) = 3t 4 6t 33t 2 9t levonva s(4)(t) = 3t 4 2t 3  5t ből: s (3) ( t ) = 4t 3 2t 2 +9t +2

55 Polinomosztás áramkörökkel:
Információelmélet – Ciklikus kódolás Polinomosztás áramkörökkel: Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Példa: Legyen s( t )= 3t 5 + 3t 4 + t 3 +4t 2 +2 , p( t )= t 3+2t 2 + t +3 ez kerül a regiszterekbe, mint maradék q( t ) nulladfokú együtthatója 4 : ∙p( t ) = 4t 3+8t 2 +4t +12 levonva s (3) ( t ) = 4t 3 2t 2 +9t +2-ből: s (2) ( t ) = 10t 2 +5t 10

56 Alkalmazások – CRC-kódok
Információelmélet – Ciklikus kódolás Alkalmazások – CRC-kódok Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás A CRC-kódok (Cyclic Redundancy Check) kódokat hibajelzésre szokták használni a következő módokon: Az egyik eljárás szerint a már csatornakódolt üzenet hosszú szakaszait kódolják még egyszer, néhány paritásbitet tartalmazó ciklikus kóddal. Az üzenetszegmens több tízezer hosszúságú is lehet, a paritásszegmens néhány tíz (tipikusan 16 vagy 32) bitből áll. E kódolás célja az olyan hibák jelzése, amikor a vett szimbólum-sorozat egy az eredetitől eltérő érvényes kódszó, vagy egy ahhoz nagyon közeli szimbólumsorozat, amelyet a vevő hibásan dekódol.

57 Alkalmazások – CRC-kódok
Információelmélet – Ciklikus kódolás Alkalmazások – CRC-kódok Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás A CRC-kódok (Cyclic Redundancy Check) kódokat hibajelzésre szokták használni a következő módokon: Szintén ciklikus kódokat alkalmaznak visszacsatolt zajos csatornákban az ARQ rendszerekben. Ha a szindróma nem megfelelő, akkor a vevő automatikusan az üzenet megismétlését kéri (Automatic Repeat reQuest, ARQ). Az üzenet megismétlése történhet ugyanazzal a kódolással, vagy más, jobb kóddal.

58 Alkalmazások – CRC-kódok
Információelmélet – Ciklikus kódolás Alkalmazások – CRC-kódok Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Általában a következő 16 bites (bináris!) generátorpolinomokat használják (pl. CCITT; SNC 2653; INTEL és 8274; Signetics 2652): 32 bites bináris generátorpolinomok közül terjedt el (pl. INTEL 82586).

59 Alkalmazások – CRC-kódok
Információelmélet – Ciklikus kódolás Alkalmazások – CRC-kódok Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Az első polinomhoz tartozó legrövidebb érvényes kódszóhossz 32767, de ettől eltérő kódszóhossz alkalmazása sem jelent problémát, akkor rövidített ciklikus kódokat kapunk. Egy (n, k ) paraméterű K kód rövidített kódja l <k hosszú üzenetekhez rendel kódszavakat:

60 Alkalmazások – (23,12) Golay-kód
Információelmélet – Ciklikus kódolás Alkalmazások – (23,12) Golay-kód Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás A műholdas műsorszórásban a szolgáltatás azonosító-ját egy szisztematikus kóddal védik, melyről utóbb kiderült, hogy ciklikus kód generátorpolinommal. A generátormátrix (az üres helyeken 0-k vannak):

61 Szisztematikus generálás
Információelmélet – Ciklikus kódolás Szisztematikus generálás Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Megjegyzés: A ciklikus kódok generálhatók szisztematikusan, azaz minden ciklikus kódhoz létezik egy neki megfelelő szisztematikus kód szisztematikus generátormátrixszal. A szisztematikus generátormátrix előáll egy ciklikus kód nem szisztematikus generátormátrixából úgy, hogy végrehajtjuk rajta a Gauss-elimináció lépéseit (balról jobbra, hogy egységmátrixot kapjunk a bal oldalra) Példa: t 3+t 2+1 polinom- ból előállt mátrix:

62 Szisztematikus generálás
Információelmélet – Ciklikus kódolás Szisztematikus generálás Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinom- véges testek Generátor-polinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Adott üzenethez természetesen a két kód esetén más és más kódszó fog tartozni, csak a kódszavak halmaza lesz azonos. A szisztematikusan generált ciklikus kódok azonban könnyen dekódolhatók.