PPKE ITK 2010/11 tanév Őszi félév Távközlési hálózattervezés forgalmi nézőpont Tájékoztatás 3. Várakozásos rendszerek.

Az előadások a következő témára: "PPKE ITK 2010/11 tanév Őszi félév Távközlési hálózattervezés forgalmi nézőpont Tájékoztatás 3. Várakozásos rendszerek."— Előadás másolata:

1 PPKE ITK 2010/11 tanév Őszi félév Távközlési hálózattervezés forgalmi nézőpont Tájékoztatás http://digitus.itk.ppke.hu/~gosztony/ 3. Várakozásos rendszerek Queueing systems Manhattan Central Park

2 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 2 3.1 Várakozásos rendszerek jellemzése Characterization of waiting systems Jelölések Várakoztatási eljárások Prioritások Igények magatartása

3 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 3 Characterization 1. Characterization of systems Traffic processes (distributions): Milyenek ezek ? Kendall notation

4 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 4 Characterization 2. Complete specification: További jelölések: K = n veszteséges rendszer, loss system A b csoportos érkezés (bulk or batch arrival). B b csoportos kiszolgálás, (bulk or batch service) C ütemezett kiszolgálás (clocked

5 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 5 Characterization 3. Várakoztatási stratégiák – Queuing strategies For the three above-mentioned disciplines the total waiting time for all customers is the same. The queueing discipline only decides how waiting time is allocated to the individual customers.

6 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 6 Characterization 4. Static disciplines, depending on arrival times or holding times Dynamic disciplines. Strategy depends on the time spent in the system

7 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 7 Characterization 5. Priorities Az egyes osztályokban a már említett stratégiák érvényesülhetnek

8 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 8 Characterization 6. Előfizetők viselkedése Behaviour of requests (customers)

9 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 9 3.2 Erlang várakozásos rendszer Erlang’s delay system M|M|n A levezetések a jellemző értékek pontos megértését kívánják támogatni. Detailed mathematics serve the better understanding of essential results Részletes levezetések/see: GG Honlap/GG Homepage, Távközlő rendszerek forgalmi elemzése, Tantárgyi teljes (2010 tavasz), Gyakorlatok, Tankönyv

10 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 10 Erlang – M/M/n 1. A rendszer állapotát az benne tartózkodó összes igény (kiszolgálás alatt lévő és várakozó együtt) darabszáma mutatja. A rendszer / The system n egyforma kiszolgáló szerv / uniform servers n egyforma kiszolgáló szerv / uniform servers teljes elérhetőség / full accessibility teljes elérhetőség / full accessibility ∞ számú várakozási hely / waiting positions ∞ számú várakozási hely / waiting positions PCT I igények / demands PCT I igények / demands The state of the system is given by the number of all (served and waiting) requests.

11 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 11 Erlang – M/M/n 2. State equations A=/μ

12 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 12 Erlang – M/M/n 3. Probability of waiting: igény érkezik, amikor minden vonal foglalt ______________________________________________________ igény érkezik bármikor igény érkezik bármikor Erlang C formula: Designations: Probability of immediate service

13 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 13 Erlang – M/M/n 4. Served traffic (= offered !) Probability of having requests in the queue: Length of the queue as random variable = L Alkalmazott összefüggés: ha i < n ha i ≥ n

14 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 14 Erlang – M/M/n 5. Calculation of Erlang C 1. 2. ahol korábbi rekurziós képletből Táblázatos számítási segédlet: GG Honlap, Gyakorlatok Erlang C táblázat A (forgalom), bármely N (vonalszám) kettőből a Erlang C (vár. val.) harmadik

15 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 15 Erlang – M/M/n 6.

16 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 16 Erlang – M/M/n 7. Mean queue length in an arbitrary point of time: PASTA ! Idő- és hívás átlagok egyformák

17 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 17 Erlang – M/M/n 8. Mean queue length – at an arbitrary point of time miatt a sor abszolút konvergens és így a differenciálás kihozható a sor összegezése elé Értelmezhető mint a várakozási helyek forgalma. May be understood as the traffic of waiting positions. PASTA ! Ha akkor:

18 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 18 Erlang – M/M/n 9. Mean queue length – if there is any queue Conditional probability. Condition: = PASTA !

