PPKE ITK 2008/09 tanév 8. félév (tavaszi) Távközlő rendszerek forgalmi elemzése Tájékoztatás 14-1.

Az előadások a következő témára: "PPKE ITK 2008/09 tanév 8. félév (tavaszi) Távközlő rendszerek forgalmi elemzése Tájékoztatás 14-1."— Előadás másolata:

1 PPKE ITK 2008/09 tanév 8. félév (tavaszi) Távközlő rendszerek forgalmi elemzése Tájékoztatás http://digitus.itk.ppke.hu/~gosztony/ 14-1.

2 Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE 14-1 – 2009. 05. 05. 2 1.Delay Systems 2.Applied Queuing theory 3.Network of Queues Network of Queues TPV rendszerekben, számítógépes hálózatokban, Internetben, IP rendeszerekben … ez a szokásos üzemmód.

3 Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE 14-1 – 2009. 05. 05. 3 1.Bevezetés 2.Szimmetrikus várakozásos rendszerek 3.Jackson tétele 4.Várakozásos hálózatok egyetlen lánccal 5.Többdimenziós várakozásos hálózatok 6.Zárt várakozásos hálózatok több lánccal 7.Egyéb kérdések Várakozásos rendszerek

4 Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE 14-1 – 2009. 05. 05. 4 1.Várakozásos hálózat csomópontokból és ezek között vándorló igényekből áll 2.Várakozásos hálózat lehet: a)nyílt – igények darabszáma változó, pl. M/M/n b)zárt– igények darabszáma rögzített, pl. Palm- féle gépjavítási modell c)kevert 3.A távozási folyamat jellemzői is fontosak, mert az egyik csomópontból távozó igény érkező igény lehet egy másik csomópontban Bevezetés – 1.

5 Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE 14-1 – 2009. 05. 05. 5 Bevezetés – 2. Négy csomópont. Négy nyitott lánc. Állapot: ahol: az igények darabszáma a k. csomópontban és p j,k annak valószínűsége, hogy az igény elhagyva a j. csomópontot a k. csomóponthoz megy. p 22

6 Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE 14-1 – 2009. 05. 05. 6 1.A várakozásos rendszer szimmetrikus, ha a távozási folyamat Poisson folyamat. 2.Négyféle modell ilyen: a)M/M/n állapotvalószínűségek: és b)M/G/∞* állapotvalószínűségek: (Poisson !) c)M/G/1–PS* állapotvalószínűségek: d)M/G/1-LCFS-PR* állapotvalószínűségek: * azonnali kiszolgálás ! Szimmetrikus rendszerek Reverzibilitás PS = Processor Sharing PR = Preemptive Resume

7 Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE 14-1 – 2009. 05. 05. 7 Jackson tétele – 1. Jackson’s theorem: Consider an open queueing network with K nodes satisfying the following conditions:

8 Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE 14-1 – 2009. 05. 05. 8 Jackson tétele – 2. Továbbá, ha jelöli az állapotvalószínűségeket a statisztikai egyensúlyt feltételezve, és teljesül, hogy: akkor az állapotvaló- színűségekszorzat-formájúak: Jackson első modellje csak nyílt várakozásos hálózatokra vonatkozik.

9 Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE 14-1 – 2009. 05. 05. 9 Jackson tétele – 3. Jackson továbbfejlesztett modelljében a kívülről érkező hívások intenzitása: függhet a rendszerben lévő igények aktuális darabszámától és μ k függhet a k. csomópontban lévő igények darabszámától. Így modellezhetők nyílt, zárt és kevert várakozási rendszerek. Mindhárom esetben lehetséges a szorzat-forma

10 Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE 14-1 – 2009. 05. 05. 10 Jackson tétele – 4. 14.3.1 példa: sorbakötött két M/M/1 rendszer – nyílt ! ∞ nemreverzibilis Ha van (i,j) (i+1,j) akkor kell (i+1,j) (i,j), hogy reverzibilis legyen. Fig. 14.3 (Reverzibilis Markov folyamatok, lásd TTE-10. Jegyzet 10.2 fejezet.)

11 Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE 14-1 – 2009. 05. 05. 11 Jackson tétele – 5. 14.3.1 példa: sorbakötött két M/M/1 rendszer – nyílt ! ∞ Bár az állapotábra szerint a folyamat nem reverzibilis, mégis van szorzat formáju megoldás: ahol: M/M/1, A k  p k Levezetés: TTE-Gy_04_090416

12 Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE 14-1 – 2009. 05. 05. 12 Jackson tétele – 6. Kimutatható, hogy az ábrán látható két független M/M/1 rendszer és a sorbakötött két M/M/1 rendszerállapotegyenleteiazonosak. State transition diagram for two independent M/M/1–queueing systems with identical λ arrival intensity, but individual μ 1, μ 2 mean service times. The diagram is reversible.

