Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében

Az előadások a következő témára: "Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében"— Előadás másolata:

1 Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében
A Tantárgy címe Törzsanyag Az információtechnika fizikája I. Előadás Természettudományos világkép a XIX. század végén: A „TÉR – IDŐ – TEST – ERŐ” modell Klasszikus mechanika Az Európai Szociális Alap támogatásával Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében PPKE ITK - VE MIK

2 Világkép a XIX. Század végén
A „tér-idő”-ben mozgó „test-erő” modell – azaz a mechanikai mozgás az univerzális valóság-modell. A tér-idő a színpad, amelyen az anyagi testek erők hatására mozognak. Az anyagi testek oszthatatlan elemi részecskékből állnak, melyeket erők tartanak össze. A „testek” és az „erők” természete alapvetően más: a testek ütköznek, az erők szuperponálódnak, interferálnak. A pont-dinamika, a kontinuum mechanika, a termodinamika és a csillagászat a klasszikus mechanikára vezethető vissza. A gravitáció, az elektromosság, a mágnesség és a fénytan a testeket mozgató „erők” tana. A kémia is 92 oszthtatlan elem atomjainak „kémiai erők” hatására történő mozgása. A természet valamennyi jelensége az ember szabad akaratától független („objektív”), és a „tér – idő – test –erő” modellel leírható. Úgy tűnik, hogy teljes az összhang a kísérleti tapasztalatok összessége és a tér-időbeli erők hatására mozgó testek mozgástörvényei között. A tapasztalás és a mechanikára épülő elmélet – akkor úgy tűnt – teljes összhangban van. 2006 HEFOP P /1.10

3 I. A mechanika elvei Az n számú tömegpontból álló rendszer helyzetét n számú vektor, azaz 3n számú helykoordináta határozza meg. Ha a tömegpontok mozgását k számú holonom kényszer korlátozza, akkor a rendszer független koordinátáinak száma f =3n–k amit a rendszer szabadsági fokának nevezünk. Az f szabadsági fokú rendszer általános helykoordinátái q1, q2, ..., q f, és segítségükkel a tömegpontok helykoordinátái Mivel a potenciális energia az helykoordináták függvénye, ezért az általános koordinátákkal a potenciális energia mindig kifejezhető. 2006 HEFOP P /1.10

4 II. A mechanika elvei , ahol i =1, 2, ..., f) általános sebességeknek nevezzük. Ha az ri Descartes-koordinátái xi, yi, zi, akkor a pontrendszer kinetikus energiája A kinetikus energia az általános koordináták és az általános sebességek függvénye. Fontos definiciók: Lagrange-függvény Általános impulzus Hamilton-függvény 2006 HEFOP P /1.10

5 III. A mechanika elvei A Newton-törvényekkel egyenértékű a Hamilton-elv, amelyet a legkisebb hatás elvének is szokás nevezni. Egy tömegpont esetén a P1 pontból induló és a P2 pontba tartó részecske a két pontot összekötő pályák közül azon halad, amelyre a Lagrange-függvény időintegrálja extremum, azaz az időintegrál variációja zérus. Ez a több tömegpontból álló rendszer esetén is érvényes. Euler–Lagrange-egyenletek A Newton mozgásegyenletekkel egyenértékűek a Hamilton-egyenletek: 2006 HEFOP P /1.10

6 IV. A mechanika elvei A pontmechanika alaptörvényeit három különböző formában adhatjuk meg. A Newton-féle mozgásegyenletek, a Lagrange-féle mozgásegyenletek és a Hamilton-egyenletek a fentiek szerint egyenértékű alaptörvények. Egyetlen tömegpont általános koordinátái legyenek q1=x, q2=y és q3=z, potenciális energiája Wp(x, y, z), kinetikus energiája pedig A Lagrange-függvény A Lagrange-féle mozgásegyenletek a Newton-mozgásegyenleteket kaptuk vissza. 2006 HEFOP P /1.10

7 Newton mozgásegyenletek
Hamilton elv Lagrange-egyenletek Hamilton egyenletek Newton mozgásegyenletek Több tömegpontból álló rendszer esetén is érvényesek ! Koordináták és energiák szerepelnek bennük Bonyolult esetekben is könnyebb felirni őket. 2006 HEFOP P /1.10

8 I. Töltött részecske elektromágneses térben
Kezdeti feltételek: adottak Erő: adott Meghatározandó a pálya: Megoldandó Töltött részecskék mozgása elektromágneses erőtérben Legyen a TEST egy „részecske”, melynek az ERŐTÉR E elektromos és B mágneses tér. A testre ható erő : F-et newton, N, E-t V/m, q-t As, v-t m/s, B-t pedig Vs/m2 egységben mérjük 2006 HEFOP P /1.10

9 II. Töltött részecske elektromágneses térben
A mozgásegyenlet relativisztikus tartományban is érvényes, tehát akkor is, amikor v ~ c (ahol c a fény terjedési sebessége) és m nem állandó, azaz Newton második axiómája csak az eredeti newtoni megfogalmazásban érvényes: Mennyi munkát végzett az erőtér a részecskén, pályájának dr hosszúságú szakaszán? 2006 HEFOP P /1.10