19 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 19 Erlang – M/M/n 10. Mean waiting time – all requests From Little’s theorem where: (arrival rate) x (mean waiting time) further, since L might be interpreted as waiting traffic and because of

20 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 20 Erlang – M/M/n 11. Mean waiting time w n – for delayed requests w n (conditional probability) = = mean waiting time – all requests / probability of waiting

21 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 21 Summary - Erlang – M/M/n 12. Átlagos várakozási idő – a tényleg várakozókra: Átlagos várakozási idő – minden igénylőre: Átlagos sorhosszúság – ha van sor : Átlagos sorhosszúság – tetszőleges időpontban: Van várakozó igény – véletlen időpontban: Lebonyolított forgalom (= felajánlott !) Várakozás valószínűsége: Azonnali kiszolgálás valószínűsége:

22 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 22 Erlang – M/M/n 13. Example: M/M/1 from since: and See Textbook 9.5

23 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 23 Erlang – M/M/n 14. FCFS/FIFO first in first out LCFS/LIFO last in first out SIRO/RANDOM service in random order

24 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 24 3.3 M|M|n|S|S Palm várakozásos rendszer Palm’s machine repair model Részletes levezetések/see: GG Honlap/GG Homepage, Távközlő rendszerek forgalmi elemzése, Tantárgyi teljes (2010 tavasz), Gyakorlatok, Tankönyv A levezetések a jellemző értékek pontos megértését kívánják támogatni. Detailed mathematics serve the better understanding of essential results

25 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 25 The model A rendszer / The system PCT-II igények/requests PCT-II igények/requests n egyforma kiszolgáló szerv / identical servers n egyforma kiszolgáló szerv / identical servers teljes elérhetőség / full accessibility teljes elérhetőség / full accessibility S számú várakozási hely/waiting positions S számú várakozási hely/waiting positions S forgalomforrás / traffic sources S forgalomforrás / traffic sources M/M/n/S/S Palm féle gép-javítási modell (várakozásos PCT-II rendszer) Palm’s machine repair model (PCT-II waiting system)

26 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 26 Palm – M/M/1/S/S – 1. Palm féle „Gépjavítási” modell (Várakozásos PCT-II) Igény-források Sources of requests Jelentkezési intenzitás intenzitás Kiszolgálásiintenzitás „Ülök a számítógép terminál előtt.” Figure 12.5: Palm’s machine-repair model. A computer system with S terminals (an interactive system) corresponds to a waiting time system with a limited number of sources (cf.Engset-case for loss systems).

27 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 27 Palm – M/M/1/S/S – 2. think time + responsetime R (response)= waiting + service T t  m t Tw  mwTw  mwTw  mwTw  mw T s  m s Időtartamok és várható értékek: Time intervals and mean values: T t + R = circulation time =

28 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 28 Palm – M/M/1/S/S – 3. i = 0, a számítógép szabad (idle) i > 0, a számítógép foglalt (busy), (i-1) várakozó van (waiting), (i-1) várakozó van (waiting), (S-i) gondolkozik (thinking) (S-i) gondolkozik (thinking) metszeti egyenletek ! cut equations ! service intensity thinking intensity Az ábra „kifordítva” mintha az Erlang eset volna !! ( λ > μ, μ > γ csere )

29 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 29 Palm – M/M/1/S/S – 4. csonkítottPoissoneloszlás mindenki gondolkozik, senki sem áll sorban, kiszolgálás sincs / all are thinking, empty queue, no service Erlang B :S servers and ρ traffic „forgalom”: (service ratio)

30 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 30 Palm – M/M/1/S/S – 5. Mintha (!): a számítógép μ intenzitással 1/ tartásidej ű hívásokat S vonalra küldene Az eredmény független a thinking time eloszlásától, ha a számítógép kiszolgálási ideje exponenciális eloszlású Theorem 9.1 The state probabilities of the machine repair model (9.36) & (9.37) with one computer and S terminals is valid for arbitrary thinking times when the service times of the computer are exponentially distributed.

