Instacionárius hővezetés

Az előadások a következő témára: "Instacionárius hővezetés"— Előadás másolata:

1 Instacionárius hővezetés
Mechatronika és Gépszerkezettan Tanszék Író Béla Hő- és Áramlástan II.

2 A Fourier-Kirchoff egyenlet
Alapfeltételek A jelenség legyen egy dimenziós illetve annak tekinthető. Hőforrás ne legyen. A fal legyen sík és Δx vastagságú rétegekre felosztva. Valamely réteg hőmérséklete a réteg középvonalában van értelmezve. A falban a kezdeti hőmérséklet-eloszlás ismert. A Fourier-Kirchoff egyenlet ebben az esetben Író Béla Hő- és Áramlástan II. Mechatronika és Gépszerkezettan Tanszék

3 A másodrendű parciális derivált átalakítása
A ‘k’-adik időpillanatban az ‘n’-edik rétegtől jobbra és balra eső rétegekre a hely szerinti differencia hányadosok A másodrendű derivált az elsőrendű derivált változási sebessége, azaz a két elsőrendű derivált különbsége és a rétegvastagság hányadosa Író Béla Hő- és Áramlástan II. Mechatronika és Gépszerkezettan Tanszék

4 Az elsőrendű parciális derivált átalakítása
Az ‘n’-edik rétegben bekövetkező hőmérsékletváltozás és az idő hányadosa a keresett differencia hányados Író Béla Hő- és Áramlástan II. Mechatronika és Gépszerkezettan Tanszék

5 A hővezetés differenciál egyenlete differencia egyenlet formájában
Kikötve, hogy Az egyenletet tn,k+1-re rendezve Az n-edik rétegben a (k+1)-edik időpillanatban a hőmérséklet a kérdéses réteggel szomszédos rétegekben a k-adik időpillanatban ismert hőmérsékletek átlaga. Azaz Író Béla Hő- és Áramlástan II. Mechatronika és Gépszerkezettan Tanszék

6 A szerkesztés időléptéke
A kérdéses falvastagság felosztására választott rétegvastagság és a fal anyagi jellemzői ismeretében a fenti összefüggés megadja a szerkesztés időléptékét, megmutatja azt, hogy az egymás után megszerkesztett állapotok az időben milyen „távolságra” esnek egymástól, azaz mennyi idő telik el két tetszőleges állapot kialakulása között. Író Béla Hő- és Áramlástan II. Mechatronika és Gépszerkezettan Tanszék

7 A fal felületén lévő réteg hőmérsékletének megszerkesztése
A környezetet helyettesítjük egy olyan réteggel, melynek vastagsága az alkalmazott rétegvastagsággal megegyezik és éppen annyi hőt vezet el, mint amennyi a környezetbe kerül átadásra. Ez azt jelenti, hogy a faltól λ/α távolságra a környezeti hőmérsékletszinten elhelyezett póluspontot összekötve a fal felületi hőmérsékletével, a faltól Δx/2 távolságra (a környezetet helyettesítő réteg középvonalában) berajzolt segédegyenesen megkapjuk azt a hőmérsékletet, melynek segítségével a fal felületi rétegében érvényes hőmérsékletet megszerkeszthetjük. A feltétel tehát Mechatronika és Gépszerkezettan Tanszék Író Béla Hő- és Áramlástan II.

8 A Schmidt-szerkesztés
Kezdeti hőmérséklet-eloszlás t2,0 t3,0 t1,0 t4,0 t5,0 t0,0 t1 t6,0 tk2 tk1 t2 t7,0 λ1/α1 λ2/α2 Δx/2 Δx/2 δ=6∙Δx δ Író Béla Hő- és Áramlástan II. Mechatronika és Gépszerkezettan Tanszék

9 Ellenőrző kérdések Milyen alapfeltételezések esetén milyen instacionárius hővezetési probléma megoldására alkalmas a Schmidt-szerkesztés? Milyen módon határozható meg a szerkesztés időléptéke? Hogyan szerkeszthető meg egy adott rétegben érvényes hőmérséklet egy adott pillanatban? Hogyan szerkeszthető meg a fal felületén érvényes hőmérséklet egy adott időpillanatban? Író Béla Hő- és Áramlástan II. Mechatronika és Gépszerkezettan Tanszék