13 Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE 14-1 – 2009. 05. 05. 13 Jackson tétele – 7. There is regional but not local balance in Fig. 14.3. If we consider a square of four states, then to the outside world there will be balance, but internally there will be circulation via the diagonal state shift. Fig. 14.3

14 Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE 14-1 – 2009. 05. 05. 14 p 21 úgy választandó, hogy Λ 1 / μ 1 <1 és Λ 2 / μ 2 <1 egyaránt teljesüljön. Jackson tétele – 8. 14.3.2 példa : sorbakötött két M/M/1 rendszer, visszatéréssel –nyílt! p 21 μ 2 (1-p 21 ) μ 2 p 21 μ 2 (1-p 21 ) μ 2 Csomós (bursty) érkezési folyamat. Jegyzet: p.294. Flow balance equation:

15 Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE 14-1 – 2009. 05. 05. 15 Függetlenség feltételezése (Kleinrock) Kleinrock’s independence assumption If we consider a real-life data network, then the packets will have the same constant length, and therefore the same service time on all links and nodes of equal speed. The theory of queueing networks assumes that a packet (a customer) samples a new service time in every node. This is a necessary assumption for the product form. This assumption was first investigated by Kleinrock (1964 [66]), and it turns out to be a good approximation in praxis.

16 Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE 14-1 – 2009. 05. 05. 16 Egyetlen nyílt lánc – 1. Nyílt rendszer Meghatározandók a valószínűségek, ahol i k az igények száma a k. csomópontban. Lépések: 1. megoldása. 2. μ i felhasználásával megkaphatók az A i –k. 2. μ i felhasználásával megkaphatók az A i –k. 3. Erlang várakozásos rendszer képleteiből 3. Erlang várakozásos rendszer képleteiből adódnak az állapotvalószínűségek. adódnak az állapotvalószínűségek.

17 Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE 14-1 – 2009. 05. 05. 17 Egyetlen zárt lánc – 1. Zárt rendszer – Konvolúciós algoritmus Csak a relatív cΛ j forgalmak ismertek, de c nem ismert. Az állapotvalószínűségek meghatározásához az összes nem-normalizált állapot valószínűséget ki kell számítani. Lépések:

18 Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE 14-1 – 2009. 05. 05. 18 Egyetlen zárt lánc – 2. Zárt rendszer – Konvolúciós algoritmus Lépések:

19 Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE 14-1 – 2009. 05. 05. 19 Egyetlen zárt lánc – 3.

20 Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE 14-1 – 2009. 05. 05. 20 Egyetlen zárt lánc – 14.4.1 példa – 1. Terminálok M/G/1 – IS* node CPU M/M/1 node *IS = Immediate Service – Az új task mindig talál üres terminált. 14.4.1 példa λ 1 = λ λ 2 = λ

21 Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE 14-1 – 2009. 05. 05. 21 0 1 2..S-1 S μ 1 2μ 1..μ 1 (S-1) μ 1 Sμ 1 Egyetlen zárt lánc –14.4.1 példa – 2a. 0 1 2.. S-1S μ 2 μ 2 μ 2 μ 2 μ 2 Általános képlet: q 1 (i) = (i+1) μ 1 q 1 (i+1) Általános képlet: q 2 (i) = μ 2 q 2 (i+1)

22 Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE 14-1 – 2009. 05. 05. 22 Egyetlen zárt lánc –14.4.1 példa – 2b.

23 Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE 14-1 – 2009. 05. 05. 23 Egyetlen zárt lánc –14.4.1 példa – 3.

24 Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE 14-1 – 2009. 05. 05. 24 Egyetlen zárt lánc –14.4.1 példa – 4. Számítás: alkalmazásával Erlang B képlet Ez megegyezik a korábban kapott eredménnyel (lásd TTE 12-2) ! pl.:

25 Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE 14-1 – 2009. 05. 05. 25 Egyetlen zárt lánc –14.4.1 példa – 5. Emlékeztető: The probability that i terminals are thinking and (S-i) „are in node 2” i.e. waiting or just being served corresponds to: cf. TTE 12-2

26 Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE 14-1 – 2009. 05. 05. 26 Egyetlen zárt lánc – 14.4.2 példa – 1. Feltevések: S állandó. Egyidejűleg S job kering. A CPU és az I/O eszközök mindegyiket sokszor szolgálják ki. Távozó job helyére azonnal új job lép. 14.4.2 példa: S = 4 K = 3 (CPU + 2 I/O) exponenciálistartásidők: s = 1/ μ

27 Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE 14-1 – 2009. 05. 05. 27 Egyetlen zárt lánc –14.4.2 példa – 2. Relatív intenzitások kiszámítása    0 1 2 3 4 Λ i Λ i Λ i Λ i Λ i Λ i Λ i Λ i μ i μ i μ i μ i Állapotegyenletekből relatív állapotvalószínűségek számíthatók.

28 Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE 14-1 – 2009. 05. 05. 28 Egyetlen zárt lánc –14.4.2 példa – 3. q 1 (j)= 1 q 2 (j)= 1 q 3 (0)= 1 q 3 (1)= 2 q 3 (2)= 4.....

29 Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE 14-1 – 2009. 05. 05. 29 Egyetlen zárt lánc –14.4.2 példa – 4. Emlékeztető:

30 Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE 14-1 – 2009. 05. 05. 30 Egyetlen zárt lánc –14.4.2 példa – 5. a csomópont forgalma (erl)

31 Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE 14-1 – 2009. 05. 05. 31 Egyetlen zárt lánc –14.4.2 példa – 6. A konvolúció sorrendjét megcserélve megkapható, hogy: Little tétel alapján az átlagos rendszerben tartózkodási idő (várakozás + kiszolgálás): (Mean sojourn time = waiting +service) kiszolgálási idők: s 1 = 28, s 2 = 40, s 3 = 280