31 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 31 Palm – M/M/1/S/S – 6. Characteristic average values (using Erlang B formula: served terminals: a p(0) állapot kivételével az összes többiben mindig egy terminál van kiszolgálás alatt waiting terminals: (Az összesből levonva a kiszolgáltat és a gondolkozókat) thinking terminals: (traffic carried in the Erlang loss system) A gondolkozó terminálok várható értéke.

32 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 32 Palm – M/M/1/S/S – 7. Valószínűségek (előbbiekből, osztva a terminálok számával) Probabilities (from previous results divided by S, i.e. the number of terminals) random terminal at a random point of time :

33 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 33 Palm –M/M/1/S/S – 8-1. Circulation rate of jobs (igények forgási intenzitása) m x (igények átlagos tartásideje) n x (igények átlagos száma) Average value of R : R (response time): See this later:

34 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 34 Palm –M/M/1/S/S – 8-2. The mean valu of R (response time) is independent of holding time distributions, it depends only on p(0)=E 1,S (ρ) and on the average values. vagy felhasználásával A „circulation rate of jobs” azonos a végberendezésekre, a várakozási helyekre és a számítógépre. Ezért Little tétele alapján:

35 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 35 Palm – M/M/1/S/S – 9. R képlete alapján [m s ]-ben kifejezve Fig. 9.11 dimension Ha S=1, akkor R = m s = 1/µ mert ilyenkor m w = 0, hiszen nem kell várakozni

36 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 36 Palm – M/M/1/S/S – 10.

37 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 37 Palm – M/M/1/S/S – 11. Fig. 9.12 The waiting time traffic (the proportion of time spend waiting) measured in erlang for the computer, respectively the terminals in an interactive queueing system (Service factor % = 30).

38 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 38 Palm – M/M/1/S/S – 12. Traffic congestion We may define the traffic congestion in the usual way (Sec. 1.9). The offered traffic is the traffic carried when there is no queue. The offered traffic per source is (5.10): The carried traffic per source is: The traffic congestion becomes: In this case with finite number of sources the traffic congestion becomes equal to the proportion of time spent waiting.

39 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 39 Palm – M/M/n/S/S – 1. There are n servers (eg. computers ) State equations and normalisation: State equations are independent of the „thinking time” distribution.

40 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 40 Palm – M/M/n/S/S – 2. Possible states: Average utilization of computers: Average waiting time of terminals:

41 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 41 Palm – M/M/n/S/S – 3. Example 12.5.4: Parameters used: S/n = 30, μ/  = 30, n = 1-16 One may obtain the highest utilisation for large values of n (and S). (in this case p t = α ). dimension S3060120240480

42 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 42 3.4 Általános eredmények General results Little’s theorem Pollaczek-Khintchine’s (Hincsin!) formula M/G/1 and M/G/1/k systems M/G/1 system with priority Részletes levezetések/see: GG Honlap/GG Homepage, Távközlő rendszerek forgalmi elemzése, Tantárgyi teljes (2009 tavasz), Gyakorlatok, Tankönyv

43 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 43 General results – 1 Many special cases, few general results. Many special cases, few general results. Little’s theorem is generally applicable to arbitrary delay systems. Little’s theorem is generally applicable to arbitrary delay systems. Systems with Poisson input processes might simply be handled from the mathematical point of view. Systems with Poisson input processes might simply be handled from the mathematical point of view. So called symmetric queuing systems are important for queuing systems in series and for queuing networks, since the input and output processes both are Poissonian. So called symmetric queuing systems are important for queuing systems in series and for queuing networks, since the input and output processes both are Poissonian. The classical queueing models play a key role in theThe classical queueing models play a key role in the queueing theory, because other systems will often queueing theory, because other systems will often converge to these when the number of servers converge to these when the number of servers increases (Palm‘s theorem) increases (Palm‘s theorem)

44 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 44 General results – 2 In waiting time systems we also distinguish between call averages and time averages. The virtual waiting time is the waiting time, a customer experiences if the customer arrives at a random point of time (time average). The actual waiting time is the waiting time, the real customers experiences (call average). If the arrival process is a Poisson process, then the two averages are identical (PASTA property).

