Lakosság létszámának változása Farkas János 2005. 2005.

Az előadások a következő témára: "Lakosság létszámának változása Farkas János 2005. 2005."— Előadás másolata:

1 Lakosság létszámának változása Farkas János 2005. 2005.

2 Egy város lakosainak a száma 1990. január 1-én 358.945 fő volt. Mennyi lesz a város lakossága 2010-ben, ha az évi szaporodási ütem változatlan marad? 358.945 fő volt. Mennyi lesz a város lakossága 2010-ben, ha az évi szaporodási ütem változatlan marad? (Az első évi növekedés 4.251 fő) Egy város lakosainak a száma 1990. január 1-én 358.945 fő volt. Mennyi lesz a város lakossága 2010-ben, ha az évi szaporodási ütem változatlan marad? 358.945 fő volt. Mennyi lesz a város lakossága 2010-ben, ha az évi szaporodási ütem változatlan marad? (Az első évi növekedés 4.251 fő) PROBLÉMA LEÍRÁS (A feladat és megoldása Scharnitzky Viktor: Differenciálegyenletek című példatárából való)

3 FELTÉTELEKFELTÉTELEK A probléma könnyebb kezelhetősége érdekében egyszerűsítő feltételekkel élünk. Feltételezzük, hogy a város lakosságának száma és a szaporodás sebessége arányos. Feltételezzük, hogy más tényezők (elhalálozás, elköltözés, betelepülés, stb.) nem történt. Ha más tényezőket is figyelembe veszünk, akkor a modellünk bonyolultabb lesz.

4 FELTÉTELEKFELTÉTELEK Legyen  L(t) a lakosság létszáma a t. időpontban  L 0 a lakosság létszáma a kezdeti időpontban  p az egy év alatti létszámnövekedés %-ban Feltesszük, hogy az L(t) függvény folytonosan differenciálható.

5 MATEMATIKAI MEGOLDÁS I. A lakosság számának a növekedési sebessége a lakosság számának az idő szerinti első deriváltja ahol a k arányossági tényező. Ez arányos a lakosság pillanatnyi számával, azaz

6 MATEMATIKAI MEGOLDÁS II. A megoldandó egyenlet egy elsőrendű, szétválasztható változójú differenciálegyenlet, amelynek megoldása Mindkét oldalt e alapra emelve

7 MATEMATIKAI MEGOLDÁS III. Ezt felhasználva a differenciálegyenlet megoldása A C konstans a kezdeti feltételből számítható ki

8 MATEMATIKAI MEGOLDÁS IV. Az e k tényezőt a kiegészítő feltételekből számítjuk ki. A lakosság L 0 számának évi növekedése p százalék esetén lesz a lakosság száma. és így egy évvel később

9 MATEMATIKAI MEGOLDÁS V. A keresett partikuláris megoldás tehát amivel a feladat első részét megoldottuk. Ugyanezt kapjuk t = 1 esetében, tehát amiből

10 MATEMATIKAI MEGOLDÁS VI. A feladat második részének adataival és így 1980-ban lakos él a városban.