Műveletek, függvények és tulajdonságaik Mátrix struktúrák:

Az előadások a következő témára: "Műveletek, függvények és tulajdonságaik Mátrix struktúrák:"— Előadás másolata:

1 Műveletek, függvények és tulajdonságaik Mátrix struktúrák:
MÁtrix Algebra Definició Műveletek, függvények és tulajdonságaik Mátrix struktúrák: vektortér (n x m) gyűrű (n x n)

2 Miért fontos? Legtöbb adatot mátrixokban (tömbökben) tárolnak
Ezen adatokkal végzett műveletek a statisztikai elemzések alapjai Fizikában többféle mátrix/tenzor ismeretes Mozgások leírás – számítógépes grafika Mátrixok hiányában bonyolult szummajeles műveletsorokkal kellene számolnunk

3 DefinÍCIÓK számokat skalároknak hívjuk (2018, 2014)
mátrix: n x m (= méret, típus) táblázat spec.: négyzetes: n=m spec.: sorvektor: 1 x n , oszlopvektor: n x 1

4 MÁTRIXOK - JELÖLÉS

5 MÁTRIXOK EGYENLŐSÉGE Két mátrix egyenlő, ha
méretük/típusuk azonos (ugyanannyi sora és oszlopa van mindegyiknek - az azonos pozíciójú elemek egyenlők: A = B, acsa ha aik=bik

6 sPECIÁLIS MÁTRIXOK Diagonális mátrix (n x n): Trace-nyom:

7 MÁTRIX MŰVELETEK Transzponálás Összeadás Szorzás

8 TRANSZPONÁLÁS A → AT Főátlóra tükrözzük a mátrix elemeit
vagyis az i. sorból i. oszlop lesz aik→aki

9 TRANSZPONÁLT TULAJDONSÁGAI

10 Szimmetrikus mátrix: A = AT Ferdén szimmetrikus mátrix: A = - AT Példa: szimmetrikus, adja meg az a, b, c értékékeket! MO:

11 Példa: ferdén szimmetrikus, adja meg az a, b, c értékékeket! MO:

12 Összeadás Akkor végezhető el, ha a két mátrix mérete egyenlő
Egyszerűen össze kell adni a megfelelő pozíción áll elemeket: A + B = C

13 ÖSSZEADÁS: Kérdések: Kommutatív? Asszociatív? Van null elem?
Ahol: Kérdések: Kommutatív? Asszociatív? Van null elem? Van inverz?

14 MÁtrix SZÁMSZOROSA Kérdések: 1A=? Igaz-e hogy (αµ) A= α(µA)?
Az adott számmal a mátrix minden elemét megszorozzuk: Kérdések: 1A=? Igaz-e hogy (αµ) A= α(µA)? Igaz-e, hogy (α+µ)A= αA+µA? Igaz-e, hogy α(A+B)= αA+ αB?

15 n x m típusú MÁTRIXOK STRUKTÚRÁJA
Kérdések és válaszok az összeadás tulajdonságaira: Kommutatív? Igen, igaz: A + B = B + A Asszociatív? Igen, igaz: (A + B) + C= A + (B + C) Van null elem? Igen, A + O = A Van inverz? Igen, A + (-A)=O –A elemei az A elemeinek ellentettjei (másképpen –A= (-1)A) A 3-ra KOMMUTATÍV CSOPORT Kérdések és válaszok a számszoros (FÜGGVÉNY!) tulajdonságaira: Igazak az alábbiak: 1A=A Vegyes asszociativitás: (αµ) A= α(µA) Vegyes disztributivitás: (α+µ)A= αA+µA Vegyes disztributivitás: α(A+B)= αA+ αA Az n x m méretű mátrixok a 3 műveletre és a számszorosra nézve VEKTORTERET alkotnak.

16 MÁtrixOK SZORZÁSA AB mérete

17 MÁtrixOK SZORZÁSA Ahhoz, hogy össze lehessen szorozni két mátrixot, az ELSŐ mátrixnak annyi oszlopa kell hogy legyen, ahény sora a MÁSODIKNAK! A B = C (m  n)  (n  p) = (m  p) AB mérete

18 MÁTRIXOK SZORZÁSA

19 MÁTRIXOK SZORZÁSA-PÉLDA

20 EGY NÉPSZERŰ MÁTRIX:

21 Megjegyzés: Mátrix mindig szimmetrikus

22 MÁTRIX SZORZÁS TULAJDONSÁGAI
AB ÁLTALÁBAN nem egyenlő BA Elképzelhető, hogy BA –t nem is lehet végrehajtani: Az is lehet, hogy „fordítva” is végrehajtható, de mérete más lesz: A  B = C (2  3)  (3  2) = (2  2) B  A = D (3  2)  (2  3) = (3  3)