45 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 45 Little’s theorem 1. Both arrival and departure processes are considered as stochastic processes... Designations : requests in the system = = = time between the k-th arrival and the k-th departure time spent in the system

46 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 46 Little’s theorem 2.

47 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 47 Little’s theorem 3. Minden várakozási rendszerre érvényes !! Valid for all general queuing systems !!

48 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 48 Little’s theorem 4. Examples: For waiting positions: For servers:

49 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 49 Forma tényező (Palm féle) A measure of irregularity is Palm’s form factor ", which is defined as follows:

50 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 50 Pollaczek-Hincsin képlet (M|G|1) 1. W is the mean waiting time for all customers, s is the mean service time, A is the offered traffic, and ε is the form factor of the holding time distribution. Kisebb formatényező, azaz egyenletesebb kiszolgálási idő mellett az átlagos várakozási idő kisebb. Telefon forgalom esetén ε = 4-6, adatforgalomra ε = 10 -100. Formatényező (s = m) hiszen:

51 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 51 Pollaczek-Hincsin képlet (M|G|1) 2. Steps of derivation: The average waiting time W for an arbitrary request: 1. The residual mean service time of the request just served, if there is any (probability: A ) 1. The residual mean service time of the request just served, if there is any (probability: A ) 2. Waiting time of queuing requests. The average 2. Waiting time of queuing requests. The average length of the queue L might be calculated using length of the queue L might be calculated using Little’s formula. On the average one has to wait Little’s formula. On the average one has to wait a period of s because of every waiting request. a period of s because of every waiting request.

52 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 52 Busy period – M|G|1 Figure valid for an M/D/1system A várakoztatott igények várakozási idejének momentumai meghatározhatók FCFS és LCFS stratégia esetében (Jegyzet: p.265-266) Generallyvalidformula

53 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 53 Limited queue length – M|G|1|k –1 Az M|G|1 rendszerre érvényes és az M|G|1|k–re érvényes p(i)-k között az alábbi összefüggések érvényesek. ahol: A < 1 és k jelentése: 1 kiszolgáló + (k-1) várakozási hely. p(i) kiszámítására vannak algoritmusok tetszőleges tartásidő eloszlásra. – Véges rendszer A>1 esetére statisztikai egyensúlyban van. See Textbook: 10.3.4

54 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 54 Limited queue length– M|G|1|k –2 Tail Drop, or Drop Tail, is a simple queue management algorithm used by Internet routers to decide when to drop packets. In contrast to the more complex algorithms like RED and WRED, in Tail Drop all the traffic is notREDWRED differentiated. Each packet is treated identically. With tail drop, when the queue is filled to its maximum capacity, the newly arriving packets are dropped until the queue has enough room to accept incoming traffic. The name arises from the effect of the policy on incoming datagrams. Once a queue has been filled, the router begins discarding all additional datagrams, thus dropping the tail of the sequence of datagrams. The loss of datagrams causes the TCP sender to enter slow start, which reduces throughput in that TCP session until the sender begins to receive ACKs again and increases its congestion window. A more severe problem occurs when datagrams from multiple TCP connections are dropped, causing global synchronization, i.e., all of the involved TCP senders enter slow-start. This happens because, instead of discarding many segments from one connection, the router would tend to discard one segment from each connection. Wikipedia – 2009.04. Example

55 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 55 Limited queue length – M|G|1|k –3 Wikipedia – 2009.04. Random early detection (RED), also known as random early discard or random early drop is an active queue management active queue managementactive queue management algorithmalgorithm. It is also a congestion congestion algorithmcongestion avoidanceavoidance algorithm. avoidance RED makes Quality of Service Quality of ServiceQuality of Service (QoS) differentiation impossible. Weighted RED (WRED) and RED In/Out (RIO) provide early detection with some QoS considerations. Example

56 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 56 M|G|1 with several traffic flows Several traffic flows Assumptions: N Poisson traffic flows i input intensity, s i average holding time, m 2i seconf momnet, A i = i s i Offered traffic. For the total input process we have : Intensity: Average holding time: Second moment: Offered traffic: Weightedaverages Residual service time in a random point of time : All factors of the Pollczek-Khintchine formula are available!

