Bevezetés a méréskiértékelésbe (BMETE80ME19) 2014/2 2014.09.24.

Az előadások a következő témára: "Bevezetés a méréskiértékelésbe (BMETE80ME19) 2014/2 2014.09.24."— Előadás másolata:

1 Bevezetés a méréskiértékelésbe (BMETE80ME19) 2014/2 2014.09.24.

2 Mérési adatok – valószínűségi változó reprezentációi – statisztikai minta (y) Statisztika – statisztikai mező A statisztikai mezőnél definiált P (valószínűségi) mérték – előzetesen választott eloszláshoz kapcsolódik. (Hibamodell) A reprezentációkból (mérésből) kell rekonstruálni a mérést terhelő véletlen komponens (hiba) eloszlásfüggvényét. A keresett eloszlás függvény általában néhány paraméterrel megadható. („Centrum”, „Kiterjedés” )

3 Folytonos eloszlásokDiszkrét eloszlások pipi

4 Mérés előtt …. Mérés után Mérési adatok Az eloszlás paramétereit statisztikákból becsüljük

5 Az eloszlás függvény megadás lehetséges módja – polinomokra vonatkozó vetületekkel: Momentumok Centrális momentumok Első momentum: várható érték E (ξ) Második centrális momentum: szórásnégyzet (variancia) D 2 (ξ) A momentumok kapcsolatba hozhatók a az eloszlás paramétereivel

6 A becslés általában valamilyen statisztika alapján történik… Statisztika T(Y): Y → Mivel a minta függvénye, a statisztika is valószínűségi változó….eloszlása a minta feltételezett eloszlásából vezethető le. Példák… egyszerű alapstatisztikák StatisztikaBecslés célja ÁtlagVárhatóérték Tapasztalati szórás Szórás Korrigált tapasztalati szórás Szórás MediánVárhatóérték centrum Minta terjedelem HisztogramSűrűségfüggvény

7 Becslések minősíthetők különböző szempontok szerint… Torzítatlan … a becsült paraméter valamilyen függvényére Átlag pl. mindig torzítatlan becslése a várhatóértéknek (ha az létezik) Aszimptotikusan torzítatlan… Konszisztens becslés Becslések pontossága mintaszámmal növekszik… Hatásosság A hatásos becslésnek kisebb a szórásnégyzete Elégségesség A statisztikában nincs információ veszteség a becsült paraméterre vonatkoztatva

8 Steiner-tétel pl. átlag torzítatlan Azonos eloszlású val. változóknál Az átlag mint centrum produkál minimális négyzetes eltérést - tapasztalati szórásnégyzetet

9 A tapasztalati szórásnégyzet így is írható: Aszimptotikusan torzítatlan Ezért szükséges a korrigált tapasztalati szórás bevezetése

10 Átlag konzisztenciája…. Csebisev egyenlőtlenséggel azonnal látható N

11

12 Medián – L1 norma szerinti centrum Robusztusabb statisztika

13 Glivenko–Cantelli Parzen - Rosenblatt Eloszlás függvényt vagy a sűrűség függvényt becsülhetjük a mintából Hisztogram, kumulatív hisztogram.

14 Parzen-Rosenblatt

15 A mérési adat kiértékelés általános sémája Mérési adatokMatematikai modell Illesztési kritérium Statisztikai elv Hiba modell Fizikai modell Illesztés eredménye Paraméterek Paraméterek kov. Mátrixa Konfidencia intervallumok Az illesztett paraméterek is valószínűségi változók

16 Lassan változó jelfolyamat – kevés paraméterrel leírható Pontonként változó – független - zajfolyamat Túlhatározottság lehetősége MODELL: Megj. Valószínűségi modell nélküli szűrési módszereket is alkalmaznak

17

18 Fussuk át a fontosabb valószínűség eloszlásokat…. Egyenletes eloszlás – folytonos és diszkrét 1 dim.

19 Pl. Kerekítési hibák

20

21

22

23

24 Log-normális eloszlás

25

26

27 Student t-eloszlás

28 F-eloszlás

29 Pareto-eloszlás

30 Cauchy eloszlás

31 Binomiális eloszlás Moivre-Laplace tétel

32 Poisson-eloszlás