10 I. Az elektronoptika elemei
A geometriai optika törvényszerűségei homogén, izotrop közegben a fény egyenes vonalban terjed, + két különböző közeg határán pedig a Descartes-Snellius-törvény szerint törik. Mivel az egyes térrészeken belül a potenciál állandó, bennük a térerősség zérus, a két térrész között pedig a határfelületre merőleges. ahol W0 a részecske állandó összenergiája 2006 HEFOP P /1.10

11 II. Az elektronoptika elemei
Az elektronsugár törési törvénye 2006 HEFOP P /1.10

12 Elektronmikroszkóp 2006 HEFOP P /1.10

13 I. Tömeg – energia ekvivalencia
Bármely m tömegű rendszerhez mc2 energia tartozik, tehát A részecske mozgásból származó energianövekedése Ha v << c, akkor 2006 HEFOP P /1.10

14 II. Tömeg – energia ekvivalencia
Mekkora lesz a sebesség, amelyre a részecske felgyorsul, ha U potenciálkülönbséget fut át ? Az energia megmaradásának elvét felhasználva Egy elektron nyugalmi energiája: 10000 eV-os elektron tömege már majdnem 2-kal nagyobb, mint a nyugalmi tömege Egy proton nyugalmi energiája 2006 HEFOP P /1.10

15 Ciklotron Homogén mágneses térben helyezzünk el két üres, nyílásukkal egymás felé fordított D alakú fémdobozt. Kapcsoljunk ezen két D-elektróda közé váltakozó feszültséget. Ez az elrendezés a ciklotron (Lawrence, 1930). Egy részecske körülfutási ideje nem függ a részecske energiájától vagy sebességétől A részecske legnagyobb sebessége: A részecske végenergiája: 2006 HEFOP P /1.10

16 Lineáris és nemlineáris rezgések
Ingamozgás, rugók, harmonikus oszcillátorok, rezgő húr, stb. 1. Egydimenziós, szabad és „kis” rezgések Stabil egyensúlyi állapot, amelyben a potenciális energiának minimuma van : Az egyensúlyi helyzetből való kitérés esetén erő lép fel. (A Taylor sor első el nem tűmő tagja) A továbbiakban A kinetikus energia A Lagrange függvény: A mozgásegyenlet: 1 2 tg ; C A - = + j Amplitúdó Fázis 2006 HEFOP P /1.10

17 A kis rezgést végző rendszer összenergiája
q p Az általános impulzus „Fázistér” : a hely és impulzuskoordináták által kifeszitett tér Egydimenziós térbeli mozgás esetén Phase space (fázistér) Mozgás szabadságfoka: f Phase space (fázistér) „Fázisgörbe” p = p(q) 2006 HEFOP P /1.10

18 Nemlineáris dinamika Megjegyzés Pályák, trajektóriák: Fázisgörbék:
Irányitott görbesereg (ahogy az időben fut) az sikon: 2006 HEFOP P /1.10

19 Az egyensúlyi hely környezetében „linearizáljuk” a rendszert:
Ha e lineáris rendszer stabilis, akkor a nemlineáris is stabil ebben az egyensúlyban . Lineáris stabilitás feltétele: Karakterisztikus egyenlet gyökeinek valós része negativ. Másodfokú egyenlet: 2 komplex gyök 2006 HEFOP P /1.10

20 1. Stabilis csomópont negativ valós
Illusztráció: Ennek megoldásai, ha 1. ha 2. ha 3. ha és Hat eset van: 1. Stabilis csomópont negativ valós 2. Labilis csomópont pozitiv valós 3. Nyeregpont ellentétes előjelű valós 4. Stabilis fókuszpont konjugált komplexek negativ valós résszel 5. Labilis fókuszpont konjugált komplexek pozitiv valós résszel 6. Örvénypont tiszta képzetes 2006 HEFOP P /1.10

21 1. Stabilis csomópont negativ valós
2. Labilis csomópont pozitiv valós 3. Nyeregpont ellentétes előjelű valós 4. Stabilis fókuszpont konjugált komplexek negativ valós résszel 5. Labilis fókuszpont konjugált komplexek pozitiv valós résszel 6. Örvénypont tiszta képzetes 2006 HEFOP P /1.10

22 Hullámmozgás a kifeszitett rezgő húron
Rugalmasságtan „DINAMIKÁJA” Hullámmozgás a kifeszitett rezgő húron A húr minden elemi szakasza csak érintő irányú húzóerőt képes közvetiteni Feszitsük ki a húrt F húzóerővel az A és B pontok között „Alapállapot” Tömegpontok helye alapállapotban x Feszültség a húrban: A húr sűrűsége Rezgő állapot: Kitérés az alapállapotból Mozgásegyenlet (Hullámegyenlet) Feltéve, hogy a kitésések „kicsik” A rezgések során fellépő deformáció feszültségváltozásai kicsik σ-hoz képest 2006 HEFOP P /1.10

23 Longitudinális hullámmozgás hosszú rugalmas rúdon
Hullámmozgás a kifeszitett rezgő húron hosszegységre eső tömeg Hooke törvény Y = Young konstans Feszültség húrban: A húr sűrűsége együtthatókat a kezdeti feltételek határozzák meg 2006 HEFOP P /1.10