57 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 57 Kleinrock’s conservation law Kleinrock’s conservation law: The average waiting time for all classes weighted by the traffic (load) of the mentioned class, is independent of the queue discipline. Valid only for non-preemptive queuing discipline ! both are constant

58 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 58 M|G|1 with priority – 1. Non-preemptive priority N prioritási osztály van, a p osztály nagyobb prioritású mint p+1, p intenzitás, s p átlagos tartásidő. Calculation of the total average waiting time W p : higher priority requests arriving during the waiting time

59 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 59 M|G|1 with priority – 2. Textbook: p. 283 a) + b) + c) A végeredmény függ a folyamatban lévő igény hátralévő kiszolgálási idejétől, az azonos prioritású már ott lévő igényektől és az időközben beérkező magasabb prioritású igényektől.

60 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 60 SJF queuing discipline (this is also non-preemptive priority) A request with service time t has the mean waiting time W t : A 0,t is load from the customers with service time less than or equal to t. If these different priority classes have different costs per time unit when they wait, so that class j customers have the mean service time s j and pay c j per time unit when they wait, then the optimal strategy (minimum cost) is to assign priorities 1, 2,... according to increasing ratio s j /c j. M|G|1 with priority – 3. The SJF discipline results in the. lowest possible total waiting time. (A levezetéshez végtelen számú prioritási osztályt kell feltételezni)

61 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 61 M|G|1 with priority – 4. M|M|1 with FCFS and SJF queue discipline Ha a kiszolgálási idő < 2.747 átlagos tartásidő, akkor az SJF kiszolgálás kisebb átlagos várakozási időt ad, mint az FCFS. Ez érinti a hívások 93.6 %-át. W FCFS = FCFS calculation: Example 10.6.2 időegység= s (átl. tartásidő)

62 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 62 M/M/n with non-preemptive priority Generalization of Erlang’s classical waiting time system i intenzitás, minden osztályban s=1/ μ átlagos tartásidő. i intenzitás, minden osztályban s=1/ μ átlagos tartásidő. Calculation of the total average waiting time W p : Erlang’s C Erlang’s C formula. formula. A az összes prioritási osztály által felajánlott forgalom. Az igények s/n átlagos távozás-közti idővel hagyják el a rendszert, ha minden kiszolgáló szerv foglalt. See textbook: p.2 86

63 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 63 M|G |1 with preemptive resume... - 1 W p p The mean waiting time W p for a customer in class p:

64 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 64 M|G|1 withpreemptive resume... - 2 M|G|1 with preemptive resume... - 2 For the SJF preemptive resume discipline the total response time is Textbook:287-288 One may get the W p mean waiting time: For highest priority we get Pollaczek-Khintchine's formula for this class, which is not disturbed by lower priorities

65 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 65 3.5 Néhány kiegészítés In addition Állandó tartásidő – Constant holding times GI/G/1 Round Robin and Processor Sharing Részletes levezetések/see: GG Honlap/GG Homepage, Távközlő rendszerek forgalmi elemzése, Tantárgyi teljes (2009 tavasz), Gyakorlatok, Tankönyv

66 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 66 Constant holding times, M|D|1 – 1. ………. To study this system, we consider two epochs (points of time) t and t + h at a distance of h. Every customer being served at epoch t (at most one) has left the server at epoch t + h. Customers arriving during the interval (t; t+h) are still in the system at epoch t+h (waiting or being served ) M/D/1 state probabilities Holding time: h

67 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 67 Constant holding times, M|D|1 – 2. M/D/1, mean waiting time Probability of waiting D (PASTA): Mean waiting time for all requests:W, for actually waiting requests: w From the Pollaczek- Khintchine formula (s = h !!) Form factor= 1 Waiting time distribution, M/D/1 and FCFS Exact calculation, approximation, details: Textbook p. 269-270.

68 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 68 Constant holding times, M|D|1 – 3. ExampleM|M|1M|D|1 FCFSsupposed

69 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 69 Constant holding times, M|D|n – 1. M/D/n, FCFS – distribution of waiting times Exact formula, but… (Crommelin) In closed form, applicable for small waiting times: M|D|n state probabilities: The explicit mathematical solution is obtained by means of generating functions.