23 Példa:

24 Egyenletrendezés valós számok esetében:
Mátrixoknál: Ha C INVERTÁLHATÓ (később erre visszatérünk), akkor A = B

25 Példa: DE:

26 MÁTRIXOK SZORZÁSÁNAK TULAJDONSÁGAI
Ha végrehajtható, akkor a mátrix szorzás ASSZOCIATÍV A(BC) = (AB)C Érvényes a disztributív szabály: A(B+C)=AB+AC (A+B)C=AC+BC

27 DM: definíció: Az R gyűrű olyan halmaz, amin két művelet van értelmezve. A + és *, amelyek a követlező tulajdonságokat teljesítik: 1. (R,+) kommutatív csoport 2. * asszociatív 3. A disztributív szabály igaz : (a + b) * c = (a * c) + (b * c) a * (b + c) = (a * b) + (a * c)

28 NÉGYZETES MÁTRIXOK STRUKTÚRÁJA
Mivel a mátrixok a fent definiált összeadásra nézve kommutatív csoportot alkotnak, továbbá a szorzás asszociatív, és a szorzás disztributív az összeadásra nézve ezért a négyzetes mátrixok a szokásos + és * műveletekre nézve GYŰRŰT alkotnak.

29 MÁTRIXOK SZORZÁSÁNAK TULAJDONSÁGAI
AB ≠ BA nem érvényes Ha végrehajtható, akkor a mátrix szorzás ASSZOCIATÍV A(BC) = (AB)C Érvényes a disztributív szabály: A(B+C)=AB+AC (A+B)C=AC+BC Négyzetes mátrixokra van egység, EA=AE, Vannak olyan négyzetes mátrixok, melyeknek van inverze

30 MÁTRIXOK INVERZE A = A=E = E= (AA*)=( A)A*=EA*=A*
Ha egy műveletre vonatkozóan létezik egység, értelmes kérdés, van- e inverz? Definíció: Az A négyzetes mátrix inverzének nevezzük azt a gyel jelölt (n x n-es) mátrixot, amelyre: A = A=E Volt (DM): Ha egy művelet asszociatív, akkor az inverz egyértelmű: = E= (AA*)=( A)A*=EA*=A*

31 ELNEVEZÉSEK Elnevezés: A mátrix
SZORZÁSRA vonatkozó egységét EGYSÉGMÁTRIXNAK, inverzét (ekkor A négyzetes) INVERZ mátrixnak, ÖSSZEADÁSRA vonatkozó egységét NULLMÁTRIXNAK inverzét ELLENTETT mátrixnak nevezzük.

32 HOGYAN LEHET KISZÁMÍTANI VALAMELY MÁTRIX INVERZÉT?

33 Az egyenletrendszerek együttható mátrixa ugyanaz, az eredeti mátrix.
A jobb oldali konstansok különböznek csak. Ezért egyszerre is meg lehet megoldani ezeket az egyenleteket.

34 HOGYAN LEHET KISZÁMÍTANI VALAMELY MÁTRIX INVERZÉT?
Inverz mátrix számítása Gauss-Jordan eliminációval:

35 Az egyenletrendszerek együttható mátrixa ugyanaz, az eredeti mátrix.
A jobb oldali konstansok különböznek csak: Ezért egyszerre lehet megoldani ezeket az egyenleteket.

36 Inverz mátrix számítása Gauss-Jordan eliminációval
, , Folytatás az előző oldalról: Például a 3. sor első elemének nullázása: Csak az utolsó oszlopban van eltérés. Ezért egyszerre is megoldhatjuk: , ,

37 .

38 . Ez eddig a GAUSS elimináció, most a főátló feletti elemeket is nullázzzuk – Gauss-Jordan

39 INVERZ MÁTRIX TULAJDONSÁGAI
1. 2. 3. 4. Ha C invertálható (nem szinguláris), akkor a mátrix egyenletet lehet a szokásos módon rendezni: BIZ.: szorozzuk be az egyenlet mindkét oldalát jobbról C-1-gyel. BIZ.: szorozzuk be az egyenlet mindkét oldalát balról C-1-gyel.

40 Tétel: Ha A és B invertálható mátrixok, akkor szorzatuk is az, és:
Következmény:

41 Négyzetes mátrixok hatványai:
Fentiek miatt van értelme mátrix polinomoknak is (később)