70 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 70 Constant holding times, M|D|n – 2. The exact mean waiting time of all customers W is difficult to derive Approximation: (Molina) For any queueing system with infinite queue we have (D=probability of waiting !) where for all values of n:

71 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 71 Finite queue – M|D|1|k – 1 In real systems we always have a finite queue. State probabilities: (See the M/G/1/k case !) whereand Procedure for A > 1 : Textbook: 274-275 old.

72 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 72 Finite queue – M|D|1|k – 2 http://en.wikipedia.org/wiki/Leaky_buckethttp://en.wikipedia.org/wiki/Traffic_shaping Traffic shaping Example 13.5.2: Leaky Bucket Leaky Bucket is a mechanism for control of cell (packet) arrival processes from a user (source) in an ATM–system. The mechanism corresponds to a queueing system with constant service time (cell size) and a finite buffer. If the arrival process is a Poisson process, then we have an M/D/1/k system. The size of the leak corresponds to the long-term average acceptable arrival intensity, whereas the size of the bucket describes the excess (burst) allowed. The mechanism operates as a virtual queueing system, where the cells either are accepted immediately or are rejected according to the value of a counter which is the integral value of the load function (Fig. 13.2). In a contract between the user and the network an agreement is made on the size of the leak and the size of the bucket. On this basis the network is able to guarantee a certain grade-of-service.

73 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 73 GI|G|1 – 1. Mean waitin time for M/G/1 (remember !) Pollaczek-Khintchine: M/M/1: M/M/1: M/D/1: M/D/1: For a more regular holding time distribution the mean waiting time decreases. form factor

74 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 74 GI|G|1 – 2. Mean waiting time for GI/G/n No general accurate formula exists. Mean waiting time for GI/G/1 Inclusion of further moments Upper limit: v = variance (б 2 ) v = variance (б 2 ) v a = for interarrival times v a = for interarrival times v d = for holding times v d = for holding times Realistic estimate: a is the mean interarrival time (A=s/a, s=1 /μ, a=1/ λ ) Kingmaninequality Marchalapproximation

75 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 75 GI|M|1 – 1. GI/M/1 : The distribution of the inter-arrival times is a general distribution given by the density function f(t). Service times are exponentially distributed with rate μ. If the system is considered at an arbitrary point of time, then the state probabilities will not be described by a Markov process, because the probability of an arrival will depend on the time interval since the last arrival. The PASTA property is not valid. The arrival epochs are equilibrium points, and the so-called embedded Markov chain is considered. The probability that immediately before an arrival epoch the system is observed to be in state j is denoted by Π (j). In statistical equilibrium it can be shown that one will have the following result: where α is the positive real root satisfying the equation

76 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 76 GI|M|1 – 2. Characteristics (derived from state probabilities) The average number of waiting requests, immediately before the arrival of a request: average number of requests in the system : before an arrival epoch: A request is just served meanvalues

77 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 77 GI|M|1 – 3. Characteristics (continuation) : The average waiting time for all requests for all requests: The average queue length taken over the whole time axis(Little’s theorem!): The average waiting time for customers, who experience positive waiting times:

78 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 78 Round Robin and Processor Sharing – 1. If Δs  0, then PS (Processor Sharing – fair queuing) If Δs  ∞, then M/G/1, FCFS Mathematicallytreatable: (Kleinrock 1967, 1976) Assuming an unlimited queue,Poisson arrival process ( λ), general holding times (s), one arrives at an M/G/1 system

79 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 79 Round Robin and Processor Sharing – 2. Interpretation: If there are i requests in the system, then all obtain the fraction 1/i of the capacity. There is no real queue: If <1, then the state probabilities are geometrically distributed with expectation A/(1-A). The mean sojourn time (average response time = time in system) for jobs with duration t becomes): If A  0, then R t  t No queue in the traditional sense: For a randomly selected job The same as forM|M|1 (E 2,1 (A)=A !)

80 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2010. 09. 22. 80 Processor Sharing – 3. W Pollaczek-Khintchine: GI|G|1 Round- Robin ill. M|M|1